韓 飛

(咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 咸寧 437100）

行列式是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，在很多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。本文結(jié)合作者在平時教學(xué)中的體會，介紹行列式的兩點巧用。

一、巧證微分中值定理

微分中值定理包含羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理，傳統(tǒng)的證明方法是在羅爾定理的基礎(chǔ)上，用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法證明拉格朗日中值定理，進一步再構(gòu)造輔助函數(shù)證明柯西中值定理，其難點在于構(gòu)造輔助函數(shù)，學(xué)生不易想到。利用行列式能巧證拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

（一）拉格朗日中值定理

設(shè)函數(shù) S(x)表示以曲線上三個點（a，f(a)），（b，f(b)），（x，f(x)）為頂點的三角形的面積（圖 1），由面積公式

其中:x∈[a,b].

因為 S(a)=S(b)=0，且 S(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，因此S(x)滿足羅爾中值定理，于是至少存在一點 ζ∈（a,b），使得

（二）柯西中值定理

設(shè)函數(shù) φ（x）表示以曲線上三個點（g(a)，f(a)），（g(b)，f(b)），（g(x)，f(a)）為頂點的三角形的面積（圖2），由面積公式

其中，g(x)∈[g(a),g(b)]

二、因式分解的應(yīng)用

傳統(tǒng)的因式分解的方法有很多，對于一些特殊的多項式，利用行列式分解則更加方便。

解:因為

[1]李飛飛,趙臨龍.微分中值定理證明方法[J]甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2012(9).

[2]郭欣紅,姜曉燕.經(jīng)濟數(shù)學(xué)[M]北京:人民郵電出版社,2010.