對(duì)函數(shù)極值定義的探討

謝日新

[摘要]舉例說(shuō)明對(duì)極值定義的看法 ，并給出了參考定義。

[關(guān)鍵詞]極大（?。┲?，極大（?。┲迭c(diǎn)

在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)某些教材中關(guān)于極值的定義，均值得商榷，下面通過(guò)舉例說(shuō)明。

一、普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材，《微積分》中的定義如下：

定義1 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域U（x0）內(nèi)有定義，并且 ，有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），則稱(chēng)f（x0）為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值（或極小值），x0稱(chēng)為函數(shù)f（x0）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.

例1 設(shè)

函數(shù)f（x0）在x0=1的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且對(duì)鄰域中任何點(diǎn)x恒有f（x）≤f（x0），按定義1，f（x0）為函數(shù)f（x）的極大值，而x0=1為極大值點(diǎn)。這顯然是錯(cuò)誤的。

二、21世紀(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)精品教材《高等數(shù)學(xué)》中的定義如下：

定義2 設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域 內(nèi)的任一x，有f（x）f（x0）

那么稱(chēng)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值或極小值。

例2 設(shè)

函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0=1的某鄰域U（x0）內(nèi)有定義，對(duì)其去心鄰域 內(nèi)的任一x，有f（x）

例3 設(shè)

函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0=1的某鄰域U（x0）內(nèi)有定義，對(duì)其去心鄰域 內(nèi)的任一x，有f（x）

例4 設(shè)

函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0=0處連續(xù)，對(duì)某去心鄰域 內(nèi)的任一 x，有f（x）>f（x0），按定義2，f（x0）為函數(shù)f（x）的極小值，而x0為極小值點(diǎn)。

在以上例子中，例1，例3和例4中的極值點(diǎn)，函數(shù)經(jīng)過(guò)極值點(diǎn)時(shí)，其單調(diào)性沒(méi)改變；例2中，只要令f（1）=0，點(diǎn)x0=1又變?yōu)闃O小值點(diǎn)，此時(shí)x0=1是否歸入極小值點(diǎn)，值得探討。

三、鑒于以上定義的不足，現(xiàn)給出如下參考定義：

定義3 設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域U（x0）內(nèi)有連續(xù)，如果對(duì)于去心鄰域 內(nèi)的任一x，有f（x）f（x0）

那么稱(chēng)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值或極小值。

[參考文獻(xiàn)]

[1]劉穎芳、肖運(yùn)鴻主編微積分，2011年第一版，科學(xué)出版社。

[2]余勝春、張平芳主編高等數(shù)學(xué)，2012年第一版，科學(xué)出版社。

（作者單位：廣州航海學(xué)院 基礎(chǔ)部 廣東廣州）