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(青田縣教育局 浙江青田 323900)

巧用函數(shù)的性質(zhì)和圖像速解、智解數(shù)學(xué)題

●高歌

(青田縣教育局 浙江青田 323900)

考試是“對”、“錯”的較量，“快”、“慢”的競技．在考試規(guī)定的時間內(nèi)，又“對”又“快”地完成考題、選準答案，實現(xiàn)單位時間內(nèi)答題成功的最大效應(yīng)，是我們孜孜以求的愿望和永恒不變的追求！在數(shù)學(xué)高考堅定不移地堅持“考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力”的原則，確立“以能力立意命題”的指導(dǎo)思想，著力實現(xiàn)“多想少算”的思想理念，在“考基礎(chǔ)、考能力、考智慧”等方面下功夫，將“知識、能力和素質(zhì)”融為一體.在全面檢測考生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的大背景下，如何提高數(shù)學(xué)解題方法的多樣性、靈活性與變通性，提升解題的技術(shù)能力與策略水平，顯得尤為重要！

筆者認為，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)當在掌握“數(shù)學(xué)基本知識、基本技能和基本思想方法以及通性通法”的基礎(chǔ)上，注重解題技能的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)解題要力求“強攻”和“輕取”并舉、“通法”和“巧法”并重，著力優(yōu)化算理算法，不斷提升解題技法．教師不僅要“會算，會少算，會巧算、簡算、估算”，也要“會速算，會心算，會智算”，乃至“會不算”就能破解數(shù)學(xué)問題，以致使數(shù)學(xué)解題步入“對而快，快而對”的藝術(shù)境界．本文簡單地闡述如何以超然的視角與獨到的眼光，巧妙運用函數(shù)的性質(zhì)特點與圖像特征，迅速求解數(shù)學(xué)考題，從而大幅提高數(shù)學(xué)解題的“速度”與“效率”．

1 巧用函數(shù)定義域，速解與智解數(shù)學(xué)考題

“函數(shù)的定義域”是函數(shù)的重要組成部分，是構(gòu)成函數(shù)的2個基本條件之一(另一個基本條件是函數(shù)的“對應(yīng)法則”)，是函數(shù)的“三要素”之一．一些函數(shù)的定義域有著明顯的性質(zhì)特征，如：由于奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，因此奇、偶函數(shù)的定義域必定關(guān)于原點對稱；由于函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)在同一直角坐標系中的圖像關(guān)于直線y=x對稱，因此反函數(shù)y=f-1(x)的定義域就是其原函數(shù)y=f(x)的值域等等．一旦明白了奇、偶函數(shù)的定義域以及互為反函數(shù)的性質(zhì)特征，便能“一舉破解”乃至“一眼望穿”與之相關(guān)的數(shù)學(xué)考題．

( )

(2011年遼寧省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析本題主要考查奇函數(shù)的定義以及相應(yīng)的變換運算、靈活運用能力．一般的解法是運用奇函數(shù)的定義，即：由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，知f(-x)=-f(x)對定義域內(nèi)所有的x恒成立，從而

即-x(2x+1)(x-a)=-x(-2x+1)(-x-a)，

2 巧用函數(shù)的值域，速解與智解數(shù)學(xué)考題

“函數(shù)的值域”也是構(gòu)成函數(shù)的“三要素”之一．事實上，函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則(即構(gòu)成函數(shù)的2個基本條件)一經(jīng)確定，函數(shù)的值域也就隨之確定．對于有些題型(如選擇題)，若能巧妙地利用函數(shù)的值域，只要“簡算”(“估算”)，不要“詳算”(“精算”)；只要“動腦”(“心算”)，不要“動手”(“筆算”)，便能快速而準確地找到正確答案．

( )

(2010年全國數(shù)學(xué)高考課標卷理科試題)

分析本題主要考查三角恒等變換中倍角公式的靈活運用、同角三角函數(shù)關(guān)系等知識以及相應(yīng)的運算能力.若用“算到底”的思路求解，可能會采用以下4種解法.

故

從而

速解與智解1因為α是第三象限的角，則

圖1

3 巧用函數(shù)奇偶性，速解與智解數(shù)學(xué)考題

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，其特點是奇偶性函數(shù)的圖像具有某種整體對稱性：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱．在這些對稱性中隱含著重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，巧妙運用奇、偶函數(shù)的這些對稱性及其蘊含的重要結(jié)論，往往可以使許多復(fù)雜的求解變得簡單．

例3設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=x3-8(x≥0)，則{x|f(x-2)>0}=

( )

A．{x|x<-2或x>4} B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<-2或x>2}

(2010年全國數(shù)學(xué)高考課標卷理科試題)

分析本題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法以及相應(yīng)的運算能力.直接求解可能采用以下2種解法.

解法1當x<0時，-x>0，得

f(x)=f(-x)=-x3-8，

于是

則

令f(x-2)>0，得x>4或x<0.故選B.

解法2當x≥2時，

f(x)=x3-8>0,

解得

x>2.

因為f(x)是偶函數(shù)，所以當x∈R時，f(x)>0的解集為{x|x<-2或x>2}.又因為函數(shù)f(x)向右平移2個單位就得到函數(shù)f(x-2)，所以f(x-2)>0的解集為{x|x<0或x>4}.故選B．

實際上本題并不需要這樣一步一步來求解，利用偶函數(shù)的對稱性就可以一步到位．

速解與智解由于偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，則不等式f(x)>0的解集也關(guān)于y軸對稱，因此不等式f(x-2)>0的解集關(guān)于直線x=2對稱，據(jù)此只能選擇B．

4 巧用函數(shù)單調(diào)性，速解與智解數(shù)學(xué)考題

“函數(shù)的單調(diào)性”是函數(shù)的又一個重要性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性直觀地呈現(xiàn)出函數(shù)圖像增減變化的特點．有效地運用函數(shù)的單調(diào)性，可以快速地比較函數(shù)值的大小關(guān)系．尤其值得注意的是，利用函數(shù)的單調(diào)性可以把復(fù)雜的不等式求解、不等式證明以及比較大小等問題“轉(zhuǎn)化”與“化歸”為較簡單的不等問題來處理．

例4如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ)，θ∈[0,2π),那么θ的取值范圍是______．

(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析本題一般的求解方法是先“移項”，得

cos5θ-sin5θ+7(cos3θ-sin3θ)<0，

再對左邊式子“因式分解”來處理．但依據(jù)高中學(xué)生的知識基礎(chǔ)，對左邊式子的因式分解有一定的難度(即使能分解，其過程也相當復(fù)雜).但如果通過適當?shù)淖冃?，發(fā)現(xiàn)其為某一函數(shù)的變換，利用其單調(diào)性便可輕松破解．

速解與智解由已知,得

cos5θ+7cos3θ

5 巧用函數(shù)的圖像，速解與智解數(shù)學(xué)考題

“函數(shù)的圖像”是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，其最大的作用是讓我們清晰地看到了函數(shù)的具體變化情況．在平常解決數(shù)學(xué)問題時，要注意把“數(shù)量關(guān)系”與“圖形圖像”聯(lián)系起來，要注重對函數(shù)圖像的把握與運用，從而使問題變得更加直觀．事實上，“數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)”是一種極其重要的思想方法，更是一種重要的解題策略，利用函數(shù)的圖像往往使有關(guān)問題的求解變得“直觀而清晰、自然而便捷”．

( )

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

(2010年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查函數(shù)求值、不等式求解、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的基本運算等基礎(chǔ)知識，并考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．其一般的求解是用“分類討論”的方法：

當a>0時，由f(a)>f(-a),得

即

則

解得

a>1.

當a<0時，由f(a)>f(-a),得

即

則

解得

-1

故選C.

若先畫出該分段函數(shù)的圖像，由函數(shù)圖像的直觀性，答案便立竿見影(還可以用“特殊值法”)．

圖2

速解與智解利用“數(shù)形結(jié)合”的思想，先畫出函數(shù)的圖像(如圖2)，則函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及變換特征便“一覽無余”，由圖像便可選定C為正確答案.

“函數(shù)”是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，“函數(shù)的思想方法”貫穿在整個高中數(shù)學(xué)課程的始終，“函數(shù)內(nèi)容”也是高考數(shù)學(xué)的重要組成部分，在每年高考中都占有相當大的比重．我們要善于巧妙利用函數(shù)的諸多性質(zhì)及其圖像特征，使之成為快速而有效破解有關(guān)數(shù)學(xué)問題的一把“利劍”！

[1] 蔣海甌．關(guān)于試卷講評的“點滴見解”[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2012(5)：51-54．

[2] “2010年高考：數(shù)學(xué)答題中的優(yōu)美解及典型失誤”證文選登(二)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2010(8)：38-53．