李紀(jì)強(qiáng),周斌,丁益民,2

(1.湖北大學(xué)物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430062; 2.中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所,理論物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

0 引言

單擺是物理學(xué)中一個(gè)很常見的模型,吸引了許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究[1-6].伽利略最早發(fā)現(xiàn)了單擺振動(dòng)的等時(shí)性,并用實(shí)驗(yàn)證明單擺的周期隨擺長(zhǎng)的二次方根變化.惠更斯第一次用單擺制作了擺鐘,并從擺鐘在南美洲比在巴黎每天慢2.5 min而推斷這是由于地球自轉(zhuǎn)引起的引力減弱導(dǎo)致的.牛頓用單擺證明了物體的重量總是與質(zhì)量成正比.現(xiàn)在天文學(xué)中也常用單擺測(cè)量星體表面的重力加速度[7].由于單擺方程沒有嚴(yán)格的解析解,在計(jì)算機(jī)誕生前,大多數(shù)討論只限于小初始擺角的情況,對(duì)大角擺動(dòng)僅用相圖做了粗略的解釋.本文中利用MATLAB軟件嚴(yán)格求解單擺方程從而研究其混沌現(xiàn)象[8-11],通過數(shù)值分析的方法避免了其運(yùn)動(dòng)方程無嚴(yán)格解析解的問題.在對(duì)其現(xiàn)象進(jìn)行模擬的同時(shí),形象直觀地呈現(xiàn)了單擺的周期、運(yùn)動(dòng)形式的演化與其參數(shù)的重要聯(lián)系.基于單擺系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感依賴性,本文中在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上給出一種新的衡量混沌系統(tǒng)敏感性的量化指標(biāo)——敏感系數(shù),對(duì)研究非線性力學(xué)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)形式演化的影響具有參考價(jià)值.

1 無阻尼的單擺

無驅(qū)動(dòng)力、無阻尼的單擺的運(yùn)動(dòng)可由的方程(1)描述,其中θ為鉛直方向與擺線的夾角,m為擺球質(zhì)量,L為擺長(zhǎng),g為重力加速度.

(1)

整理得

(2)

數(shù)學(xué)理論表明,方程(2)沒有嚴(yán)格的解析解,一般的情況下,sinθ≈θ的近似不成立.利用數(shù)值分析中的龍格庫(kù)塔法[12-13]可以求出方程(2)的數(shù)值解,參數(shù)取值為g=10 m/s2,L=1 m,m=1 kg.單擺的周期性運(yùn)動(dòng)的圖像如圖1所示.可以看出,與小角度擺動(dòng)不同的是,初始擺角影響單擺的周期,且初始擺角越大,周期越長(zhǎng),當(dāng)初始擺角為π時(shí),單擺的周期趨于無窮大,即系統(tǒng)出現(xiàn)了相變現(xiàn)象.

圖1 不同初始擺角條件下單擺的運(yùn)動(dòng)圖像

圖2 周期比隨初始擺角的變化

(3)

(4)

周期比隨時(shí)間的變化如圖2所示,可以看出初始擺角為π時(shí),單擺的周期趨于無窮大,這與前面的結(jié)論吻合.

對(duì)混沌理論的研究中,用的比較多的是相圖[15].對(duì)于單擺,由機(jī)械能守恒定律得

(5)

(6)

圖3 1周期的相圖

對(duì)于遠(yuǎn)離臨界值的能量初值E,而后的運(yùn)動(dòng)是完全確定的,運(yùn)動(dòng)能夠預(yù)測(cè)和重復(fù),即能量初值“相同”則運(yùn)動(dòng)可以“重現(xiàn)”.當(dāng)然,這里的“相同”指誤差可以忽略不計(jì),這類運(yùn)動(dòng)通常稱為“規(guī)則運(yùn)動(dòng)”,對(duì)“規(guī)則運(yùn)動(dòng)”的研究確立了對(duì)牛頓力學(xué)“確定性”的認(rèn)識(shí).對(duì)于能量初值在臨界值附近波動(dòng)的運(yùn)動(dòng),可能呈現(xiàn)出大為不同的情況.從相圖上可以看出,如果能量初值略小于臨界值,則運(yùn)動(dòng)遵從相圖中閉合曲線的規(guī)律運(yùn)動(dòng);而能量初值略大于臨界值時(shí),運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的相圖中的曲線是非閉合的.在臨界值附近一個(gè)微小的擾動(dòng)能夠造成結(jié)果的巨大差別.若δ是一個(gè)十分小的量以至于測(cè)量?jī)x器測(cè)不出來,那么對(duì)能量E=2mgL+δ的初值都將認(rèn)為是E=2mgL的初值,這時(shí)實(shí)驗(yàn)中將會(huì)觀察到,對(duì)應(yīng)“相同”的能量初值隨著時(shí)間的變化有時(shí)演化成往復(fù)擺動(dòng),有時(shí)候演化成單向轉(zhuǎn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了不可預(yù)測(cè)的“隨機(jī)性”,單擺的這種“隨機(jī)行為”稱為混沌行為.

2 有阻尼的單擺

假設(shè)阻力與速度成正比,阻尼系數(shù)為γ,單擺的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

圖4 單擺在(a)負(fù)阻尼,γ=-0.2 s-1;(b)無阻尼,γ=0;(c)阻尼,γ=0.2 s-1情況下的相圖

(7)

可以分別畫出單擺在負(fù)阻尼(γ=-0.2s-1)、無阻尼(γ=0)、阻尼(γ=0.2s-1)情況下的相圖,此處初始擺角設(shè)定為θ0=π/8,如圖4所示.可以看出,在負(fù)阻尼的狀態(tài)下,系統(tǒng)的能量增加,單擺遠(yuǎn)離最初的平衡位置,又稱“排斥子”.在無阻尼狀態(tài)下,小角度單擺相軌跡是閉合的,單擺的狀態(tài)可以確定.在阻尼狀態(tài)下,由于能量的耗散,單擺的振幅越來越小,最后靜止在平衡位置上,它的相軌跡為一條內(nèi)旋的對(duì)數(shù)螺旋線,螺旋線中心是穩(wěn)定的焦點(diǎn),又稱為“吸引子”[16-19].進(jìn)一步研究可發(fā)現(xiàn):混沌吸引子的圖形雖然復(fù)雜,但它的結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性,一般隨著時(shí)間的增長(zhǎng),其軌線是不會(huì)重疊的,它是混沌系統(tǒng)中無序穩(wěn)態(tài)的運(yùn)動(dòng)形態(tài).具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)是混沌吸引子最典型的特征,如果取出吸引子中的一小部分進(jìn)行放大,它將具有和原來吸引子相同的內(nèi)部結(jié)構(gòu);若繼續(xù)在其取出的一小部分中再取出一小部分繼續(xù)放大,則它依然具有與原吸引子相同的內(nèi)部結(jié)構(gòu),如此循環(huán),以至無窮[20].

3 敏感性分析

混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感依賴是混沌現(xiàn)象的特征之一,本文中對(duì)混沌現(xiàn)象中初始條件變化時(shí)產(chǎn)生的差異進(jìn)行分析.以無阻尼單擺為例,固定參數(shù)為g=10 m/s2,L=1 m,m=1 kg.改變初始擺角,比較同一時(shí)間點(diǎn)單擺運(yùn)動(dòng)的θ值的差異.小角度情況下,方程(2)有較好的線性特征,結(jié)果有較好的預(yù)測(cè)性.在臨界值θ0=π附近,初始條件較小的波動(dòng)隨時(shí)間的增加而被“放大”,結(jié)果差異很大,如圖5所示.這種結(jié)果的波動(dòng)作為將來時(shí)間的“初始條件”進(jìn)一步被“放大”,所謂“差之毫厘,謬以千里”.為了描述單擺混沌現(xiàn)象對(duì)初始條件的敏感性,在參考他人的工作的基礎(chǔ)上[21-22],本文中給出了一個(gè)量化的敏感性評(píng)價(jià)指標(biāo)——敏感系數(shù)S.

圖5 初始條件在臨界值附近(0.97π<θ0<1.03π)時(shí)的單擺運(yùn)動(dòng)

圖6 無阻尼單擺的敏感系數(shù)隨初始擺角和擺長(zhǎng)的變化

圖7 無阻尼單擺的不同擺長(zhǎng)條件下敏感系數(shù)隨初始擺角的變化

圖8 有阻尼單擺的敏感系數(shù)隨初始擺角和阻尼系數(shù)的變化

4 結(jié)論

通過高精度的數(shù)值計(jì)算,嚴(yán)格求解無阻尼單擺和有阻尼單擺的運(yùn)動(dòng)方程,研究了單擺擺長(zhǎng)、阻尼系數(shù)和初始擺角對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的影響.研究結(jié)果表明:單擺的周期與初始擺角有關(guān);單擺在大角擺動(dòng)時(shí),系統(tǒng)的演化情況強(qiáng)烈依賴初始條件,不具有小角擺動(dòng)的“可預(yù)測(cè)性”,它呈現(xiàn)出混沌行為.究其原因,大角擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程不是一個(gè)線性微分方程,它的解不具有穩(wěn)定性.通過計(jì)算敏感系數(shù),發(fā)現(xiàn)初始擺角、單擺擺長(zhǎng)、阻尼系數(shù)均能影響混沌系統(tǒng)的敏感性.

[1] Fulcher L P, Davis B F. Theoretical and experimental study of the motion of the simple pendulum[J]. Am J Phys,1976,44(1):51-55.

[2] Lima F M S, Arun P. An accurate formula for the period of a simple pendulum oscillating beyond the small angle regime[J]. Am J Phys,2006,74:892.

[3] Kidd R B, Fogg S L. A simple formula for the large-angle pendulum period[J]. Phys Teach,2002,40:81.

[4] Bender C M, Holm D D, Hook D W. Complex trajectories of a simple pendulum[J]. J Phys A: Math Theor,2007,40(3):F81.

[5] Antman S S. The simple pendulum is not so simple[J]. SIAM Rev,1998,40(4):927-930.

[6] Qing X Y, Pei D. Comment on approximation for a large-angle simple pendulum period[J]. Eur J Phys,2009,30(5):L79.

[7] Parks H V, Faller J E. Simple pendulum determination of the gravitational constant[J]. Phys Rev Lett,2010,105(11):110801.

[8] Liu Z H, Zhu W Q. Homoclinic bifurcation and chaos in simple pendulum under bounded noise excitation[J]. Chaos, Soliton Fract,2004,20(3):593-607.

[9] Humieres D, Beasley M R, Huberman B A, et al. Chaotic states and routes to chaos in the forced pendulum[J]. Phys Rev A,1982,26(6):3483.

[10] Blackburn J A, Zhou J Y, Vik S, et al. Experimental study of chaos in a driven pendulum[J]. Phys D: Nonlinear Phenomena,1987,26(1):385-395.

[11] Kadanoff L P. From periodic motion to unbounded chaos: investigations of the simple pendulum[J]. Phys Scripta,2007,1985(T9):5.

[12] Butcher J C. The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge-Kutta and general linear methods[M]. New York: Wiley Int Sci,1987.

[13] Jameson A, Schmidt W, Turkel E. Numerical solutions of the Euler equations by finite volume methods using Runge-Kutta time-stepping schemes[J]. AIAA,1981,1259:1981.

[14] 陳文濤,龔善初.單擺振動(dòng)分析[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,21(1):68.

[15] Matthews P C, Strogatz S H. Phase diagram for the collective behavior of limit-cycle oscillators[J]. Phys Rev Lett,1990,65(14):1701-1704.

[16] Lorenz E N. Deterministic nonperiodic flow[J]. J Atmos Sci,1963,20(2):130-141.

[17] Brandstater A, Swinney H L. Strange attractors in weakly turbulent Couette-Taylor flow[J]. Phys Rev A,1987,35(5):2207.

[18] Ott E. Strange attractors and chaotic motions of dynamical systems[J]. Rev Mod Phys,1981,53(4):655.

[19] Grassberger P, Procaccia I. Characterization of strange attractors[J]. Phys Rev Lett,1983,50(5):346-349.

[20] 王海紅,傅廷亮,李菊芳.分形和混沌系統(tǒng)的仿真[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,33(4):46-48.

[21] Kolyada S F. Li-Yorke sensitivity and other concepts of chaos[J]. Ukr Mat J,2004,56(8):1242-1257.

[22] Blümel R. Exponential sensitivity and chaos in quantum systems[J]. Phys Rev Lett,1994,73(3):428-431.