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      關(guān)于函數(shù)常表素數(shù)的問題

      2013-10-12 06:19:24管訓(xùn)貴
      關(guān)鍵詞:素數(shù)證法正整數(shù)

      管訓(xùn)貴

      (泰州學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院,江蘇 泰州 225300)

      1 引言及主要結(jié)論

      用Gauss函數(shù)(又稱取整函數(shù))表示特殊的整數(shù).G?del,Escher和Bach.在合著的一本數(shù)學(xué)普及讀物中,用遞歸方式定義了如下的數(shù)列

      G(0)=0,G(n)=n-G(G(n-1)),n=1,2,3,…并向全世界征解該數(shù)列的通項公式.直到1986年,N.I.Fine[1]解決并得出其結(jié)論是:

      后來,Lord Rayleigh用Gauss函數(shù)給出了又一個有趣的結(jié)論:設(shè)α,β為正無理數(shù),且滿足關(guān)系1,則an=[nα],n=1,2,3,…;bn=[nβ],n=1,2,3,…兩兩不相等,且恰好給出了全體正整數(shù).

      而用多項式函數(shù)表素數(shù)的問題,則是數(shù)論中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容之一,有許多重要問題與猜想至今尚未完全解決.

      18世紀(jì)初,大數(shù)學(xué)家Euler等人就獲得了常表素數(shù)的函數(shù)(fn)=n2-n+17(0≤n≤16),(fn)=n2-n+41(0≤n≤40),(fn)=n2-79n+1601(0≤n≤79)等等.

      G.Kabinovitch證明了[2]:函數(shù) (fn)=n2-n+m在0≤n≤m-1時常表素數(shù)的充要條件是虛二次域Q()的類數(shù)為1,這里d=1-4m.

      R.Honsberger[3]在《素數(shù)的產(chǎn)生》一文中,介紹了產(chǎn)生素數(shù)的公式:函數(shù)

      對正整數(shù)m和n,只取素數(shù)值,且取到所有的素數(shù)值,而每個奇素數(shù)正好各取一次.這一公式確實是人們夢寐以求的奇妙公式,它不僅只產(chǎn)生素數(shù),而且能產(chǎn)生全部素數(shù),甚至每個奇素數(shù)恰好各取一次,所以這個公式的出現(xiàn),的確是一件值得慶賀的突破性的進展.

      沈明剛[4]研究了函數(shù)f(n)=n2-n+p,他指出f(n)常表素數(shù)的實質(zhì)是Z[θ]為主理想環(huán),這里θ為f(x)=x2-x+p的一個根,從而完全確定當(dāng)且僅當(dāng)p=2,3,5,11,17,41時,f(n)對于0≤n≤p-1常表素數(shù).

      W.Fung和H.C.Williams[5]給出函數(shù)f(n)=47n2-1701n+10181在0≤n≤42時常表素數(shù).隨后,R.Ruby給出了函數(shù)f(n)=36n2-810n+2753在0≤n≤44時常表素數(shù).

      2000年,袁平之[6]證明了:若p為奇素數(shù),則h(-8p)=2的充要條件是對任何適合gcd(a,2p)=1,0<a<p的整數(shù)a,2p+a2常表素數(shù).此結(jié)論說明類數(shù)為2的二次域和函數(shù)常表素數(shù)之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.

      本文給出用Gauss函數(shù)[x]常表素數(shù)的一個結(jié)果.即如下

      定理 有一實數(shù)α存在,使得對任意正整數(shù)n,Gauss函數(shù)[αn]常表素數(shù).

      2 關(guān)鍵性引理

      引理1(契比雪夫定理) 對任意實數(shù)x≥1,在區(qū)間[x,2x]上必有素數(shù)存在.

      證明 參見文獻[7].

      引理2(單調(diào)有界定理) 任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限.

      證明 參見文獻[8].

      引理3 設(shè)θ>0.55,則存在一個正整數(shù)N,當(dāng)n>N時,在區(qū)間[x,x+xθ]上存在素數(shù).

      證明 參見文獻[9-10].

      3 定理的證明

      證法1 設(shè)m是不小于2的正整數(shù),p1為給定的任意奇素數(shù).由引理1知,有一素數(shù)pn+1滿足

      顯然 pn+1+1≠mpn+1,否則 pn+1=mpn+1-1為合數(shù).故

      則由 pn<logmpn+1<logm(pn+1+1)<pn+1知 un<un+1<vn+1<vn.從而有

      于是由引理2知,存在實數(shù)α和β,使得

      又對所有正整數(shù)n有un<vn,故un<α≤β<vn.令α0=α,α1=mα0,…,αn+1=mαn, 則 pn<αn<pn+1,即[αn]=pn常表素數(shù).

      證法2 設(shè)p1=3,pn為大于N的任一素數(shù).取θ=0.6,由引理3知,有一素數(shù)pn+1滿足

      故由引理2知,存在實數(shù)A和B,使得

      又對所有正整數(shù)n有un<vn,故un<A≤B<vn,同時kn得即pn<Akn≤Bkn<pn+1.令 Akn=αn(或 Bkn=αn),則[αn]=pn常表素數(shù).

      定理得證.

      [1]Fine N T.J of Mathematical Analysis and Applications[J].1986,113:185-187.

      [2]Guy K.Unssolved Problems in Number Theory[M].Springer Verlay:New York,1994:1-55.

      [3]Honsberger R.素數(shù)的產(chǎn)生[J].數(shù)學(xué)譯林,1984,3(3):1-5.

      [4]沈明剛.n2-n+p常表素數(shù)的完全確定[J].科學(xué)通報,1987(11):801-803.

      [5]Fung W,Williams H C.Quadratic polynomials which have a high density of prime values[J].Math Comput,1990(3):286-289.

      [6]袁平之.方程xy+yz+zx=n的正整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2000,43(3):391-398.

      [7]常庚哲,謝盛剛.數(shù)學(xué)競賽中的函數(shù)[X][M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1989:82-86.

      [8]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2000:46.

      [9]Hardy H,Wright E M.The Theory of Numbers[M].New York:Oxford Univ Press,fourth edition,1960.

      [10]Iwaniec H,Laborde M.p in short intervals[J].Ann Inst.Fourier(Grenoble),1981(31):37-56.

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