齊新元 曹政 白晉濤

1 引言

衍射和色散是光子晶格中最基本的光學(xué)現(xiàn)象[1].在一維均勻波導(dǎo)陣列構(gòu)成的光子晶格中,窄光束可以發(fā)生分立衍射現(xiàn)象,寬光束可以發(fā)生正常衍射、無衍射以及反常衍射的光傳輸現(xiàn)象,這些光傳輸行為都遵循周期性結(jié)構(gòu)中的衍射機(jī)制[1,2].近些年來,關(guān)于光波在含有缺陷的波導(dǎo)陣列中的動(dòng)力學(xué)傳輸理論和實(shí)驗(yàn)得到了廣泛和深入的研究[3,4].常見的缺陷可以概括為：均勻波導(dǎo)陣列中引入折射率缺陷,波導(dǎo)陣列沿著傳輸方向被調(diào)制,波導(dǎo)陣列的折射率深度按一定規(guī)律被調(diào)制等.當(dāng)周期性結(jié)構(gòu)被破壞時(shí),光束的傳輸行為會(huì)發(fā)生改變[5-8].另外,人們發(fā)現(xiàn)某些含有缺陷的結(jié)構(gòu)可以支持局域模式,光能量在波導(dǎo)間還能發(fā)生遂穿的相干破壞現(xiàn)象,實(shí)現(xiàn)光束的局域態(tài)傳輸[9,10].此外考慮到探測(cè)光非線性作用時(shí),當(dāng)探測(cè)光束足夠強(qiáng)時(shí),衍射將被平衡,形成孤子態(tài)[11-13].因此通過缺陷和非線性等作用調(diào)控光波的衍射行為,可以有效地控制光波的傳輸行為.

最近人們發(fā)現(xiàn),通過改變相鄰波導(dǎo)的間距來調(diào)控波導(dǎo)件的耦合效應(yīng),相當(dāng)于在晶格體系中引入一種勢(shì)壘作用[14].例如,間距減小的不均勻波導(dǎo)陣列可以實(shí)現(xiàn)光波的無反射傳輸[14-16].這種波導(dǎo)全同但間距不均勻的波導(dǎo)陣列所形成的缺陷結(jié)構(gòu)是一種非對(duì)角線無序的晶格體系.此類缺陷存在共軛的局域模式,而且支持光波的局域態(tài)傳輸[17-19].

本文將非線性薛定諤方程(NLSE)作為理論基礎(chǔ),波導(dǎo)間距遵從兩個(gè)正(負(fù))雙曲正割函數(shù)和正(負(fù))矩形函數(shù),并將兩個(gè)函數(shù)極值形成的勢(shì)壘中間部分作為勢(shì)阱,研究窄高斯光束在正雙曲正割(和正矩形)勢(shì)壘處和勢(shì)阱處入射時(shí)的衍射行為和周期性振蕩現(xiàn)象.此外,還利用負(fù)雙曲正割勢(shì)壘和負(fù)矩形勢(shì)壘支持局域模式的特性,研究在負(fù)勢(shì)壘結(jié)構(gòu)體系中寬光束的能量耦合現(xiàn)象,以及在引入非線性作用后發(fā)生的局域現(xiàn)象.

2 模型分析

首先介紹間距調(diào)制型光子晶格的理論基礎(chǔ).歸一化的非線性薛定諤方程可以表述為[20]

其中u(x,z)為光場(chǎng)的包絡(luò)函數(shù),z為傳播方向,x為橫向.xs=10μm和zs=1 mm分別為x和z方向上的歸一化系數(shù).真空中光波的波長(zhǎng)λ=532 nm,波導(dǎo)陣列的平均折射率為n0=2.35.γ為非線性系數(shù),當(dāng)γ=0時(shí)對(duì)應(yīng)線性情況;當(dāng)γ=1時(shí),對(duì)應(yīng)自聚焦非線性情況.方程V(x)為折射率包絡(luò)函數(shù),用來描述一維間距調(diào)制型光子晶格的結(jié)構(gòu).用高斯函數(shù)的級(jí)數(shù)疊加描述V(x),形式如下

ξ=2.5×10-4為折射率調(diào)制深度,N=30為波導(dǎo)總數(shù)目,n代表從1到N的每一個(gè)波導(dǎo),ω=5μm為高斯函數(shù)半高寬(HWFM),d為相鄰波導(dǎo)間的距離,其變化規(guī)律遵循正、負(fù)雙曲正割和矩形四種不同的勢(shì)函數(shù)[14].當(dāng)d=d0=17μm,ω=5μm時(shí),對(duì)應(yīng)間距全同的均勻波導(dǎo)陣列;當(dāng)d=±A×sech(m-na)/ω2±A×sech(m-nb)/ω2+d0時(shí),分別對(duì)應(yīng)間距為兩個(gè)正 ‘+’(或負(fù)[‘-’)雙曲正割函數(shù)型波導(dǎo)陣列;當(dāng)d=±A×exp-(m-na)/ω316±A×exp-(m-nb)16/ω316+d0時(shí),分別對(duì)應(yīng)間距為兩個(gè)正‘+’(或負(fù)‘-’)矩形函數(shù)型波導(dǎo)陣列.其中,間距調(diào)制振幅A=5μm反映勢(shì)函數(shù)的深度,m為間距序號(hào),na和nb分別是兩個(gè)函數(shù)的中心位置,ω2和ω3分別反映雙曲正割函數(shù)和矩形函數(shù)的寬度,模擬中分別取16μm和13μm.通過改變間距d,臨近波導(dǎo)間的耦合系數(shù)便可被調(diào)制.同時(shí),假設(shè)波導(dǎo)是全同的并且每個(gè)波導(dǎo)只能支持一種傳輸模式.

對(duì)于線性離散模型,波導(dǎo)間能量的相互耦合滿足耦合波方程[21],

其中En為每個(gè)波導(dǎo)中的電場(chǎng)分布,Cn,n+1為第n個(gè)和第n+1個(gè)波導(dǎo)間的耦合系數(shù).將En寫為En=En(x)·exp(-iβnz)后代入 (3)式,可以得到遞推關(guān)系式

考慮到邊界條件,當(dāng)n≤0時(shí),En=0;當(dāng)n＞N時(shí),En=0.由于波導(dǎo)全同,故而有β1=β2=···=βn=常數(shù).對(duì)于由N個(gè)波導(dǎo)構(gòu)成的陣列而言,光場(chǎng)在所有波導(dǎo)中的分布均滿足方程(4)式,用矩陣形式描述可寫為A·X=0.

其中

3 一維間距調(diào)制型光子晶格

研究中,我們采用分步傅里葉變換光束傳輸法(SSFT-BPM)研究光波在晶格中的傳輸規(guī)律,模擬結(jié)果如圖1所示.當(dāng)間距函數(shù)d的變化滿足正雙曲正割函數(shù)或正矩形函數(shù)時(shí),相當(dāng)于在均勻波導(dǎo)陣列中引入正雙曲正割勢(shì)壘或正矩形勢(shì)壘.在具有兩個(gè)正雙曲正割勢(shì)或正矩形勢(shì)壘的晶格結(jié)構(gòu)中,當(dāng)窄高斯光束入射在任意一種勢(shì)壘的中心區(qū)域時(shí),光能量都會(huì)發(fā)生類似于“分立衍射”的效應(yīng).圖1(a),(c)分別描述了正雙曲正割勢(shì)壘和正矩形勢(shì)壘被窄光束單波導(dǎo)激勵(lì)時(shí),隨著傳播距離的增加,光能量在兩個(gè)勢(shì)壘之間耦合傳輸,并有相當(dāng)一部分能量泄露出勢(shì)壘無法產(chǎn)生局域傳輸現(xiàn)象.圖1(c),(d)分別描述了寬光束以布拉格角斜入射時(shí),先發(fā)生反常衍射現(xiàn)象;當(dāng)光波到達(dá)正雙曲正割勢(shì)壘邊緣時(shí),大部分能量被反射,還有不小部分能量透射經(jīng)過勢(shì)壘[如圖1(c)].當(dāng)光波到達(dá)正矩形勢(shì)壘邊緣時(shí),幾乎所有的能量都被反射(如圖1(d)).

為進(jìn)一步研究在這種結(jié)構(gòu)體系中的光場(chǎng)分布規(guī)律,我們計(jì)算了該結(jié)構(gòu)體系的線性模式.研究發(fā)現(xiàn),這兩種間距變化的波導(dǎo)陣列都屬于非對(duì)角元無序晶格,這樣的晶格體系存在一對(duì)共軛的本征模式,而本征模式恰好分布在勢(shì)阱位置,這就是說勢(shì)阱部分可以支持局域模式,即光波可以在勢(shì)阱處保持局域態(tài)的傳播.圖2(a),(b)分別展示了在這兩種調(diào)制型晶格中的一對(duì)共軛的本征模.當(dāng)窄高斯光束入射在這兩種調(diào)制型晶格的勢(shì)阱中心時(shí),在300 mm的傳輸過程中大部分能量被局域在勢(shì)阱范圍內(nèi),很少有能量泄露出去.隨著傳播距離的增長(zhǎng),當(dāng)光束衍射碰觸到勢(shì)壘部分時(shí),能量被對(duì)稱地反射回來并如此往復(fù)向前傳輸.由于窄光束入射,勢(shì)阱被分別激發(fā)成兩對(duì)共軛模式[15],共軛模式之間會(huì)發(fā)生能量轉(zhuǎn)移從而出現(xiàn)如圖2(c),(d)所示的振蕩局域傳輸圖樣.

圖1 高斯光束在具有兩個(gè)正雙曲正割勢(shì)壘(a),(b)和兩個(gè)正矩形勢(shì)壘(c),(d)的一維調(diào)制型光子晶格中傳輸;(a),(c)為窄光束正入射到一個(gè)勢(shì)壘中央的情況;(b),(d)寬光束以布拉格角斜入到一個(gè)勢(shì)壘邊緣的情況;右側(cè)點(diǎn)狀插圖為波導(dǎo)間距示意圖,Cn,n+1表示第n個(gè)波導(dǎo)與第n+1個(gè)波導(dǎo)之間的耦合系數(shù),白色線段標(biāo)注的是晶格中的勢(shì)壘位置

圖2 一維調(diào)制型光子晶格中共軛本征模式(a),(b)和窄高斯光在其中的局域傳輸(c),(d);(a),(c)正雙曲正割勢(shì)阱;(b),(d)正矩形勢(shì)阱;紅色點(diǎn)和黑色點(diǎn)分別表示一對(duì)共軛本征模式;白色線段標(biāo)注的是晶格中的勢(shì)壘位置

當(dāng)波導(dǎo)間距函數(shù)d的變化遵從負(fù)雙曲正割函數(shù)或負(fù)矩形函數(shù)時(shí),相當(dāng)于在均勻波導(dǎo)陣列中引入負(fù)雙曲正割勢(shì)壘或負(fù)矩形勢(shì)壘.當(dāng)負(fù)雙曲正割勢(shì)阱的中心波導(dǎo)被激勵(lì)時(shí),勢(shì)阱部分不存在共軛的局域模式.在100 mm的傳輸長(zhǎng)度內(nèi),光能量能無反射地穿透兩側(cè)的勢(shì)壘并繼續(xù)沿著分立衍射的方向向前傳輸而幾乎不發(fā)生任何畸變(圖3(a)).在傳輸中能量很好地保持了其對(duì)稱性,這點(diǎn)與分立衍射現(xiàn)象類似,只是發(fā)生了能量的平移和形狀的放大現(xiàn)象.由負(fù)矩形勢(shì)壘構(gòu)成的勢(shì)阱同樣不支持局域傳輸模式,部分能量碰到勢(shì)壘后會(huì)被對(duì)稱反射回來,同時(shí)又有部分能量會(huì)穿透勢(shì)壘,所以能量只能在里面發(fā)生振蕩衰減,而無法形成穩(wěn)定的局域狀態(tài)(圖3(b)).

圖3 一維調(diào)制型晶格中,(a)窄高斯光束入射到兩個(gè)負(fù)雙曲正割勢(shì)壘間的勢(shì)阱處發(fā)生的無反射傳輸;(b)窄高斯光束入射到兩個(gè)負(fù)矩形勢(shì)壘間的勢(shì)阱處發(fā)生的振蕩衰減現(xiàn)象;白色線段標(biāo)注的是晶格中的勢(shì)壘位置;右側(cè)點(diǎn)狀插圖為波導(dǎo)間距示意圖,Cn,n+1表示第n個(gè)波導(dǎo)與第n+1個(gè)波導(dǎo)之間的耦合系數(shù);白色線段標(biāo)注的是晶格中的勢(shì)壘位置;兩個(gè)勢(shì)壘中間所夾區(qū)域即為勢(shì)阱位置

圖4 寬高斯光束在一維間距調(diào)制型光開關(guān)中的動(dòng)態(tài)耦合;左右兩列圖分別對(duì)應(yīng)負(fù)雙曲正割勢(shì)壘和負(fù)矩形勢(shì)壘的情況;(a),(d)兩對(duì)共軛的本征模式;(b),(e)為光強(qiáng)傳輸俯視圖;(c),(f)為兩個(gè)勢(shì)壘中光強(qiáng)關(guān)于傳播長(zhǎng)度的變化曲線;白色線段標(biāo)注的是晶格中的勢(shì)壘位置,黑色和紅色分別對(duì)應(yīng)1勢(shì)壘和2勢(shì)壘中的光能量

類似地,我們通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),對(duì)于含有兩個(gè)負(fù)雙曲正割勢(shì)壘和兩個(gè)負(fù)矩形勢(shì)壘的晶格結(jié)構(gòu),也存在一對(duì)共軛的本征模,只是它們都分布在勢(shì)壘部分,而且這樣的一對(duì)共軛模式均可以看作是每個(gè)勢(shì)壘所支持的基態(tài)模式的線性疊加[15,16](圖4(a),(d)).當(dāng)兩個(gè)勢(shì)壘之間的距離足夠近時(shí),基態(tài)模式之間也能發(fā)生能量轉(zhuǎn)移和耦合(能量遂穿)效應(yīng),圖4(b),(e)即為分別在具有兩個(gè)負(fù)雙曲正割勢(shì)和負(fù)矩形勢(shì)的結(jié)構(gòu)中,當(dāng)兩個(gè)勢(shì)壘之間的距離僅為一個(gè)波導(dǎo)寬度時(shí),一束與勢(shì)壘寬度相當(dāng)(4—6個(gè)波導(dǎo)周期)的寬光束正入射到一個(gè)勢(shì)壘的傳播圖樣.顯然,隨著距離的增長(zhǎng),光波能量將局域在兩個(gè)勢(shì)壘中并來回耦合.這是因?yàn)楣獠ㄔ趦蓚€(gè)勢(shì)壘之間耦合傳輸光波在任意一個(gè)勢(shì)壘中均存在基態(tài)模式,隨著傳輸距離的增大,兩個(gè)基態(tài)模式之間來回跳躍實(shí)現(xiàn)耦合,并最終使得光波能量在兩個(gè)勢(shì)壘之間來回振蕩.在300 mm的傳播距離中,光強(qiáng)在由負(fù)雙曲正割勢(shì)組成的光開關(guān)中能耦合兩次,對(duì)于負(fù)矩形情況,在350 mm的傳輸距離中,在334 mm處能量發(fā)生第一次完全耦合,這主要是由于高斯型勢(shì)壘函數(shù)是漸變的,而矩形勢(shì)壘函數(shù)則是突變的.圖4(c),(f)為兩種結(jié)構(gòu)中光波能量隨著傳輸距離的變化曲線.由于存在散射效應(yīng),曲線最大值均不能達(dá)到1.從圖(b)—(f)還可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)勢(shì)壘之間的耦合作用強(qiáng)弱不僅取決于勢(shì)壘函數(shù),還取決于它們間的中心距離,與波導(dǎo)之間的耦合相類似的,勢(shì)壘之間的間距越大,兩種基態(tài)模式之間的能量轉(zhuǎn)移也越弱.這兩種結(jié)果表明間距調(diào)制型光子晶格在全光開關(guān)方面是很有價(jià)值和意義的.

當(dāng)入射光的非線性效應(yīng)足夠強(qiáng)時(shí),研究發(fā)現(xiàn)這種效應(yīng)會(huì)破壞如圖4所示的耦合效應(yīng),使能量不能在兩個(gè)勢(shì)壘中來回發(fā)生遂穿(振蕩耦合),而是使得光波在傳輸過程中一直被局域在入射的那個(gè)勢(shì)壘中.圖5展示了光波能量在非線性作用下,被局域在一個(gè)勢(shì)壘中的現(xiàn)象,實(shí)現(xiàn)了光路中實(shí)時(shí)“開”和“關(guān)”的功能和對(duì)于不同的入射光波的定向選擇傳輸?shù)哪康?是一種新型的光學(xué)開關(guān).

圖5 非線性作用后分別在由兩個(gè)負(fù)雙曲正割勢(shì)壘(a)和負(fù)矩形勢(shì)壘(b)所構(gòu)成的光開光中的能量局域傳輸效應(yīng);白色線段標(biāo)注的是晶格中的勢(shì)壘位置;γ=1,當(dāng)入射光強(qiáng)(歸一化后)分別增大到I1=0.1225和I2=0.0625時(shí),在兩個(gè)勢(shì)壘中出現(xiàn)局域傳輸效應(yīng)

4 結(jié)論

綜上所述,本文數(shù)值研究了高斯光束在四種不同間距調(diào)制型光子晶格中的傳輸規(guī)律.通過在這四種晶格中不同位置入射不同的高斯光束,發(fā)現(xiàn)在對(duì)于波導(dǎo)間距變化滿足正雙曲正割函數(shù)和正矩形函數(shù)的調(diào)制型晶格,勢(shì)阱部分可以支持穩(wěn)定的局域傳輸現(xiàn)象.對(duì)于間距變化滿足負(fù)雙曲正割函數(shù)和負(fù)矩形函數(shù)的情況,勢(shì)阱部分不存在本征局域模式而不能支持光波的局域態(tài),光束在其中分別將發(fā)生無反射遂穿和振蕩衰減過程;但是勢(shì)壘部分卻可以實(shí)現(xiàn)局域傳輸.因此具有負(fù)雙曲正割勢(shì)壘和負(fù)矩形勢(shì)壘的光子晶格可以被用作全光開關(guān).在線性情況下,光束在兩個(gè)勢(shì)壘間來回振蕩耦合傳輸;在非線性情況下,光波將發(fā)生局域現(xiàn)象.研究結(jié)果在光信號(hào)處理和光調(diào)制方面有著潛在的應(yīng)用價(jià)值.

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