馬維軍， 朱寰宇， 張顯

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150080)

0 引言

由于時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)較定常時(shí)滯系統(tǒng)具有更廣泛的工程背景［1－2］，近幾年得到了人們普遍的關(guān)注。特別地，一些學(xué)者研究了帶有時(shí)變時(shí)滯的線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及鎮(zhèn)定問題。然而，穩(wěn)定性和狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題的研究成果不能直接應(yīng)用到輸出反饋鎮(zhèn)定問題，因而對(duì)輸出反饋鎮(zhèn)定問題的研究就變得尤為重要。Gao等［3］，Liu等［4］，He等［5］，Chen和Fong［6］針對(duì)這類系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定問題進(jìn)行了研究。

目前對(duì)帶有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的離散系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋(static output feedback，SOF)控制器的設(shè)計(jì)主要采用自由權(quán)矩陣和Lyapunov理論相結(jié)合的方法。Gao等［3］和Liu等［4］使用相同的Lyapunov函數(shù)V(k)來獲得SOF鎮(zhèn)定判據(jù)。它們之間的區(qū)別是:Gao等［3］忽略了 ΔV(k)中一個(gè)負(fù)項(xiàng)，而Liu等［4］將這個(gè)負(fù)項(xiàng)用一個(gè)不等式來放縮，這兩種方法增加了結(jié)果的保守性。Chen和Fong［6］所選擇的Lyapunov函數(shù)雖然表面上不同于文獻(xiàn)［3－4］中的，但是在本質(zhì)上是相同的。Chen和Fong［6］利用等式來處理前面提到的負(fù)項(xiàng)，這降低了結(jié)果的保守性。不同于［3－4，6］中的方法，He等［5］構(gòu)造了包含更多時(shí)滯信息的Lyapunov函數(shù)，由此得到了具有較低保守性的SOF鎮(zhèn)定判據(jù)。為了處理這類系統(tǒng)的SOF鎮(zhèn)定判據(jù)中的非線性約束，Gao等［3］，Liu等［4］和He等［5］使用了錐補(bǔ)線性化(cone complementary linearization，CCL)算法，而Chen和Fong［6］利用不等式將非線性約束轉(zhuǎn)化為線性條件，這當(dāng)然增加了結(jié)果的保守性。進(jìn)一步，Gao等［3］，Liu等［4］和He等［5］將動(dòng)態(tài)輸出反饋(dynamic output feedback，DOF)鎮(zhèn)定問題轉(zhuǎn)換成SOF鎮(zhèn)定問題，得到了帶有時(shí)變時(shí)滯的離散系統(tǒng)的DOF鎮(zhèn)定判據(jù)。

本文研究帶有時(shí)變時(shí)滯的線性離散系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。通過使用Lyapunov方法且應(yīng)用Jensen不等式到時(shí)滯區(qū)間的每個(gè)子區(qū)間，得到了這類系統(tǒng)的時(shí)滯依賴的SOF和DOF鎮(zhèn)定判據(jù)。經(jīng)過理論的和數(shù)值的比較發(fā)現(xiàn)，本文提出的鎮(zhèn)定判據(jù)的保守性弱于文獻(xiàn)中的。由于鎮(zhèn)定判據(jù)中存在非線性約束，CCL算法被用來求解輸出反饋增益矩陣。數(shù)值算例也說明了本文所給出的方法的優(yōu)越性。

1 問題描述

考慮如下含區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的線性離散系統(tǒng)

式中:x(k)是n維狀態(tài)向量;φ(k)為x(k)的初始狀態(tài);u(k)是m維控制輸入;y(k)是p維可測(cè)量輸出;A，Ad，B，C和Cd是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣;d(k)為區(qū)間時(shí)滯并滿足dm≤d(k)≤dM;dm和dM是已知的正整數(shù)。

將SOF控制器

代入系統(tǒng)(1)，得到閉環(huán)系統(tǒng)

其中，F(xiàn)∈Rm×p是SOF增益矩陣。

將DOF控制器

代入系統(tǒng)(1)，得到閉環(huán)系統(tǒng)

其中，xc(k)是r維控制器狀態(tài)，~φ(k)是ξ(k)的初始狀態(tài);

Ac，Bc，Cc和Dc是DOF增益矩陣。

本文的主要目標(biāo)是:設(shè)計(jì)形如(2)的SOF控制器和形如(4)的DOF控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)和(5)是漸近穩(wěn)定的，并將本文提出的方法與以往存在的方法進(jìn)行理論上和數(shù)值上的比較。

2 預(yù)備知識(shí)

引理1［5］Theorem2對(duì)于給定的dm和dM，dM＞dm，系統(tǒng)(1)可由控制器(2)鎮(zhèn)定，如果存在實(shí)矩陣P＞0，V＞0，Qi＞0(i=1，2，3)，Zj＞0，F(xiàn)，

使得

其中

引理2［3］Theorem2對(duì)于給定的dm和dM，dM＞dm，系統(tǒng)(1)可由控制器(2)鎮(zhèn)定，如果存在矩陣V＞0，P＞0，V1＞0，G＞0，H，Q＞0，Z＞0和SOF增益矩陣F滿足

其中，Υ∶=－P+dMG+H+HT+(dMm+1)Q。

引理3［6］Theorem3系統(tǒng)(1)可由控制器(2)鎮(zhèn)定，如果存在矩陣F，L＞0，J＞0，P＞0，Qi＞0，i=2，3，Z＞0，

3 靜態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定

本節(jié)將給出系統(tǒng)(1)可由SOF控制器(2)鎮(zhèn)定的時(shí)滯依賴的判據(jù)，并將該判據(jù)與［5］Theorem 2，［3］Theorem 2和［6］Theorem 3進(jìn)行理論比較。

3.1 靜態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定判據(jù)

下面定理給出了系統(tǒng)(1)可由SOF控制器(2)鎮(zhèn)定的充分條件。其主要思想是首先s等分時(shí)滯的變化區(qū)間，然后分別討論時(shí)滯落入每個(gè)子區(qū)間的情形，從而給出系統(tǒng)(1)可由SOF控制器(2)鎮(zhèn)定的充分條件。通過這個(gè)劃分可以降低結(jié)果的保守性。

定理1對(duì)于給定的正整數(shù)s，dm和dM，dM＞dm，系統(tǒng)(1)可由SOF控制器(2)鎮(zhèn)定，如果存在矩陣P＞0，V＞0，Qi＞0(i=1，2，3)，Zj＞0，Vj＞0(j=1，2)和F使得(9)和

成立，其中dMm，Ξ1和Ξ2同引理1中定義，證

明 設(shè) η(k)=x(k+1)－x(k)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

進(jìn)而利用Schur補(bǔ)引理，式(9)和(16)得ΔV(k)＜0。從而系統(tǒng)(1)可由SOF控制器(2)鎮(zhèn)定。證畢。

3.2 與文獻(xiàn)中已有結(jié)論的比較

定理2對(duì)于給定的正整數(shù)dm和dM，dM＞dm。在約束條件(9)下，如果線性矩陣不等式(6)～(8)成立，那么存在正整數(shù)s使得(16)成立。

證明 由式(6)、式(9)和Schur補(bǔ)引理得

于是存在正整數(shù)s使得

注意到Φ可以寫成

利用Jensen不等式得到

如果d(k)位于第i個(gè)子區(qū)間，那么

i=1，…，s。再由(9)和Schur補(bǔ)引理知存在正整數(shù)s使得(16)成立。證畢。

注記1定理2的證明表明，當(dāng)正整數(shù)s充分大時(shí)，定理1的保守性弱于［5］Theorem 2(即引理1)。

定理3對(duì)于給定的正整數(shù)dm和dM，dM＞dm。如果式(10)、式(11)在約束條件(12)下成立，則當(dāng)s=1時(shí)式(16)在約束條件(9)下成立。

證明 如果式(10)、式(11)在約束條件(12)下成立，則

其中W0=I2n[]0，，W1，W2和W3如定理1中定義。再使用式(7)、式(8)得到

其中W4=In[]0，Ξ1，Ξ2和W2如定理1中定義，

注記2定理3表明，當(dāng)s=1時(shí)定理1的保守性弱于［3］Theorem 2。類似于定理3的證明，可推出定理1的保守性弱于［4］Theorems 6，7。

定理4對(duì)給定的正整數(shù)dm和dM，dM＞dm。如果式(13)～式(15)成立，那么存在正整數(shù)s使得式(16)在約束條件(9)下成立。

根據(jù)Schur補(bǔ)引理可推出

設(shè)Z1=Z，那么存在實(shí)對(duì)稱正定矩陣Z2使得

注記3定理4表明定理1的保守性弱于［6］Theorem 3(即引理3)。

4 動(dòng)態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定

類似于定理1的證明，下面的定理給出了系統(tǒng)(1)可通過DOF控制器(4)鎮(zhèn)定的充分條件。

定理5對(duì)于給定的正整數(shù)s，dm和dM，dM＞dm，系統(tǒng)(1)可由DOF控制器(4)鎮(zhèn)定，如果存在矩陣PT=P＞0，VT=V＞0，=Qi＞0(i=1，2，3)，

dMm，Ψi，W1，W2，W3同前面定義。

5 數(shù)值算例

本節(jié)通過兩個(gè)例子來說明本文所給出的方法的有效性。為了得到SOF和DOF增益矩陣，下面例子使用類似于文獻(xiàn)［3—5］中的CCL算法在非線性約束(9)下求解式(16)和式(21)。

5.1 SOF鎮(zhèn)定算例1

考慮系統(tǒng)(1)，其中

表1給出了由文獻(xiàn)［3－6］中結(jié)論與定理1得到的dM的最大值。仿真結(jié)果表明定理1比文獻(xiàn)［3－6］中的相應(yīng)結(jié)論有較弱的保守性。另一方面，定理1所要求解的變量個(gè)數(shù)少于［5］Theorem 2和［6］Theorem 3要求解的，這降低了計(jì)算的復(fù)雜性。當(dāng)s=15時(shí)，由定理1得到的SOF增益矩陣為F=[－0.349 0－0.193 1]。

表1 當(dāng)dM=3時(shí)，dM的最大值Table 1 Maximums of dMwhen dm=3

5.2 SOF鎮(zhèn)定算例2

考慮系統(tǒng)(1)，其中

表2給出了由文獻(xiàn)［3－5］與定理5得到的dM的最大值。由此可知，定理5的保守性弱于［3－5］中的相應(yīng)結(jié)論。當(dāng)s=10，r=2時(shí)，由定理5得到的DOF增益矩陣為

表2 當(dāng)dm=3時(shí)，dM的最大值Table 2 Maximums of dMwhen dm=3

6 結(jié)語(yǔ)

本文研究了含區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的離散線性系統(tǒng)(1)的SOF和DOF鎮(zhèn)定問題。像引言中提到的，一些學(xué)者已經(jīng)研究了該問題，通過構(gòu)建Lyapunov函數(shù)和利用Jensen不等式技術(shù)，本文給出了系統(tǒng)(1)可通過SOF和DOF鎮(zhèn)定的充分條件，并使用CCL算法求解輸出反饋增益矩陣。通過理論的和數(shù)值的比較說明了本文所給出的方法的保守性弱于以往學(xué)者們所提出的。然而，由于CCL算法有時(shí)會(huì)失效，還需要進(jìn)一步尋找求解有非線性約束的線性矩陣不等式的方法。另外，本文的思想和方法可用來解決某些更加復(fù)雜系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，例如具有各種不確定性的離散時(shí)滯系統(tǒng)等。

［1］XIONG Junlin，LAM J.Stabilization of linear systems over networks with bounded packet loss［J］.Automatica，2007，43(1):80－87.

［2］GAO Huijun，CHEN Tongwen.Network-based H∞output tracking control［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53(3):655－667.

［3］GAO H，LAM J，WANG C，et al.Delay-dependent output-feedback stabilisation of discrete-time systems with time-varying state delay［J］.IET Control Theory and Applications，2004，151(6):691－698.

［4］LIU X G，MARTIN R R，WU M，et al.Delay-dependent robust stabilisation of discrete-time systems with time-varying delay［J］.IET Control Theory and Applications，2006，153(6):689－702.

［5］HE Yong，WU Min，LIU Guoping，et al.Output feedback stabilization for a discrete-time system with a time-varying delay［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53(10):2372－2377.

［6］CHEN K F，F(xiàn)ONG I K.Stability analysis and output-feedback stabilisation of discrete-time systems with an interval time-varying state delay［J］.IET Control Theory and Applications，2010，4(4):563－72.