☉北京市豐臺二中 甘志國（特級教師）

高考題1（2012年湖南文16）對于n∈N*，將n表示為n=ak×2k+ak-1×2k-1+…+a1×21+a0×20，當(dāng)i=k時，ai=1，當(dāng)0≤i≤k-1時，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng)a0，a1，a2，…，ak中等于 1 的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.

（1）b2+b4+b6+b8=______；

（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是______（.參考答案：3，2.）

這兩道高考題都是以二進制為背景且難度特別大，文獻［1］對后者已作了深入研究，下面再對前者作研究.

筆者見到的正式出版的高考卷（比如［2］）及網(wǎng)絡(luò)對高考題1第（2）問的解答均是錯誤的：

（2）設(shè){bn}中第m個為0的項為bi，即bi=0，構(gòu)造二進制數(shù)（i）10=（akak-1…a1a0）2，則akak-1…a1a0中 1 的個數(shù)為偶數(shù).

①當(dāng)a2a1a0=000 時，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；

②當(dāng)a2a1a0=001 時，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；

③當(dāng)a2a1a0=010 時，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；

④當(dāng)a2a1a0=011 時，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；

⑤當(dāng)a2a1a0=100 時，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；

⑥當(dāng)a2a1a0=101 時，bi+1=0，cm=0

⑦當(dāng)a2a1a0=110 時，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；

⑧當(dāng)a2a1a0=111 時，bi+1=1，bi+2=0，cm=1.

所以cm的最大值是2.

在該解答中，①-⑥的推理均是正確的，但⑦⑧的推理均是錯誤的：

⑦的反例——選a5a4a3a2a1a0=101110，得bi+1=1，bi+2=0，cm=1.

⑧的反例——選a4a3a2a1a0=10111，得bi+1=0，cm=0.

本文將給出這道題及其伴隨問題的嚴(yán)謹(jǐn)解答.

定義1設(shè)正整數(shù)a是二進制數(shù)，記：

定義2設(shè)m∈N*，記：

（1）c（m）表示數(shù)列{A（n）}中第m個為 0 的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)；

（2）d（m）表示數(shù)列{A（n）}中第m個為 1 的項與第m+1個為1的項之間的項數(shù)；

（3）e（m）表示數(shù)列{A（n）}中第m個為 1 的項開始連續(xù)為1的項的項數(shù)；

（4）（fm）表示數(shù)列{A（n）}中第m個為0的項開始連續(xù)為0的項的項數(shù).

先研究c（m）.

記數(shù)列{A（n）}中第m個為0的項對應(yīng)的二進制數(shù)是a（得A（a）=0）.

當(dāng)a的末位是1時，設(shè)a的末尾連續(xù)的1恰有k（k∈N*）個.

①當(dāng)k為奇數(shù)時，得：

0→0，

c（m）=0.

②當(dāng)k為偶數(shù)時，得：

0→1→0，

c（m）=1.

當(dāng)a的末位是0時，設(shè)a的末尾連續(xù)的0恰有k（k∈N*）個.

（1）當(dāng)k≥2時，得：

0→1→1→0，

c（m）=2.

（2）當(dāng)k=1時，得：

若a+1中無0，得：

0→1→1→0，

c（m）=2.

①當(dāng)l為奇數(shù)時，得：

0→1→1→0，

c（m）=2.

②當(dāng)l為偶數(shù)時，得：

c（m）=1.

綜上所述，可得：

定理1設(shè)數(shù)列{A（n）}中第m個為0的項對應(yīng)的二進制數(shù)是a（得A（a）=0），則c（m）=0，1 或 2，具體的情形是：

再研究d（m）.

記數(shù)列{A（n）}中第m個為1的項對應(yīng)的二進制數(shù)是a（得A（a）=1）.

當(dāng)a的末位是1時，設(shè)a的末尾連續(xù)的1恰有k（k∈N*）個.

1→1，

d（m）=0.

①當(dāng)k為奇數(shù)時，得：

1→1，

d（m）=0.

②當(dāng)k為偶數(shù)時，得：

1→0→1，

d（m）=1.

當(dāng)a的末位是0時，設(shè)a的末尾連續(xù)的0恰有k（k∈N*）個.

（1）當(dāng)k≥2時，得：

1→0→0→1，

d（m）=2.

（2）當(dāng)k=1時，得：

若a+1中無0，得：

1→0→1，

d（m）=1.

①當(dāng)l為奇數(shù)時，得：

1→0→0→1，

d（m）=2.

②當(dāng)l為偶數(shù)時，得：

1→0→1，

d（m）=1.

綜上所述，可得：

定理2設(shè)數(shù)列{A（n）}中第m個為1的項對應(yīng)的二進制數(shù)是a（得A（a）=1），則d（m）=0，1 或2，具體的情形是：

參考以上定理2的推導(dǎo)，還可得出：

定理3設(shè)數(shù)列{A（n）}中第m個為1的項對應(yīng)的二進制數(shù)是a（得A（a）=1），則e（m）=1 或 2，具體的情形是：

參考以上定理1的推導(dǎo)，還可得出：

定理4設(shè)數(shù)列{A（n）}中第m個為0的項對應(yīng)的二進制數(shù)是a（得A（a）=0），則（fm）=1或2，具體的情形是：

1.甘志國.對2011年高考湖南卷理科第16題的研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（11）：45-46.

2.杜志建，主編.《金考卷特快專遞》第1期·數(shù)學(xué)（文）［Z］.烏魯木齊：新疆青少年出版社，2012.