江松明，王 沁，劉 曦，昌春艷

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都 610031）

基于Copula模型的股市收益率與成交量的相關(guān)分析＊

江松明，王 沁，劉 曦，昌春艷

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都 610031）

建立了基于AR（1）－GARCH（1，1）的Gumbel Copula模型，并以此為基礎(chǔ)刻畫了中國房地產(chǎn)股市收益率與成交量之間的相關(guān)性.通過AIC信息準(zhǔn)則進行擬合優(yōu)度檢驗發(fā)現(xiàn)，Gumbel Copula函數(shù)模型能夠更好地刻畫收益率與成交量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，收益率與成交量之間存在上尾高的非對稱相關(guān)，以及很弱的正相關(guān)的特征.

Copula函數(shù)；收益率；成交量；相關(guān)性

近些年來，有市場“晴雨表”之稱的股市逐漸成為人們關(guān)注的焦點.在股票市場迅速發(fā)展的同時，學(xué)術(shù)界和投資界對中國股票市場的理論和實踐研究也在不斷地深化.價格是股市討論的核心問題，其中股市的風(fēng)險問題也是圍繞股價來展開的.

但是在現(xiàn)實證券市場交易中，成交量一直是一個不可忽略的變量，它代表股市在一段時間內(nèi)多空雙方力量的對比和對后市信心的強弱表現(xiàn).等到證券分析技術(shù)性指標(biāo)的出現(xiàn)，如MACD，KDJ，RSI等，它們在實際上的應(yīng)用，其最為基本的就是結(jié)合了量價關(guān)系，在量價關(guān)系不正常時會出現(xiàn)背離，應(yīng)用技術(shù)指標(biāo)就可判斷出相應(yīng)的買點或者是賣點.Clark［1］根據(jù)信息流理論提出混合分布假說（MDH，Mixture Distribution Hypothesis），認為收益率和成交量是由一組潛在的、不可觀測的信息流變量共同決定的，其中價格與成交量的波動由信息流的沖擊產(chǎn)生.Wang J［2］通過分析信息不對稱建立模型，利用該模型分析了量價之間的動態(tài)關(guān)系，結(jié)果顯示成交量可以提供關(guān)于未來預(yù)測收益的信息，還檢驗了成交量是如何與信息流入市場相關(guān)聯(lián)的.Terry A Marsh等［3］基于GARCH－M模型對7個國際證券市場的量價關(guān)系進行了實證研究，發(fā)現(xiàn)在絕大多數(shù)市場中，成交量都能解釋為相當(dāng)數(shù)量的條件回報方差.Embrechts P等［4］運用Copula函數(shù)對股市的相關(guān)結(jié)構(gòu)進行了分析.關(guān)靜［5］、夏天［6］、易文德［7］等學(xué)者也對股市中量價關(guān)系作了研究.

由于中國股市才成立短短20年的時間，股市容易受到外部環(huán)境因素和國家宏觀政策調(diào)控的影響，因此股市中價格與成交量的關(guān)系是復(fù)雜且非線性的，任何錯誤或者不適的模型或者研究方法都會導(dǎo)致嚴(yán)重失真，引發(fā)投資決策出現(xiàn)重大錯誤；所以，需要較為準(zhǔn)確地刻畫它們之間的關(guān)系，才有利于金融序列的風(fēng)險分析和投資決策.

筆者在前人對收益率與成交量的相關(guān)關(guān)系的研究的基礎(chǔ)上，應(yīng)用Gumbel函數(shù)［8］建立Copula模型研究收益率與成交量的相關(guān)關(guān)系和相依結(jié)構(gòu)，并對結(jié)果及其現(xiàn)象進行了分析.

1 Copula模型與研究方法

在構(gòu)建金融模型時，可以將Copula函數(shù)隨機變量的邊緣分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開來研究，而且其中邊緣分布的選擇不受限制.經(jīng)過眾多的研究表明，金融序列多數(shù)為高峰厚尾性，與正態(tài)分布的假設(shè)不吻合，并且當(dāng)股市出現(xiàn)較大波動時，線性的相關(guān)系數(shù)無法準(zhǔn)確反映出價格曲線以及成交量的尾部特性.而阿基米德Copula函數(shù)具有對稱性和結(jié)合性，含有適合牛市與熊市相關(guān)性的刻畫的各種類型Copula模型，所以在收益率與成交量相關(guān)關(guān)系的研究中得到廣泛應(yīng)用.

1.1 阿基米德Copula函數(shù)（Archimedean Copula）

阿基米德Copula函數(shù)［9］的具體表達式為

Gumbel Copula函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

參數(shù)θ與尾部系數(shù)有如下對應(yīng)關(guān)系：

Gumbel Copula的密度函數(shù)具有非對稱性，其密度函數(shù)分布圖呈“J”字型，即為上尾高、下尾低的形狀，因此它對變量在分布上尾處的變化非常敏感，可用于描述具有上尾相關(guān)特性的金融市場之間的相關(guān)關(guān)系.例如股票市場的收益率序列為正的極值時，股票中的各種變量之間會呈現(xiàn)更高的相關(guān)性.

1.2 Copula模型參數(shù)的估計

模型的參數(shù)估計［10］是進行統(tǒng)計分析的重要過程，Copula函數(shù)的參數(shù)估計方法分別為參數(shù)估計方法和非參數(shù)估計方法.在這里選擇的是2階段極大似然估計法.

對于時間序列｛Rt｝與｛Qt｝，t＝1，...，T，令它們的邊緣分布分別為Ut（rt；φ）和Vt（qt；γ），則Copula函數(shù)為Ct（Ut（rt；φ），Vt（qt；γ）；θ），其中φ，γ，θ分別表示相應(yīng)的參數(shù)，那么采用2階段極大似然估計法可以將Copula模型的參數(shù)估計分為2個步驟［9］：

首先根據(jù)（1）（2）式估計出其邊緣分布的參數(shù)φ與γ，然后將估計值和帶入Copula函數(shù)中（（3）式），利用極大似然估計，來估計Copula函數(shù)中參數(shù)θ的值.

2 實證

2.1 數(shù)據(jù)及統(tǒng)計描述

選擇2007年1月4日至2012年6月4日的地產(chǎn)指數(shù)（DC）作為研究對象.股票的每日收盤價為Pt，將收益率定義為Rt＝100×（ln Pt－ln Pt－1），t＝1，2，...，T，每日成交量為volt，對數(shù)變化率為Qt＝ln volt－ln volt－1.

表1 房地產(chǎn)股市的收益率與成交量變化率的統(tǒng)計分析

從表1可以看到，該房地產(chǎn)股市的收益率序列和成交量變化率序列都存在偏斜與尖峰的特征.由它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可知，成交量的變化率波動要大一些.收益率序列的偏斜為負，說明有明顯的負拖尾現(xiàn)象，負極值比正極值占主導(dǎo)地位；而相反地，在成交量變化率序列中，偏斜為正，說明正極值比負極值占主導(dǎo)地位.收益率序列與成交量變化率序列的峰度都大于3，有較明顯的厚尾特征，而且收益率的尾部比成交量變化率的更厚.再從各序列的JB統(tǒng)計值得知各序列都不服從正態(tài)分布.最后從ADF檢驗值得知，它們都是平穩(wěn)時間序列.

2.2 邊緣建模

在金融市場中，波動是其重要的特征.金融的時間序列的波動多呈現(xiàn)時變、聚類等特性.通過對序列｛Rt｝與｛Qt｝進行序列相關(guān)性檢驗和ARCH效應(yīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)｛Rt｝沒有明顯的序列相關(guān)性，而序列｛Qt｝有較強的序列相關(guān)性，并且它們都存在異方差性.圖1和圖2分別為收益率與成交量的折線圖，從圖可知，收益率與成交量具有明顯的波動聚集性.為此消除以上的影響，應(yīng)用GARCH模型來描述序列｛Rt｝與｛Qt｝的條件邊緣分布.

圖1 收益率折線

圖2 成交量折線

對序列｛Rt｝建立如下AR（1）－GARCH（1，1）模型：

其中et分別服從正態(tài)分布、t分布、廣義誤差分布（GED）.

AR（1）－GARCH（1，1）模型在不同分布下的參數(shù)估計值如表2所示.

綜合來看，雖然它們都能捕捉股市收益率的波動特征，但存在差異，當(dāng)擾動項服從t分布時，能更好地刻畫股市收益率的波動.

表2 收益率AR（1）－GARCH（1，1）模型在不同分布下的參數(shù)估計值

對序列｛Qt｝建立如下ARMA（2，1）－GARCH（1，1）：

其中et分別服從正態(tài)分布、t分布、廣義誤差分布（GED）.

表3給出成交量基于ARMA（2，1）－GARCH（1，1）建立的模型在不同分布下的參數(shù)值.同樣，它們都捕捉到股市成交量的波動，但是也存在差異，當(dāng)擾動項服從t分布時，能更好地刻畫股市成交量的波動.

2.3 模型的參數(shù)估計及分析

收益率序列與成交量對數(shù)變化率序列分別用GARCH模型來刻畫，將收益率與成交量對數(shù)變化率的GARCH模型的殘差用概率積分變換成均勻分布，圖3為轉(zhuǎn)化成均勻分布后的散點圖.

從圖3可以看出，散點大致集中于主對角線與副對角線上，反映出收益率與成交量對數(shù)變化率的相關(guān)結(jié)構(gòu)存在復(fù)雜的關(guān)系，即收益率的上漲可能會引起成交量的增加或減少，收益率的下跌也可能引起成交量的增加或減少.2個序列同時取極大值的概率比較大.當(dāng)股市處于牛市時，收益率與成交量相關(guān)性加強.從Copula函數(shù)的特性來看，Gumbel Copula的函數(shù)形式對上尾相關(guān)性敏感，它對數(shù)據(jù)的擬合程度較好，可以更直觀地看出收益率與成交量的非對稱結(jié)構(gòu).

用Gumbel Copula模型來刻畫數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，用極大似然估計方法對其進行估計，結(jié)果列于表4.從表4可以看出，Gumbel Copula函數(shù)參數(shù)值與上尾相關(guān)系數(shù)較大，說明地產(chǎn)指數(shù)的收益率與成交量之間存在上尾高且非對稱相關(guān)現(xiàn)象.而它們的Kendall秩相關(guān)系數(shù)較小，表明收益率序列與成交量對數(shù)變化率序列的相關(guān)性不是太強.圖4示出地產(chǎn)指數(shù)股票的Copula函數(shù)模型的密度分布圖.從圖4可以清晰直觀地觀察它們的收益率與成交量對數(shù)變化率的相關(guān)結(jié)構(gòu).

表4 Gumbel Copula模型參數(shù)估計值

圖3 股市收益率與成交量對數(shù)變化率的散點圖

圖4 地產(chǎn)指數(shù)股市的收益率、成交量對數(shù)變化率與Gumbel Copula模型的密度函數(shù)

2.4 模型的擬合優(yōu)度檢驗

文中用Akaike’s Information Criterion（AIC）來確定擬合程度.通過與Gumbel Copula，Clayton Copula，F(xiàn)rank Copula之間的比較，發(fā)現(xiàn)Gumbel Copula能更好地刻畫收益率與成交量之間的相關(guān)關(guān)系.各個模型的AIC值見表5，它們之間的AIC值相差比較大，是因為Clayton Copula的密度函數(shù)也成非對稱性，但是與Gumbel Copula函數(shù)相反，呈現(xiàn)“L”型，對下尾處的變化十分敏感；而Frank Copula的密度分布是對稱的，尾部都是漸進獨立的.

表5 各個模型的AIC值

3 結(jié)果與討論

對地產(chǎn)指數(shù)的收益率和成交量對數(shù)變化率的相關(guān)關(guān)系的實證研究表明，它們之間呈上尾高的非對稱相關(guān)及較弱的正相關(guān)性，比如Gumbel Copula函數(shù)的Kendall的秩相關(guān)系數(shù)的值很小.因為在數(shù)據(jù)的選取上存在局限性，所以會導(dǎo)致這種情況.例如在現(xiàn)實股市中價格的上漲既可能拉升成交量，也可能導(dǎo)致成交量的減少，那么量價之間的相關(guān)程度就會相互抵消，并且股市中的個股的每日成交量是線性正向疊加的，這也是導(dǎo)致相關(guān)程度較弱的原因之一.

總體來說，政策因素是價格與成交量產(chǎn)生波動的原因之一，就地產(chǎn)指數(shù)而言，2007年央行與銀監(jiān)會聯(lián)合發(fā)布“二套房”新策，經(jīng)過1年的觀望后，房價開始大漲，而2008年的下半年金融危機、2009年與2011年大力度的房價調(diào)控政策，使得房地產(chǎn)股市價格大大下跌與成交量明顯縮減.信息也會對價格與成交量產(chǎn)生正面或者負面的影響.收益率與成交量對數(shù)變化率之間的呈上尾高的非對稱現(xiàn)象，其原因為：在某種極端情況下，一般股市因為價格上漲而導(dǎo)致成交量增大的概率要大于價格下跌而導(dǎo)致成交量減少的概率.作為股市中的參與者多空雙方，其雙方力量對比也是影響因素之一.當(dāng)多方力量大，致使價格上漲和成交量增加；反之，空方力量占主導(dǎo)地位時，致使價格下跌而成交量也會增加.但是，當(dāng)多空雙方在均衡點時，總的來說有2類情況：第一，投資者交易參與意愿不強烈并且其對股票價格的估計與預(yù)期在同一方向時，股票價格會發(fā)生波動而成交量變得稀少；第二，當(dāng)投資者參與交易的意愿很強且同時對股票價值的平均預(yù)期沒有發(fā)生任何變化時，就致使價格不會發(fā)生波動而成交量變大很多.所以，收益率與成交量對數(shù)變化率之間的相關(guān)關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜，股市中的投資者“追漲”的現(xiàn)象較“殺跌”現(xiàn)象更為普遍.當(dāng)股市處于牛市時，投資者的交易行為更為頻繁活躍.

4 結(jié)語

在Gumbel Copula模型的刻畫下，對中國房地產(chǎn)股市中收益率與成交量相關(guān)關(guān)系及相關(guān)結(jié)構(gòu)的問題進行初步的探討.收益率序列與成交量對數(shù)變化率序列都呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征，構(gòu)建Gumbel Copula模型后，用極大似然估計法，對它們的相關(guān)結(jié)構(gòu)及關(guān)系進行估計.結(jié)果表明，它們之間的相關(guān)關(guān)系較為復(fù)雜，并且存在上尾高的非對稱關(guān)系.對于動態(tài)的相關(guān)結(jié)構(gòu)和市場的微觀結(jié)構(gòu)在文中尚未涉及，如何研究價量之間的動態(tài)關(guān)系等問題還需要進一步的探討.

［1］ CLARK P.A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices［J］.Econometrica，1973，41：135－155.

［2］ WANG J.A Model of Competitive Stoek Trading Volume［J］.Journal of Politcal Economy，1994，102（1）：127－168.

［3］ TERRY A MASH，NIKLAS WAGNER.Return－Volume Dependence and Extremes in International Equity Markets［D］.Hass School of Business，UC Berkeley，May 2000，Working Ppaper RPF－293.

［4］ EMBRECHTS P，LINDSKOG F，MCNEIL A L.Modeling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management［C］.ETH，Preprint，2001.

［5］ 關(guān) 靜，史道濟.滬深股市風(fēng)險的相關(guān)性分析［J］.統(tǒng)計研究，2003，20（10）：45－47.

［6］ 夏 天.基于CARR模型的交易量與股價波動性動態(tài)關(guān)系的研究［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007，26（5）：887－895.

［7］ 易文德.基于Copula函數(shù)模型的股市交易量與股價相依關(guān)系［J］.系統(tǒng)工程，2010，28（10）：36－41.

［8］ NELSEN R.An Introduction to Copulas［M］.New York：Springer，1999.

［9］ 韋艷華，張世英.Copula理論及其在金融分析上的應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

［10］ MBERTO CHERUBINI ELISA LUCIANO，WALTER VECCHIATO.Copula Methods in Fianace［M］.Chichester：John Wiley ＆Sons，Ltd.，2004.

（責(zé)任編輯 向陽潔）

Dependence Relationship Between the Returns and Volume of Stock Based on the Copula Model

JIANG Song－ming，WANG Qin，LIU Xi，CHANG Chun－yan
（College of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

This paper establishes Gumbel Copula model based on AR（1）－GARCH（1，1），and then portrays the correlation between the real estate of return and volumes through Gumbel Copula model.By AIC information criterion for testing goodness it is found that the Gumbel Copula is better to describe the dependence structure between the price return and volumes.Results show that there is an asymmetrical dependence of higher upper tail between them，but the positive dependence is not strong.

Copula；returns；trade volume；correlation

F224；F830.91

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.04.007

1007－2985（2013）04－0026－05

2013－01－22

2009教育部人文社會科學(xué)研究項目（09YJCZH104）；西南交通大學(xué)“希望之星”資助；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助（SWJTU12ZT14）

江松明（1987－），男，四川綿竹人，碩士生，主要從事金融時間序列分析研究.