王俊彥,程 毅,孫佳慧

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)人文信息學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部,長(zhǎng)春 130122;2.渤海大學(xué) 數(shù)學(xué)系,遼寧 錦州 121013;3.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部,長(zhǎng)春 130022)

近年來,關(guān)于發(fā)展方程及包含反周期問題的研究已有許多結(jié)果[1-6].文獻(xiàn)[7]在集值函數(shù)取非凸值的情況下,給出了發(fā)展包含解的存在性.本文在文獻(xiàn)[7]假設(shè)條件的基礎(chǔ)上,研究反周期發(fā)展包含端點(diǎn)解的存在性.

設(shè)H是可分的Hilbert空間,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空間結(jié)構(gòu),且連續(xù)地緊嵌入H.V等同于H及其對(duì)偶,因此有V→H→V*,其中所有嵌入都是連續(xù)和稠密的.設(shè)I=[0,T]是一個(gè)閉區(qū)間,X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中p>1且1/p+1/q=1.‖·‖X表示X中的范數(shù),(·,·)表示空間H的內(nèi)積,〈·,·〉表示(V,V*)中的對(duì)偶對(duì),〈〈·,·〉〉表示(X,X*)中的對(duì)偶對(duì),Pk(R)表示實(shí)數(shù)集所有非空緊子集的全體.

設(shè)T=[0,b],考慮如下發(fā)展包含的反周期邊值問題：

(1)

其中:A:T×V→V*是一個(gè)非線性半連續(xù)算子;B:V→V*是一個(gè)有界線性自伴算子,D(B)緊嵌入H;extG(t,x)表示集值映射G:T×H→2V*{?}的端點(diǎn)集.

假設(shè)：

(H2) 對(duì)于每個(gè)t∈T,A(t):V→V*一致單調(diào)且半連續(xù),即存在一個(gè)常數(shù)C1≥0,使得對(duì)于所有的x1,x2∈V,有

‖A(t,x)‖V*≤a(t)+C2‖x‖V, a.e.T；

不失一般性,對(duì)于所有的t∈T,假設(shè)A(t,0)=0.為研究問題(1)的端點(diǎn)解,本文在文獻(xiàn)[7]假設(shè)條件的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步加強(qiáng)了集值函數(shù)G(t,x)的連續(xù)性.不僅要求G(t,x)上半連續(xù),還要求G(t,x)是下半連續(xù)的.

再假設(shè)H(F)：G:T×H→Pkc(V*) 是一個(gè)集值映射,滿足：

1) 對(duì)幾乎所有的t×x∈T×V,(t,x)→G(t,x)是圖像可測(cè)的；

2) 對(duì)幾乎所有的t∈T,x→G(t,x)是連續(xù)的；

定理1若假設(shè)(H1)～(H4)和H(F)成立,則問題(1)存在解x∈Wpq(T).

證明:定義算子L(x)=x′+A(t,x)+Bx,則L:X→X*是一一映射[6],從而定義L-1:X*→X是存在的.

-x′+(A(t,xn)-A(t,x))=hn-h-(Bxn-Bx),

(2)

對(duì)式(2)取內(nèi)積,再積分得

因xn(0)-x(0)=-xn(b)+x(b),則

根據(jù)假設(shè)(H2)和‖·‖H≤λ‖·‖V知,

因此,‖xn-x‖H→0,a.e于T.從而,存在常數(shù)η∈Tα(這里α的側(cè)度為零),使得當(dāng)n→∞時(shí),‖xn(η)-x(η)‖H→0.于是

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(責(zé)任編輯：趙立芹)

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