壟斷者跨時利潤和最優(yōu)化模型與科斯猜想

余 敏 上海市普陀區(qū)業(yè)余大學(xué)

近幾十年，博弈論不斷加速向現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)滲透。羅納德·科斯（ronald coase）提出一種觀點(diǎn)，認(rèn)為在某些條件下，經(jīng)濟(jì)的外部性或曰非效率可以通過當(dāng)事人的談判而得到糾正?！翱扑共孪搿保–oase Conjecture）是科斯在1972年發(fā)表的《Durability and Monopoly》論文中所做的一個猜測。科斯教授提出，由于將來銷售的耐用品將會影響到現(xiàn)在所售出的產(chǎn)品的未來價值，在壟斷耐用品生產(chǎn)者沒有對未來的產(chǎn)量水平做出承諾時，如果消費(fèi)者具有價格下跌的理性預(yù)期，那么壟斷價格就會迅速降到邊際成本水平。這個觀點(diǎn)源于一系列案例，科斯本人一直拒絕把他初始論文中的論點(diǎn)加以廣泛地推廣，因此對于他論文中的每一個解釋，出現(xiàn)另外多種似乎說得通的看法。以下通過討論壟斷者跨時利潤和最優(yōu)化模型進(jìn)行提示性證明。

一、壟斷者的跨時利潤

假設(shè)1 單位生產(chǎn)成本為0，（此假設(shè)只是為了討論的方便）。

假設(shè)2 壟斷者和消費(fèi)者無限地活著。

假設(shè)3 消費(fèi)者的估價ν 均勻地分布在[0，1/（1-δ）]上。（相當(dāng)于每階段估價均勻地分布在[0，1]上）

假設(shè)4 估價為ν 的消費(fèi)者效用δt（ν-Pt），Pt表示t

假設(shè)5 “穩(wěn)態(tài)假設(shè)”：當(dāng)某一時間面對價格P時，任何估價超過ω（P）=λ P的消費(fèi)者將購買，估價較低的消費(fèi)者不會購買，其中λ>1。反之，如果在某一時間估價超過ν 的消費(fèi)者買了，而其他的消費(fèi)者沒有購買，壟斷者要價P（ν）=μν，其中μ<1

其中ν>λ P1>λ P2>…

引理1 證明壟斷者對Pt的最優(yōu)化導(dǎo)致一種線性規(guī)劃，其中λ 作為μ 的函數(shù)由下式給 1-2 λμ+δ λ2μ2=0

[證明] 對（1）式中的P1求導(dǎo)令其為0，得

由于 P1=μν，P2=μ（λ P1）= λ μ2ν，即得

此條件通常稱為檢驗(yàn)二階條件 證畢

引理2 消費(fèi)者ω（P）的無差異方程

[證明] 估價為λ P的買方現(xiàn)在就買和等待下一個階段買之間是無差異的，即

兩端去掉P即得（3） 證畢

引理3 當(dāng)δ →1時，壟斷者的利潤趨于0

[證明] 由（2）與（3）解得

由此得1lim

δ→μ=0 證畢

此引理的實(shí)際意義為，當(dāng)消費(fèi)者的貼現(xiàn)函數(shù)接近于1時，則有充分大耐心來等待，以使得消費(fèi)者支付獲得最大，這樣就迫使壟斷者以邊際成本來定價，從而利潤趨于0。

假設(shè)7 壟斷者承諾價格順序（P1，P2，P3，…）

引理4 證明在尋找最優(yōu)價格政策時，壟斷者約束自己于價格序列（單調(diào)減少）P1≥ P2≥ P3≥…

[證明] 對某些正的K，價格Pt≥Pt-k將不被任何消費(fèi)者接受，因?yàn)橄M(fèi)者會以低價Pt-k購買，并較早地享用該商品，因此，選擇Pt=min

k（Pt-k）導(dǎo)致同樣的結(jié)果。

二、最優(yōu)化模型

由引理2.估價為ν 的消費(fèi)者在接受Pt和等待Pt+1之間無差異

當(dāng)且僅當(dāng) （ν-Pt）=δ（ν-Pt+1） 及（1）式，得

壟斷者的最優(yōu)化問題為：

代入目標(biāo)函數(shù)可得

三、科斯猜想的提示性證明

科斯在耐用品和跨時價格歧視的極端情況下猜想：當(dāng)價格調(diào)整的間隙收斂為零時，一個無限耐用品的生產(chǎn)者損失了他的全部壟斷力量。

證明：考察無限時序t=1，2，…。對于壟斷者的要價序列{P1，P2，……Pt-1}，賣方在t期開始時的后驗(yàn)信念，是在[0，bt]區(qū)間估價為某一b的買方還沒有購買商品，而在（bt，+∞）區(qū)間估價為b的買方已經(jīng)以某一bt購買時的信念，即壟斷者的后驗(yàn)信念一定要與他的裁剪的先驗(yàn)信念相一致。

假設(shè)買方遵從一種簡單的“穩(wěn)態(tài)的”策略：即在t期要價Pt時估價超過 β（Pt）的買方購買，而估價低于β（Pt）的買方不購買，其中β（·）是遞增函數(shù)，且對所有的Pt>0，β（Pt）> Pt

為了簡化起見，令C=O壟斷者的邊際成本，F(xiàn)（b）代表在[0，+∞]的買方估價的積累分布（對b>0，有F（0）=0，F(xiàn)（b）>0，F(xiàn)（+∞）=1）最后取貼現(xiàn)因子δ=exp（-γ·△），其中△是階段之間的實(shí)際時長，γ>0，顯然我們對△趨于0時所發(fā)發(fā)生的事情感興趣。

由于買方策略的穩(wěn)定性，壟斷者自一給定期t開始的利潤的當(dāng)前貼現(xiàn)價值，取決于剩余買方的分布。令V（bt）代表貼現(xiàn)利潤，顯然V（·）是非遞增函數(shù)，令Ft≡F（bt）代表t期前還沒有購買的買方比例。

固定真實(shí)時間ε>0，令△收斂于0，對任意η>0，存在著一個充分小的△和t，使得（t+2）·△<ε，滿足

由于0-ε之間的階段數(shù)趨于無窮，我們總能發(fā)現(xiàn)兩個連續(xù)的階段使得在這些階段銷售的總數(shù)是由一定數(shù)值限定的。

如果從真實(shí)時間ε起的利潤V（bε/Δ）是不可忽略的，壟斷者就會有積極性通過快一點(diǎn)削價加速此過程，因此，來自歧視的收益是二階的，而通過在t期作出計劃在t+1期作出的提供，壟斷者會通過一個階段加速此過程，并且獲得一階收益（對△），如果V（bε/Δ）不是很小的話

下面寫出壟斷者寧可在t期要價Pt，在t+1期要價Pt+1而不是直接在t期要價Pt+1，情況下的條件：

根據(jù)bt+1定義，估價bt+1的買方在接受Pt和接受Pt+1之間是不在意的，因此

即Pt-δPt+1=（1-δ）bt+1

代入（1），并用（1-δ）除，得

還有Ft+1> Ft+2，因此（4）式可寫成

這意味著通過選擇充分小的η，能夠使賣方自真實(shí)時間起的貼現(xiàn)利潤值任意小，因此通過選擇足夠小的△，使自任何時間（包括趨近于0的時間）起的貼現(xiàn)利潤值任意小。

科斯定理是現(xiàn)代產(chǎn)權(quán)經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)于產(chǎn)權(quán)安排、交易費(fèi)用與資源配置之間關(guān)系的思想的集中體現(xiàn)，也是現(xiàn)代產(chǎn)權(quán)經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本核心內(nèi)容，全面、準(zhǔn)確地把握科斯定理的含義，對于深化我國國有企業(yè)改革，建立現(xiàn)代企業(yè)制度具有一定的借鑒意義。

[1]張維迎.《博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)》.上海人民出版社

[2][美] Drew.Fudenberg，[法]Jean.Tirole.《博弈論》.中國人民出版社

[3][瑞典] W.W eibull.《演化博弈論》.上海三聯(lián)書店、上海人民出版社，2006.3