☉上海市甘泉外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 孫振飛

一、教學(xué)定位

（一）教材結(jié)構(gòu)的理解

滬教版教材中，“平行四邊形”安排在八年級(jí)下冊(cè)第三章“四邊形”第二節(jié)，第一節(jié)是多邊形，第三節(jié)是梯形，第四節(jié)是平面向量及其加減計(jì)算．從教材內(nèi)容呈現(xiàn)的順序看，編者從多邊形出發(fā)，將其特殊化為四邊形和平行四邊形，然后研究特殊的平行四邊形，進(jìn)而利用平行四邊形知識(shí)去解釋平面向量，旨在突出運(yùn)用“一般到特殊”的方法進(jìn)行問(wèn)題研究這一主線．

平行四邊形判定是以本節(jié)課重點(diǎn)研究的平行四邊形定義、性質(zhì)為思維起點(diǎn)，與平行四邊形有關(guān)性質(zhì)互為逆定理，它們從正逆兩個(gè)方面按邊、角、對(duì)角線三個(gè)視角揭示了平行四邊形的本質(zhì)特征，這種逆向思考的方法在特殊平行四邊形研究中亦反復(fù)出現(xiàn)．本教材與人教版相比，突出的亮點(diǎn)是將矩形、菱形整合在一起，抓住它們與平行四邊形的差異加以重點(diǎn)研究．而后利用前面學(xué)習(xí)過(guò)程中所形成的經(jīng)驗(yàn)與方法，通過(guò)比對(duì)得出正方形相對(duì)于平行四邊形、矩形和菱形的特有性質(zhì)和相應(yīng)的判定方法．如何明晰它們之間的關(guān)系？如何指導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系和變化的角度深入認(rèn)識(shí)和把握？尤顯重要．

（二）創(chuàng)新教學(xué)的思考

通過(guò)以上分析，本節(jié)課作為平行四邊形部分的開(kāi)篇內(nèi)容，作為本章方法支撐之一，對(duì)其學(xué)習(xí)不容小視，絕不能只是按部就班地揭示定義、性質(zhì)以及運(yùn)用性質(zhì)解決一些具體問(wèn)題．要把看似孤立的內(nèi)容納入整個(gè)章節(jié)的知識(shí)體系中，使其豐盈起來(lái)，讓學(xué)生較為自然又初步清晰地了解四邊形部分的整個(gè)知識(shí)概貌；力圖幫助學(xué)生提煉出研究平行四邊形性質(zhì)的一些基本方法，以便形成解決后續(xù)問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生能從邊、角、對(duì)角線以及對(duì)稱性等方面全面認(rèn)識(shí)平行四邊形性質(zhì)，滲透分類的意識(shí)，培養(yǎng)有序思維的能力．

教材中將平行四邊形的定義和性質(zhì)分兩課時(shí)來(lái)處理：第一課時(shí)研究平行四邊形定義、平行四邊形邊角性質(zhì)；第二課時(shí)總結(jié)平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)以及中心對(duì)稱性．筆者認(rèn)為將性質(zhì)截為兩段，缺乏整體性與系統(tǒng)性，不利于學(xué)生思維深入的探究，給人一種淺嘗輒止之感；另一方面平行四邊形的本質(zhì)屬性應(yīng)該是其中心對(duì)稱性（平行四邊形是三角形繞其一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而形成的中心對(duì)稱圖形），這一內(nèi)在本源性的知識(shí)反而放置在性質(zhì)的最后加以揭示，不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也不利于幫助學(xué)生形成進(jìn)一步探究特殊平行四邊形的方法和經(jīng)驗(yàn)（矩形、菱形、正方形也是采用同構(gòu)建模的方法，分別是將直角三角形繞其斜邊中點(diǎn)、等腰三角形繞其底邊上中點(diǎn)、等腰直角三角形繞其斜邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而形成的中心對(duì)稱圖形）．加之，在七年級(jí)下冊(cè)已研究了圖形的旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形、設(shè)計(jì)中心對(duì)稱圖案等內(nèi)容，并直觀感知了平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)．因此大膽地將所有性質(zhì)放在一節(jié)課中進(jìn)行處理，并結(jié)合平行四邊形的定義，從平行四邊形的中心對(duì)稱性入手，利用對(duì)稱性得到對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，從而得出平行四邊形邊、角、對(duì)角線的有關(guān)性質(zhì)．

（三）教學(xué)目標(biāo)的確定

（1）理解平行四邊形的概念和平行四邊形的性質(zhì)，能初步運(yùn)用平行四邊形的概念及性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的計(jì)算或證明問(wèn)題．

（2）參與四邊形知識(shí)體系的建構(gòu)以及平行四邊形性質(zhì)的探索過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化、分類的思想，進(jìn)一步養(yǎng)成合作交流的習(xí)慣；通過(guò)對(duì)性質(zhì)的應(yīng)用明確幾何計(jì)算或論證的表達(dá)要求，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗(yàn)．

二、學(xué)程設(shè)計(jì)

（一）課前自學(xué)

（1）從內(nèi)角和、外角和、對(duì)角線、穩(wěn)定性等角度回顧三角形和四邊形的特性．

（2）如何將四邊形按照對(duì)邊之間的位置關(guān)系進(jìn)行分類研究？怎樣的四邊形是平行四邊形？平行四邊形如何表示？

（3）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形嗎？如何推證？由此你能得到平行四邊形哪些性質(zhì)？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)設(shè)置自學(xué)問(wèn)題串，一方面幫助學(xué)生回顧三角形和四邊形的有關(guān)知識(shí)，為所學(xué)新知識(shí)提供知識(shí)儲(chǔ)備；另一方面創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷搜集、比對(duì)的過(guò)程，將零散的知識(shí)進(jìn)行梳理、同化，初步納入自己固有的知識(shí)體系中；放手讓學(xué)生去觀察感知、嘗試推理，初步形成對(duì)性質(zhì)直觀認(rèn)識(shí)和較為理性的推理．

這個(gè)過(guò)程在課前完成，收集后批改、評(píng)價(jià)，于課前反饋給學(xué)生，主要了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和自學(xué)成果．

（二）課堂學(xué)習(xí)

活動(dòng)1：交流自學(xué)成果

師：前面我們研究了邊數(shù)最少的多邊形——三角形，它的內(nèi)角和為180°，外角和為360°，無(wú)對(duì)角線，具有穩(wěn)定性；在“多邊形”一節(jié)中，又討論了一般四邊形的性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下四邊形具有哪些性質(zhì)？

生1：四邊形內(nèi)角和與外角和均為360°，有兩條對(duì)角線，具有不穩(wěn)定性．

師：在探究四邊形內(nèi)角和時(shí)，是如何處理的？

生2：通過(guò)連接對(duì)角線將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形加以解決．

師：轉(zhuǎn)化的思想！我們還曾按“邊”和“角”對(duì)三角形進(jìn)行了分類研究，現(xiàn)在如何將四邊形按照對(duì)邊之間的位置關(guān)系進(jìn)行分類呢？課前同學(xué)們進(jìn)行了思考，現(xiàn)在來(lái)交流自學(xué)成果．（學(xué)生交流、補(bǔ)充）

師：我們將零散的知識(shí)梳理一下：四邊形按有無(wú)對(duì)邊平行可分為兩大類：一類是無(wú)對(duì)邊平行的四邊形，即一般四邊形.另一類是有對(duì)邊平行的四邊形，其中有對(duì)邊平行的四邊形又可分成兩類：一類是一組對(duì)邊平行但另一組對(duì)邊不平行的四邊形，即梯形；另一類是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，即平行四邊形．（多媒體呈現(xiàn)分類結(jié)果，如圖1所示）

圖1

師：以上就是四邊形這一部分大致所研究的知識(shí)框圖，本節(jié)課先來(lái)探究平行四邊形的有關(guān)知識(shí)（揭示課題“22.2平行四邊形（1）”）．

接下來(lái)研究平行四邊形的定義、表示方法，并采用師生合作的方式形成對(duì)圖形定義基本經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)：通常既是該圖形的判定，又是該圖形的性質(zhì)．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：課始在回顧舊知時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生明確解決四邊形問(wèn)題時(shí)常通過(guò)連接對(duì)角線將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)處理，為后續(xù)探究性質(zhì)提供方法支撐；在放手學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，通過(guò)老師及時(shí)引導(dǎo)、總結(jié)，將學(xué)生對(duì)四邊形零散、雜亂的認(rèn)識(shí)進(jìn)行梳理、系統(tǒng)化，初步勾勒出四邊形部分知識(shí)的框架．

活動(dòng)2：探究平行四邊形的性質(zhì)

師：從對(duì)稱性的角度，平行四邊形是何對(duì)稱圖形？

生1：中心對(duì)稱圖形．

師：你能解釋平行四邊形為何是中心對(duì)稱圖形？

生2：如圖2，連接對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，由四邊形ABCD是平行四邊形，可知AD∥BC、AB∥CD，進(jìn)而得到兩組角相等，再加對(duì)頂角相等……

圖2

師：滿足三個(gè)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等，這種方法不行．能否在三角形的基礎(chǔ)上構(gòu)建出一個(gè)成中心對(duì)稱的四邊形？

生3：如圖3，點(diǎn)O是△ABC邊AC的中點(diǎn)，將BO延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使DO=BO，連接AD、CD．一方面顯然四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形；另一方面容易證明△AOD≌△COB，由對(duì)應(yīng)角相等可得AD∥BC，同理可證AB∥CD，從而說(shuō)明四邊形ABCD是平行四邊形．

圖3

師：將三角形中線加倍得到的四邊形既是中心對(duì)稱圖形，又是平行四邊形，這就從理論上證明了平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．由此，你還能得到平行四邊形哪些性質(zhì)呢？為什么？

生4：由平行四邊形的中心對(duì)稱性可知：AD=CB、AB=DC、∠BAD=∠DCB、∠ABC=∠CDA、OA=OC、OB=OD．即就是平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等、兩組對(duì)角分別相等、兩條對(duì)角線互相平分．

師：非常好！這四條性質(zhì)分別是從哪些角度去加以研究的？

生5：從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性四個(gè)角度進(jìn)行分類．

師：真棒！平行四邊形的眾多性質(zhì)是由中心對(duì)稱性這條主線串起來(lái)的，如此分類不但能全面認(rèn)識(shí)平行四邊形的性質(zhì)，也便于我們記憶，更為重要的是為今后學(xué)習(xí)其他知識(shí)提供了方法．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從學(xué)生已有的感性認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，如何說(shuō)明平行四邊形是中心對(duì)稱圖形？形成刨根問(wèn)底的探究氛圍，在學(xué)生生發(fā)出的新困惑中，引導(dǎo)學(xué)生退而由三角形去構(gòu)造中心對(duì)稱圖形，引發(fā)新的思考，并在此基礎(chǔ)上水到渠成地探究出平行四邊形的其他性質(zhì)．注重對(duì)性質(zhì)實(shí)質(zhì)（平行四邊形的內(nèi)涵是其中心對(duì)稱性，邊、角、對(duì)角線的特性是其外延）的挖掘和有序分類，既將本節(jié)課的知識(shí)納入到新的知識(shí)體系中，又為后續(xù)研究提供了嶄新的思維角度和探究方法．

活動(dòng)3：合作探究

例1 如圖4，在?ABCD中，∠B=50°，BC=8，?ABCD的周長(zhǎng)為28．

（1）求其他三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

（2）求其余各邊的長(zhǎng)．

圖4

圖5

例2 如圖5，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是線段AC、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CE=AF．

求證：BF∥DE．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：平行四邊形性質(zhì)的具體應(yīng)用，是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是探究學(xué)習(xí)的好素材．本環(huán)節(jié)呈現(xiàn)兩個(gè)方面：幾何計(jì)算和幾何證明．例1將平行四邊形的角、邊計(jì)算合二為一，第（1）問(wèn)，由學(xué)生交代已知和未知，交流思路：關(guān)鍵是如何求∠A？方法一：利用平行四邊形的定義得到平行線，從而鄰角互補(bǔ)；方法二：利用四邊形內(nèi)角和為180°．放手讓學(xué)生獨(dú)立解決第（2）問(wèn)，并口頭表述解題過(guò)程．例2重點(diǎn)幫助學(xué)生形成證明思路：證明平行，如何思考？通過(guò)角之間的關(guān)系來(lái)獲得，證明角相等，需尋找三角形全等，著力展示學(xué)生從不同角度尋找全等三角形的過(guò)程．例2的教學(xué)片段如下．

師：接下來(lái)看一道幾何證明題．（待學(xué)生梳理出已知和求證后）如何證明兩直線平行？

生1：證內(nèi)錯(cuò)角∠E=∠F．

師：如何證明呢？

生1：可通過(guò)證明△FBC與△EDA全等．

師請(qǐng)生1到講臺(tái)前展示尋找全等三個(gè)條件的過(guò)程，生1思路較清晰、語(yǔ)言較流暢．

師：這個(gè)舞臺(tái)確實(shí)是屬于大家的，生1的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)來(lái)說(shuō)是較為薄弱的，但能獨(dú)立解決這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們掌聲熱烈一些，老師也要把掌聲獻(xiàn)給這位同學(xué)．還有其他方法嗎？

生2：還可利用△FBA與△EDC全等來(lái)解決．（生2帶著同桌一起走上講臺(tái)進(jìn)行講解）

師：（針對(duì)生2在尋找全等條件的過(guò)程中不加選擇地調(diào)用平行四邊形眾多性質(zhì)的現(xiàn)象，提出問(wèn)題）怎樣才能有序地用好平行四邊形性質(zhì)呢？

生3：需明確要證明的對(duì)象．

師：也就是要從未知出發(fā)想需知，再?gòu)臈l件出發(fā)得可知，建立可知和需知之間的聯(lián)系．這樣，思維才能有序．剛才我們從邊和角的角度尋找全等三角形，還有其他的思路嗎？

學(xué)生進(jìn)行熱烈的討論，但很少有同學(xué)能形成思路.

師：能不能突破邊和角的束縛，思維更開(kāi)闊一些？我們還有哪些性質(zhì)沒(méi)用？

生4：是不是可以從對(duì)角線的角度入手？連接BD交AC于點(diǎn)O，這樣，可以考慮證明△FBO與△EDO全等（如圖6）……

師：不用全等可以推證嗎？（一石激起千層浪，學(xué)生的積極性被充分地調(diào)動(dòng)起來(lái)了，不一會(huì)兒，一位中等水平的同學(xué)怯怯地舉起了手）

生5：我是從中心對(duì)稱角度來(lái)思考的，如圖6，易知BO=DO、EO=FO，從而整個(gè)圖形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，得到∠E=∠F，就證出BF∥DE．

師：（學(xué)生情不自禁地鼓起了掌）真不簡(jiǎn)單！平行四邊形的實(shí)質(zhì)是中心對(duì)稱圖形，有些問(wèn)題若能從這一本質(zhì)屬性出發(fā)，解決起來(lái)顯得特別的簡(jiǎn)單．這也啟發(fā)我們要注意及時(shí)使用新的知識(shí)，學(xué)會(huì)從不同的角度來(lái)思考，思路更廣闊些，就會(huì)別有一番洞天．

活動(dòng)4：及時(shí)反饋

1．已知?ABCD的周長(zhǎng)等于48，AB=2BC，則AB=______，AD=______．

2．已知在?ABCD中，∠A比∠B大60°，則∠A=______，∠D=______.

圖6

3.如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)正好與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，2）、（-2，1），則點(diǎn)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為_(kāi)_____、______.

圖7

圖8

4.如圖8，我們?cè)谄吣昙?jí)直觀地認(rèn)識(shí)了“兩條平行線的距離處處相等”.你能利用今天所學(xué)知識(shí)解釋它的道理嗎？

圖9

設(shè)計(jì)說(shuō)明：及時(shí)適度地反饋練習(xí)既有利于檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，也能讓教師發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問(wèn)題，進(jìn)行有效地調(diào)整.應(yīng)給足學(xué)生思考的時(shí)間，放手讓學(xué)生獨(dú)立解決.根據(jù)學(xué)生解答情況，可揭示第2題中的方程思想；對(duì)于第4題，可將其一般化，如圖9所示，得出夾在兩條平行線間的平行線段相等.

活動(dòng)5：拓展提高

圖10

如圖10，已知平行四邊形ABCD，試用不少于兩種方法，將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)部分.（要求用文字簡(jiǎn)述你所設(shè)計(jì)的方法，并在所給的平行四邊形中畫(huà)圖）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生思維能力的提升和優(yōu)化需我們教師落實(shí)到平時(shí)的教學(xué)中，特別是在每一節(jié)課的最后時(shí)段更需著力而為，從知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”處精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究能力的同時(shí)訓(xùn)練與提升學(xué)生的思維品質(zhì).放手學(xué)生畫(huà)圖操作、交流設(shè)計(jì)方案，由特殊到一般進(jìn)行總結(jié)：過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)任意一條直線均將平行四邊形面積等分，再一次回歸到平行四邊形中心對(duì)稱的本質(zhì)屬性上.還可在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考如何將平行四邊形的面積分成相等的四個(gè)部分，將思維進(jìn)一步引向深入.

活動(dòng)6：自我小結(jié)

設(shè)計(jì)說(shuō)明：鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言，總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容，并交流學(xué)習(xí)的收獲與體會(huì).在此基礎(chǔ)上教師要發(fā)揮引路人的作用，適時(shí)點(diǎn)睛，完善體系，幫助學(xué)生將所學(xué)知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中；還要能提出新的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生新的思考，將思維的火苗燃燒得更為旺盛.

如：對(duì)于平行四邊形我們還要研究怎樣的知識(shí)呢？小學(xué)里還認(rèn)識(shí)了矩形、菱形、正方形，它們是平行四邊形嗎？它們與平行四邊形有何關(guān)系？它們又各自具有哪些特有的性質(zhì)呢？今后將逐一揭開(kāi)謎底.（在師生交流過(guò)程中將板書(shū)的知識(shí)框圖補(bǔ)充完整，如圖11所示）

圖11

（三）作業(yè)布置

A組：1.整理鞏固“活動(dòng)導(dǎo)學(xué)單”的內(nèi)容；

2.練習(xí)冊(cè)P36-37習(xí)題22.2（1）、（2）.

B組：完成數(shù)學(xué)日記.

課題：______日期：______姓名：______

（1）本節(jié)課我掌握得最好的地方是：______；

（2）我還需要進(jìn)一步訓(xùn)練的地方是：______；

（3）對(duì)“平行四邊形的性質(zhì)”的獲取過(guò)程以及將性質(zhì)從邊、角、對(duì)角線和對(duì)稱性等角度歸類你有何感悟：______.

C組：在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，4），B（-1，1），C（3，1），則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是______.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：分層布置作業(yè)，旨在關(guān)注學(xué)生的個(gè)性差異，真正保護(hù)不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，使每一個(gè)學(xué)生都不同程度地獲得成功感.

三、評(píng)價(jià)反思

（一）注重建構(gòu)悟方法

本設(shè)計(jì)將需要兩個(gè)課時(shí)研究的性質(zhì)整合在一起加以探究，既體現(xiàn)了知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性，又凸顯了思維的有序性、層次性與發(fā)展性.開(kāi)篇在對(duì)三角形、四邊形知識(shí)梳理的基礎(chǔ)上，通過(guò)“對(duì)四邊形對(duì)邊位置關(guān)系分類”自學(xué)成果的交流與梳理，勾勒出四邊形部分學(xué)習(xí)的“藍(lán)圖”；接著引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，完成對(duì)平行四邊形定義以及表示方法的自主建構(gòu)；在探究出四條性質(zhì)之后，著力將其從四邊形基本元素的角度進(jìn)行歸類，使得新學(xué)知識(shí)易于固化和長(zhǎng)效定位；新知的應(yīng)用經(jīng)歷了學(xué)生思考、交流、展示的過(guò)程，從中所形成的經(jīng)驗(yàn)與方法附著在新知識(shí)的枝芽上顯得越發(fā)牢固；特別是“自我小結(jié)”環(huán)節(jié)中所設(shè)置的幾個(gè)發(fā)展性問(wèn)題，使知識(shí)脈絡(luò)的縱橫發(fā)展更為清晰可感．

（二）依托內(nèi)涵蘊(yùn)思想

對(duì)平行四邊形性質(zhì)探究的設(shè)計(jì)相對(duì)于教材動(dòng)了較大的手腳——放棄由觀察感知得出平行四邊形性質(zhì)的常規(guī)途徑，改為從三角形入手構(gòu)造中心對(duì)稱圖形，再由平行四邊形的中心對(duì)稱性整體得出其他性質(zhì)．這種創(chuàng)新處理，固然相對(duì)于學(xué)生的直觀思維上來(lái)看有其欠缺的地方，但這種立足于數(shù)學(xué)本源性的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生理性思維的發(fā)展大有裨益，彰顯著濃濃的數(shù)學(xué)味，為后續(xù)對(duì)平行四邊形判定以及特殊平行四邊形教學(xué)打開(kāi)了“一扇窗戶”，更方便學(xué)生看到多姿多彩的“春天”，也更利于學(xué)生能自主地投入到春天的懷抱中自由徜徉．

聽(tīng)了本課的一位特級(jí)教師建議筆者就平行四邊形（包括特殊平行四邊形）這部分教學(xué)開(kāi)展微科研，并以此為突破口，進(jìn)行“數(shù)學(xué)本源性知識(shí)”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究，定是惠及學(xué)生福祉的善舉．誠(chéng)惶誠(chéng)恐，謹(jǐn)以拙文，拋磚引玉．