外接球問(wèn)題“心”在哪里

浙江省臨海市回浦中學(xué) 李昌湛 （郵編：317000）

在組合體中，有一類是幾何體的外接球問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置.本文介紹幾種找?guī)缀误w外接球球心的方法，僅供參考.

1 利用直角三角形斜邊的中點(diǎn)找球心

例1 （2009湖南卷）在半徑為13的球面上有A，B，C三點(diǎn)，AB＝6，BC＝8，CA＝10，則球心到平面ABC的距離為＿＿＿＿.

解 ∵AB＝6，BC＝8，CA＝10，

∴∠ABC＝，

故球心到平面ABC的距離為12.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BD，BC⊥CD，將 △ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，則該幾何體的外接球的表面積等于（ ）

解 如圖2，在四面體A－BCD中，

∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD⊥BC，

由三垂線定理知CD⊥AC，即AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共斜邊，取斜邊AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OB，OC，則OA＝OB＝OC＝OD，∴四面體A－BCD的外接球球心即為O，∴外接球的半徑R＝OA＝AD＝，∴S球＝4πR2＝＝3π，故選A.

例3 一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為（ ）

解 由三視圖作出原幾何體是三棱錐ABCD，如圖4所示.

平面ABD⊥平面BCD，取BD的 中 點(diǎn)O1，連結(jié)AO1，CO1，

因△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△BCD是等腰直角三角形，且BC＝CD＝，∠BCD＝90°，有AO1⊥平面BCD，則球心O在線段AO1上，連結(jié)BO，設(shè)外接球的半徑為R，在Rt△BOO1中，因BO2＝BO12＋，即R2＝12＋－R）2，解得R＝，∴S球＝4πR2＝，故選B.

評(píng)注 因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹芯€長(zhǎng)等于斜邊的一半，所以斜邊的中點(diǎn)到該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用這一性質(zhì)可找出過(guò)直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的幾何體的外接球球心.

2 利用斜三角形的外心找球心

例4 （2010寧夏、海南卷）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）

例5 （2009全國(guó)卷I）直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于__________.

解 如圖6，設(shè)三角形ABC和A1B1C1的外心分別為O1和O2，連結(jié)O1O2，OA，O1A，取O1O2的中點(diǎn)O，則O到直三棱柱ABC－A1B1C1各頂點(diǎn)的距離都相等，即球心即為O，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝12，

即BC＝ 2，設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則由正弦定理，得

∴S球＝4πR2＝4π×（）2＝20π.

評(píng)注 因?yàn)槿切蔚耐庑牡饺切稳齻€(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以過(guò)三角形的外心且垂直于此三角形所在平面的垂線上的任意一點(diǎn)到此三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離也相等，所以過(guò)該三角形三個(gè)頂點(diǎn)的球的球心必在垂線上.

3 利用正方體或長(zhǎng)方體的中心找球心

例6 （2012遼寧卷）已知正三棱錐PABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為__________.

解 把正三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖7，則球心O就是正方體的中心，

∴正方體的體對(duì)角線l等于球的直徑，∴l(xiāng)＝，又∵面ABC把正方體的體對(duì)角線三等分，設(shè)球的半徑為R，則球心O到截面ABC的距離d＝R－l＝

例7已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝ 1，BC＝，則球O的表面積等于（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

解 把四面體SABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖8，則球心O是長(zhǎng)方體的中心，∵長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑，設(shè)球的半徑為R，

∴ （2R）2＝12＋12＋）2，∴R＝1，

∴S球＝4πR2＝4π.

例8 在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝a，AC＝BD＝b，AD＝BC＝c，則該三棱錐的外接球的表面積為 .

評(píng)注 因?yàn)檎襟w或長(zhǎng)方體的中心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以過(guò)正方體或長(zhǎng)方體若干個(gè)頂點(diǎn)的球的球心就是正方體或長(zhǎng)方體的中心，此類問(wèn)題找球心往往需要對(duì)幾何體進(jìn)行補(bǔ)形.