胡長遠，唐和生，2，薛松濤，3，鄧立新

(1.同濟大學結構工程與防災研究所，上海200092;2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海200092;3.東北理工大學建筑學科，日本仙臺982-8577)

不確定性普遍存在于結構使用和施工中的各個階段，因此結構分析中應該采用不確定性的力學模型才更為合理［1］.處理不確定性的方法有多種，其中，當不確定變量的概率分布是已知時，基于概率可靠性的方法是最好的分析方法.在工程結構系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設計中，通常是將可靠度指標顯示化處理作為優(yōu)化的約束條件，將之轉化為確定性的優(yōu)化問題，再與某種優(yōu)化算法相結合來進行求解［2］.R.V.Grandhi等［3］提出兩點近似法構造極限狀態(tài)函數(shù)，且把外層優(yōu)化的目標函數(shù)和可靠度約束分別用樣條函數(shù)近似.

近年來，應用智能優(yōu)化算法對結構系統(tǒng)進行可靠性優(yōu)化設計取得了不少成果，例如，文獻［4］系統(tǒng)地討論了采用遺傳算法，在框架結構靜、動力下，基于單元與體系可靠度的尺寸與形狀優(yōu)化設計中的應用.作為一種新穎的算法，自從R.Storn和K.Price 1996年引入了微分演化(differential evolution，DE)算法之后，該方法在解決復雜的優(yōu)化問題上得到了很多關注［5］.微分演化算法新穎的特征使其具有更好魯棒性和更快收斂速度.該算法已被廣泛應用于工程優(yōu)化、可靠度分析、主動控制及識別問題［6-9］.

本研究以桁架結構為對象，考慮結構物理參數(shù)、幾何尺寸和作用載荷的不確定性，進行結構有限元和可靠性分析，在此基礎上，構建桁架結構基于可靠度約束的優(yōu)化設計模型，運用微分演化算法進行形狀優(yōu)化設計.

1 桁架結構可靠性優(yōu)化微分演化算法

1.1 基于可靠度的桁架結構可靠性優(yōu)化模型

針對結構優(yōu)化中的最一般情況，構建以結構構件尺寸和節(jié)點坐標為設計變量，以結構重量均值極小化為目標函數(shù)，同時具有位移和應力性態(tài)約束的結構優(yōu)化設計數(shù)學模型.考慮結構物理參數(shù)、幾何尺寸和作用載荷的不確定性，從而導致結構的位移和應力等性態(tài)約束均成為隨機變量函數(shù)，它們以概率(可靠度)形式列出.至此，基于可靠性的結構優(yōu)化模型為

式中:A是設計向量;A1，A2，…，An為桿件截面積;X1，X2，…，Xm為變量連接后各節(jié)點的坐標;Ai，ρi和li是分別第i類設計變量的截面面積、密度和桿件長度;m是結構質量;βδj為結構中第j個自由度的位移可靠性指標;βSmin為結構中第e個單元的應力可靠性指標的最小值;β*δ，β*S分別為設計給定的可靠指標;Amax，Amin分別為設計變量的上下限，n為截面面積變量數(shù);Xˉc，Xc分別為第c坐標的上下限，m為節(jié)點變量數(shù);N為位移約束的數(shù)目;K為結構中單元的數(shù)目;M為預先定義的一個足夠大的正數(shù);λ為罰函數(shù)因子，當結構設計變量滿足約束條件時，λ=0，否則λ=1.針對以上優(yōu)化問題，本研究采用DE算法進行求解.

這里首先對概率約束進行等價顯式處理［4］.模型中所有概率約束均可表示為

式中:P*為設計給定的可靠度;R表示結構某物理量(位移或應力)的許用值;S表示在結構荷載作用下與R對應的響應值(位移或應力)，在一般情況下R與S兩者是彼此獨立的.由可靠性分析的一次二階矩法，式(7)可被表示為

式中:β*為給定的可靠指標;β為可靠性指標;Φ-1(·)表示標準正態(tài)變量分布的反函數(shù);μ，σ分別表示隨機變量的均值和標準差.

1.2 微分演化算法

一個包括t個參數(shù)的優(yōu)化問題可以用一個t維的向量來描述，該向量可以表示為:xi=(xi1，xi2，…，xit)T∈S，i=1，2，3，…，NP.其中 S∈Rn為優(yōu)化問題的搜索空間;DE算法利用NP作為向量xi1每一代的個體數(shù).類似于遺傳算法，DE算法通過變異、交叉和選擇過程實現(xiàn)種群的更新進化.

1.2.1 變異過程

變異目的是為了保證種群的多樣性，同時用合適的參數(shù)變化來指導已有的目標向量在合適的時間內(nèi)達到一個更好的結果，從而保證了搜索的魯棒性.變異操作過程中，上一代的個體，i=1，2，…，NP，(其中G表示代數(shù))根據(jù)不同的變異方式進行更新則得到第G+1子代向量=本研究采用 R.Storn等［5］推薦的DE/current-to-best/1/bin變異方式進行結構優(yōu)化，該變異方式為

式中:x(beG

s)t為算法第G代種群中適應值最小的個體;F1和F為變異常數(shù)，均為非負實數(shù)，其大小控制了變量間的差異，保證進化的進行;r1，r2為互不相同的整數(shù)，分別從集合{1，2，…，i-1，i+1…，NP}中隨機選出向量編號.

1.2.2 交叉過程

與GA算法相似，DE算法中個體經(jīng)過變異后也進行交叉操作.對于群體中第G+1代經(jīng)過變異過程后的向量個體v(iG+1)按照

進行交叉，將產(chǎn)生新的個體，即

式中:j=1，2，…，t;rand(j)∈［0，1］，是t個0 ～1 之間相互獨立的隨機數(shù)中的第j個;randn(i)是隨機從集合{1，2，…，t}中取得個體向量維度的序號;CR為交叉因子，將決定個體之間交叉的概率.

1.2.3 選擇過程

DE算法采用和GA算法不同的貪婪準則:通過比較由變異和交叉產(chǎn)生的子代個體和父代個體，選擇適應值好的變量，即如果父代個體適應度值更優(yōu)將繼續(xù)保留在種群中;否則保留子代個體.選擇過程如下:

1.3 桁架結構可靠性優(yōu)化的DE算法流程

根據(jù)前述可靠性分析和所構建的優(yōu)化設計數(shù)學模型，桁架結構可靠性優(yōu)化設計DE算法的流程如下:

1)初始化DE算法參數(shù)，并在設計空間內(nèi)隨機初始化種群，it=0.

2)進行有限元分析，計算出每個個體所代表的設計變量對應的結構形態(tài)變量，如各桿應力和節(jié)點位移.

3)進行結構可靠性分析得結構響應量的數(shù)字特征.

4)判斷是否滿足包括可靠性約束等約束條件，滿足約束條件時λ=0，否則λ=1.

5)計算每個個體的評價函數(shù)值.選出最優(yōu)秀個體xbest.

6)對每個個體進行變異操作，并對每個個體(父代)以及變異個體進行交叉操作，得到新的個體(子代).

7)計算每一個子代個體以及父代個體的適應值;選擇適應值好的作為下一代種群中的個體.

8)計算每一個下一代的個體適應值，并找到最優(yōu)個體;如果新的最優(yōu)個體適應值比上一代xbest適應值好，則更新xbest，稱為當前最優(yōu)個體.

9)滿足算法終止條件，輸出最優(yōu)個體xbest，以及最優(yōu)個體的適應值，否則返回2).

2 數(shù)值分析

為驗證本研究所提方法對桁架結構進行優(yōu)化設計的有效性，以下對一典型的桁架結構(如圖1所示)進行可靠性優(yōu)化設計分析，同時與確定性方法進行比較.

圖1為37桿桁架橋的初始形狀，節(jié)點坐標見表1.

圖1 37桿桁架橋

表1 37桿桁架橋節(jié)點坐標 mm

假設下弦節(jié)點位置保持不變，上弦節(jié)點可沿豎直方向移動，結構對稱性保持不變，不考慮局部穩(wěn)定約束.

材料密度為ρ=7 800 kg·m-3，最小截面積為50 mm2.桁架所有桿件采用同一種材料，假設彈性模量E、幾何尺寸(桿長)l和外加載荷{P}為不確定隨機變量(這里認為3個隨機變量為互不相關)，E，l和{P}可分別表示為彈性橫量E= ˉE·δE，桿件長度le= η(e)·l和外加荷載{P}= Δp·{P0}，其中 ˉE，η(e)和{P0}為確定性量，是其所代表物理量的均值，三者的值分別為210 GPa，1 000(1 414.2)mm 和 10 kN;δE，l和 Δp為隨機因子，三者均值均為1，方差(變異系數(shù))分別為 γ2，γ2和Elγp2.其中 γE，γl和 γp分別為彈性橫量、桿件長度和外加荷載的變異系數(shù).

根據(jù)結構對稱性，取設計變量為［A1，A2，A3，A4，A5，A6A7，A8A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，A17，A18，A19，Y3，Y5，Y7，Y9，Y11］T.DE 算法的參數(shù)選擇如下:種群大小NP=100;變異因子F=0.6;雜交概率CR=0.85;最大迭代次數(shù)Gmax取值500.

利用隨機因子法和代數(shù)綜合法可以得到節(jié)點位移和單元應力的統(tǒng)計量［4］，位移隨機向量均值{μδ}和方差{σ2δ}分別為

式中:{δ}#為結構的常規(guī)位移有限元計算值.單元應力的均值{μse}和方差{σ2se}分別為

式中:D為彈性矩陣;B為幾何矩陣;T(e)為單元e從局部坐標系到總體坐標系的坐標轉換矩陣.

綜上，利用式(10)、(14)和(15)可求得位移可靠指標;利用式(10)、(16)和(18)即可求得應力可靠指標.

當可靠度R分別為0.80，0.90和0.99時，隨變異系數(shù)γ的不同，結構質量如表2所示.

表2 結構質量表

由表2可以看出:當外荷載、彈性模量和桿件長度分別為隨機變量時，對結構的影響差不多.同時也可以看出，多個參數(shù)為隨機變量時，結構的質量要大于單個參數(shù)為隨機變量時的質量.當可靠度R=0.90時，Case1的形狀優(yōu)化評價函數(shù)曲線如圖2所示，圖3為Case1優(yōu)化后的形狀.

圖2 37桿桁架橋形狀優(yōu)化評價函數(shù)收斂曲線

圖3 37桿桁架橋形狀優(yōu)化結果

由圖2可知迭代200次左右時曲線已經(jīng)收斂.當可靠度R=0.80，變異系數(shù)取Case2，Case5和Case8時37桿桁架橋可靠度約束形狀最優(yōu)化結果與確定性方法的優(yōu)化結果的比較如表3所示.由表3可知:相對于確定性優(yōu)化的結果，用可靠度考慮不確定性因素后優(yōu)化結果要偏大，但更接近實際工程.當變異系數(shù)不同，可靠度R與桁架總質量的關系如圖4所示.由圖4可知γ越大或是R要求越高時，桁架結構也越重.

圖4 變異系數(shù)不同時，可靠度與桁架總質量的關系

表3 37桿桁架可靠度約束形狀最優(yōu)結果與其他方法比較

3 結論

1)基于可靠度的桁架不確定優(yōu)化設計的結果比確定性優(yōu)化的結果偏大，但更加符合工程實際背景.優(yōu)化結果的大小隨著可靠度指標的提高和變異系數(shù)的增大而增大.

2)本研究所提出的分析方法能夠發(fā)揮微分演化算法的優(yōu)勢，計算精度高，運行穩(wěn)定，可以快速、有效地進行基于可靠度的桁架結構優(yōu)化設計.

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