擾動(dòng)算子的群可逆性及其表示

胡春梅

(麗江師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)計(jì)系，云南 麗江 674100)

1 引言與引理

設(shè)X和Y為兩個(gè)任意可分的Banach空間，L(Χ，Υ)是從X到Y(jié)的有界線性算子的全體，L(Χ，X)記為L(Χ)。對(duì)任一算子A∈L(Χ，Υ)，R(A)，N(A)和Reσ(A) ＞0分別表示A的值域，零空間和特征值的實(shí)部。

定義1[1]設(shè) A∈ L(Χ)，稱滿足下列方程的算子 X∈L(Χ)

(1)AXA=A，(2)XAX=X，(3)AX=XA為A的群逆，記X=Ag。且A的指標(biāo)為1，即Ind(A)=1。

引理1[2]設(shè)A∈L(Χ)且Ind(A)=1，則在空間分解Χ=R(A)⊕R(A)⊥下，存在可逆算子

此時(shí)，

引理2 設(shè)A∈L(Χ)且Ind(A)=1，E∈ L(Χ)。若‖AgE‖＜1，則I+AgE和I+EAg均可逆，且

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A∈L(Χ)且Ind(A)=1，E∈L(Χ)，B=A+E，‖AgE‖＜1，AAgEAπ=0，

若EAπ=0，AπE=0則 B是群可逆的且 Bg=(I+

證明：由引理1可知，在空間分解Χ=R(A)⊕R(A)⊥下，A、Ag和AAg、Aπ分別具有(1)和(2)中的形式，且可設(shè)E=

由條件AAgEAπ=0，EAπ=0，AπE=0，可計(jì)算出E12=0，E21=0，E22=0.

又因?yàn)椤珹gE‖ ＜1，則由引理2，I+AgE可逆，即I+Ag可逆，則A11+E11可逆，所以由引理1知B是群可逆的。

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