張啟敏，史建偉

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川 750021)

帶分?jǐn)?shù)布朗運動和Markovian跳的種群系統(tǒng)的近優(yōu)控制*

張啟敏，史建偉

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川 750021)

討論了一類帶有分?jǐn)?shù)布朗運動和Markovian調(diào)制的隨機(jī)種群系統(tǒng)最優(yōu)逼近控制問題，給出了模型的伴隨方程、哈密頓函數(shù)，應(yīng)用Ekeland變分原理、Ito公式及一些不等式給出了隨機(jī)種群系統(tǒng)最優(yōu)逼近控制存在的必要條件.

隨機(jī)種群;分?jǐn)?shù)布朗運動;Markovian鏈;最優(yōu)逼近控制;Ekeland變分

1 問題的提出

近年來一些專家建立了確定性的種群模型，并取得一些研究成果［1-3］.確定性的種群模型可以由以下偏微分方程來描述:

在上述模型中，Q∶=(0，A)×［0，T］，其中t∈(0，T)，a∈(0，A)，A表示種群的預(yù)期壽命，即最大年齡.［r1，r2］表示種群中雌性的生育區(qū)間.其余的參數(shù)含義如下:K(t，a)為t時刻年齡為a的種群密度;N(t)為t時刻種群的總量;σ(a)表示年齡為a的種群的死亡率;K(t，0)為種群初始分布函數(shù);γ(t)為年齡為t時刻雌性生育率，且0＜γ(t)＜1;u(t，a)是人為的控制變量;m(t，a)為t時刻年齡為a的種群中雌性所占的比例，I(t，K)表示外界環(huán)境對整個種群系統(tǒng)的影響.然而，現(xiàn)實生活中總存在一些不確定性的、不連續(xù)的、突然的擾動，如海嘯、地震、外來物種的侵入、種群遷徙等等，這些因素的產(chǎn)生致使種群的穩(wěn)定性受到一定的影響.由于種群系統(tǒng)這種復(fù)雜的、受到的影響不連續(xù)且不可預(yù)測的特性，因此在考慮種群系統(tǒng)的模型時，筆者將分?jǐn)?shù)布朗運動和Markovian鏈考慮到模型中去，并且假設(shè)I(t，K(t，a))被一個隨機(jī)擾動產(chǎn)生影響，即

則帶有分?jǐn)?shù)布朗運動和Markovian調(diào)制的隨機(jī)資產(chǎn)積累模型有如下表示形式:

目前，關(guān)于分別帶有Markovian和分?jǐn)?shù)布朗運動的相關(guān)研究已經(jīng)有很多，如文獻(xiàn)［4］研究了帶有Markovian的隨機(jī)種群系統(tǒng)的數(shù)值解法，文獻(xiàn)［5］討論了一類帶有分?jǐn)?shù)布朗運動且與年齡相關(guān)的人口模型的數(shù)值解，但是對帶有分?jǐn)?shù)布運動和Markovian調(diào)制的隨機(jī)擾動的種群系統(tǒng)最優(yōu)控制的研究并不多見.

眾所周知，一般情況下由于最優(yōu)控制的條件要求比較嚴(yán)格［6-8］，所以并不是任何一個問題的最優(yōu)控制都存在.為此，一些學(xué)者便開始研究最優(yōu)逼近控制［9］.筆者主要采用Ekeland變分原理、Ito公式及一些特殊不等式等方法來證明帶有分?jǐn)?shù)布朗運動和Markovian調(diào)制的隨機(jī)種群系統(tǒng)的最優(yōu)逼近控制問題，并給出系統(tǒng)的最優(yōu)逼近控制存在的必要條件.

2 預(yù)備知識

定義1(分?jǐn)?shù)布朗運動)設(shè)0＜H＜1，BH={BH(t)，t∈R}是Hurst參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運動，其為一連續(xù)的高斯過程，是一個半鞅，且滿足

設(shè){r(t)，r≥0}是定義在概率空間上取值于有限狀態(tài)S={1，2，…，N}的右連續(xù)的Markovian鏈，其生成元Γ = (γij)N×N如下給定:

方程(1)的積分形式為

其中Kt=K(t，a).在［0，T］上，考慮如下目標(biāo)函數(shù):

定義2(ε-最優(yōu)逼近)［9］對于任一給定的ε＞0，設(shè)ξ是ε的函數(shù)，且滿足ξ(ε)→0當(dāng)ε→0時，此時對于充分小的ε，若|J(uε(·)-V)|≤ξ(ε)成立，則稱uε(·)為ε-最優(yōu)逼近，其中ξ(ε)稱為誤差階.若對于一些獨立于常數(shù)C的δ＞0，有ξ(ε)=Cεδ，則稱uε(·)為εδ階的最優(yōu)逼近.

其中l(wèi)u(t，K(t，a)，u(t，a))是l(t，K(t，a)，u(t，a))關(guān)于u(t，a)的偏導(dǎo)數(shù).

(H3)(局部利普希茨條件)存在常數(shù)C3i＞0使得

對任意的u(t，a)∈Uad和其相應(yīng)的狀態(tài)變量K(t，a)，參照文獻(xiàn)［10］，引入伴隨方程和相應(yīng)的Hamiltonian函數(shù)如下:

顯然(λ(t，a)，ψ(t，a))是相應(yīng)于狀態(tài)過程K(t，a)的伴隨過程.很容易看出在(H1)，(H2)條件下，伴隨方程存在唯一的-適應(yīng)解(λ(t，a)，ψ(t，a)，φ(t，a))K(t，a))是有界的，所以存在與K(t，a)，u(t，a)獨立的常數(shù)C4＞0，使得伴隨過程滿足

且對?v∈V，?u∈Uad，定義

其中dt?q是Lebesgue測度dt和概率測度q的乘積測度，顯然，(Uad，d)是一個完備的距離空間［11］.

3 最優(yōu)逼近的必要條件

在這一部分，將給出最優(yōu)逼近控制存在的必要條件.

引理2對?0＜α＜1，0≤p≤2，存在常數(shù)C1=C1(α，p＞0)使得?u(t，a)，u'(t，a)∈Uad以及相應(yīng)的K(t，a)，K'(t，a)，有

證明首先假設(shè)p=2，對|K(t，a)-K'(t，a)|2采用Ito公式，有

首先來證明(5)式的第一部分.

利用局部利普希茨條件，可得

對于(5)式的倒數(shù)第三部分，由不等式和定義1可得

C2至C4都是常數(shù).對于(5)式的倒數(shù)第三部分，

引理3 對?0＜α＜1，1＜p＜2滿足(1+αβ)p＜2，存在常數(shù)C5=C5(α，β，p)＞0，對?u(t，a)，u'(t，a)∈Uad，及相應(yīng)的狀態(tài)變量K(t，a)，K'(t，a)和伴隨變(λ(t，a)，ψ(t，a))，(λ'(t，a)，ψ'(t，a))，有

證明令((t，a)t，a))≡(λ(t，a)-λ'(t，a)，ψ(t，a)-ψ'(t，a))，且滿足如下方程:

假設(shè)η是如下方程的解:

對任意的向量a≡(a1…an)*有sgn(a)≡(sgn(a1)…sgn(an))*.在(H1)，(H2)條件下，方程(10)有唯一的解并且

顯然由(2)式可知，(10)式右端有界.

另一方面，對ˉλ(t，a)·η(t，a)進(jìn)行Ito積分并取期望，可得

進(jìn)一步來證明(10)式.首先，

同理，容易得到

由(11)，(12)式得到，

綜上，(9)式成立，從而引理3得證.

其中Kε(t，a)和(λε(t，a)，ψε(t，a))分別為狀態(tài)方程和伴隨方程的解.

證明 現(xiàn)分2步進(jìn)行.

對(14)式按Taylor展開，可得

在(H1)條件下，將(15)式代入(13)式并根據(jù)引理1，可得

在(16)式中令ρ→0，得到

第2步.討論(Kε(t，a)，uε(t，a))成立的必要條件.

綜上，關(guān)于資產(chǎn)積累系統(tǒng)的最優(yōu)逼近控制存在的必要性證明完畢.

4 結(jié)語

引入一類帶有分?jǐn)?shù)布朗運動和Markovian調(diào)制的隨機(jī)種群系統(tǒng)，證明了隨機(jī)種群系統(tǒng)的最優(yōu)逼近控制存在的必要.在證明過程中引入伴隨方程和哈密頓函數(shù)，主要利用Ekeland變分原理、Ito公式以及一些特殊不等式等來證明結(jié)論成立.

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(責(zé)任編輯 向陽潔)

Near-Optimality in Stochastic Control of Stochastic Age-Dependent System with Markovian Switching and Fractional Brownian Motion

ZHANG Qi-min，SHI Jian-wei
(School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，China)

A class of stochastic age-dependent system with Marvokian switching and fractional Brownian motion is introduced，and the necessary conditions for near-optimality are established.The conditions are described by an adjoint process and a nearly maximum condition on the Hamiltonian.The proof of the main results is based on Ito formula，Ekeland’s variational principle and some estimates on the state and the adjoint process with respect to the control variable.

stochastic age-dependent system;fractional Brownian motion;markovian switching;near-optimal;ekeland’s variational principle

O211.63

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.02.002

1007-2985(2013)02-0005-07

2012-12-06

國家自然科學(xué)基金資助項目(11061024;11261043)

張啟敏(1964-)，女，天津人，寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)學(xué)院教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事隨機(jī)計算及其

應(yīng)用研究.