摘 要：在立體幾何的教學(xué)中，由于學(xué)生缺乏深刻的體驗(yàn)，只憑間接的知識學(xué)習(xí)與經(jīng)驗(yàn)積累，是難以高效地完成空間中點(diǎn)、線、面的學(xué)習(xí)的，因此我們要多創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生動手的機(jī)會，讓他們產(chǎn)生直接經(jīng)驗(yàn)，并將要學(xué)習(xí)的知識建立在直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，養(yǎng)成以數(shù)學(xué)眼光看待事物，以數(shù)學(xué)語言描述事物的習(xí)慣.

關(guān)鍵詞：立體幾何；教學(xué)反思

“直線與平面垂直判定”是高中立體幾何教學(xué)中的一個重點(diǎn)，一方面其是學(xué)生進(jìn)入立體幾何學(xué)習(xí)后遇到的一個重要的研究點(diǎn)、線、面關(guān)系的知識點(diǎn)，從知識層面來說具有一定的典型性；二是本知識點(diǎn)涉及重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，這些數(shù)學(xué)思想的設(shè)計與目標(biāo)達(dá)成情況成為衡量數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力的主要標(biāo)志，故而本節(jié)課成為不同層次的公開課的常見教學(xué)內(nèi)容. 筆者在研究學(xué)習(xí)了諸多本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計與課堂實(shí)錄后，也在自己的課堂上進(jìn)行了多次嘗試，現(xiàn)在將自己的實(shí)踐結(jié)果與反思寫出來，愿與高中數(shù)學(xué)教學(xué)同行們切磋.

[?] 教學(xué)內(nèi)容分析及教學(xué)思路確定

筆者從以下幾個方面來對本節(jié)知識的內(nèi)容進(jìn)行分析：

一是學(xué)生的知識、能力基礎(chǔ)方面. 在學(xué)習(xí)此知識之前，學(xué)生已經(jīng)具有一定的空間概念，知道了在三維空間中點(diǎn)、線、面之間的基本位置關(guān)系，尤其是相對比較熟悉空間中線與面的關(guān)系. 為了給本節(jié)知識的學(xué)習(xí)奠定較好的基礎(chǔ)，筆者在前面的知識學(xué)習(xí)中就有意識地給學(xué)生奠定了認(rèn)知上的基礎(chǔ)，比如說在學(xué)習(xí)空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系時，盡量地選擇學(xué)生容易感知、容易想象的內(nèi)容作為例子，這樣學(xué)生就可以形成比較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如從身邊的材料中尋找對象去理解所學(xué)的知識點(diǎn). 除了知識儲備之外，在基本數(shù)學(xué)方法的掌握方面，有三個基本能力學(xué)生已經(jīng)初步掌握，那就是線面關(guān)系的定義、判定及應(yīng)用（主要是指解題方面的應(yīng)用能力）.

二是所學(xué)內(nèi)容方面. 直線與平面垂直是一種特殊的線面關(guān)系，建立在一般的線面關(guān)系基礎(chǔ)之上，那么如何定義直線與平面垂直就成為學(xué)生面臨的第一個問題；而根據(jù)我們的分析，直線與平面垂直的定義與判定之間存在著密切的關(guān)系，學(xué)生如何理解定義中直線垂直于平面的過程，事實(shí)上也是一個準(zhǔn)判定過程.

三是學(xué)生學(xué)習(xí)的方面.學(xué)生在構(gòu)建本節(jié)知識的時候，一方面會自然運(yùn)用到已經(jīng)學(xué)過的知識與學(xué)習(xí)方法，另一方面可能會在直線與平面垂直的空間表象構(gòu)建上出現(xiàn)困難，會在定義語言與判定方法上出現(xiàn)困難.

基于以上分析，筆者確定了這樣的教學(xué)思路：一是復(fù)習(xí)鞏固本知識學(xué)習(xí)所需要的知識基礎(chǔ)，尤其是線面空間關(guān)系等，可以讓學(xué)生進(jìn)行口頭描述、實(shí)物模擬；二是積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生在一定的情境中思維有據(jù)可依，要想辦法落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“操作確認(rèn)”等教學(xué)要求；三是教師適時進(jìn)行點(diǎn)撥指導(dǎo)，在學(xué)生最需要幫助的時候提供支持. 第一課時的主要任務(wù)是得出并理解掌握直線與平面垂直的定義，至于直線與平面的角的關(guān)系，則根據(jù)不同的學(xué)生基礎(chǔ)決定教到哪種程度.

[?] 教學(xué)實(shí)踐

教學(xué)引入（知識回顧略）：

教師：在前面的知識中我們學(xué)過了線與面的關(guān)系，從組合的角度看，一條直線與一個平面有無數(shù)種組合關(guān)系，在這無數(shù)的組合關(guān)系中，我們又可以將它們的關(guān)系分成幾類，這樣我們的學(xué)習(xí)與分析就會變得更為簡單. 同學(xué)們思考一下，它們的關(guān)系可以分成哪幾類呢？（學(xué)生思考）

如果學(xué)生的思考有困難，教師可以提醒學(xué)生以手中的筆和課本去表示直線和平面，模擬它們之間的關(guān)系，從而得到平行、重合、相交（包括斜著相交和垂直兩種情形）.

（講授新課）教師：直線與平面垂直是客觀現(xiàn)實(shí)中的一種情形，那么如何用數(shù)學(xué)語言來定義這種情形呢？

學(xué)生：直線與平面中的直線垂直，那直線就與平面垂直.

教師：這樣說準(zhǔn)確嗎？提醒大家，數(shù)學(xué)定義是用來描述數(shù)學(xué)對象的特征的，只有數(shù)學(xué)語言能夠描述出數(shù)學(xué)對象的所有特征的時候，這樣的數(shù)學(xué)語言才能稱之為定義.

學(xué)生：不準(zhǔn)確，因?yàn)橹本€與平面中的直線垂直并沒有明確說明是什么直線，是一條還是兩條？我看應(yīng)該是與平面中所有的直線垂直.

教師：所有？這兩個字用得有意思！那你的定義是什么呢？

學(xué)生：如果直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直，那就是直線與平面垂直.

教師：同學(xué)們認(rèn)為這個定義合理嗎？

學(xué)生：合理.

教師：你能給我們模擬出一個直線與平面垂直的情形嗎？

學(xué)生模擬，其余學(xué)生提醒之后認(rèn)同.

教師：你肯定這條直線與平面垂直嗎？

學(xué)生（異口同聲）：肯定.

教師：我不服氣，你憑什么說垂直??？

學(xué)生：因?yàn)檫@條直線與平面中的所有直線都垂直……（學(xué)生一開始聲音還蠻大的，但說到“所有”兩個字的時候，聲音突然小了下來）

教師：喲，聲音小了，有什么問題嗎？

有學(xué)生在下面嘀咕：憑什么證明是所有啊？

教師：嗯，看來我們的定義遇到問題了，“所有”兩字看起來是正確的，但一旦放到定義里，那就意味著我們只有向別人證實(shí)了確實(shí)是“所有”之后，才敢斷定直線與平面垂直，而這在實(shí)際情形當(dāng)中是無法做到的.

學(xué)生認(rèn)真聽講.

教師：那怎么辦呢？

學(xué)生沉寂近一分鐘.

教師：我這里有兩個字，大家看行不行——任意. 只要直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直，那這條直線與平面就是垂直的.

學(xué)生：任意，這兩個字好，隨你提平面內(nèi)的哪條直線，我都能保證直線與它都是垂直的. 好像把球踢到提問者那里去了?。。ㄆ溆鄬W(xué)生恍然大悟，哈哈大笑）

教師：這其中不只是個踢球的問題，而是數(shù)學(xué)定義必須合理、科學(xué)、精確的問題.

得出定義之后可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)撵柟?，隨后課堂轉(zhuǎn)入直線與平面垂直的判定這一重要環(huán)節(jié).

教師：有一種特殊情況，就是直線與平面垂直. 從我們的感覺上來看，要判定一條直線與平面垂直是很容易的事，比如……（教師用粉筆在課本、黑板上演示，其中課本水平放置，而黑板天然處于豎直狀態(tài)，這樣可以通過多樣化的呈現(xiàn)，讓學(xué)生理解直線與平面垂直的情形）. 那一條直線滿足什么樣的條件時，它就與某個平面垂直呢？

學(xué)生：直線與平面內(nèi)一條直線垂直，那這條直線與平面就是垂直的.

教師：大家說他的判斷正確嗎？

學(xué)生（眾）：不正確.

教師：不正確？哪里不正確？能舉出一個例子嗎？

學(xué)生舉例，略.

教師：那我們該怎么判斷呢？

學(xué)生：要與平面內(nèi)所有直線垂直，才是真正的與平面垂直.

其余學(xué)生：不對不對，剛才論證了不是所有，而是任意. 再說了，“所有”怎么證明??？一輩子也證明不了??！

學(xué)生：那任意行不行呢？這可是根據(jù)定義得來的.

教師：大家想想，任意行嗎？

學(xué)生：任意不行，只與一條直線垂直就是任意，剛剛已經(jīng)證明了是不行的.

教師：那怎么辦呢？

學(xué)生：起碼要與兩條直線垂直吧.

教師：兩條？

學(xué)生：兩條，而且這兩條必須相交，因?yàn)槲覀円郧耙呀?jīng)學(xué)過，相交的兩條直線就能確定一個平面，因此如果與這兩條直線垂直，那就是與這個平面垂直.

教師：大家動手實(shí)踐一下，看這個判斷有沒有道理.

下面進(jìn)入重要的體驗(yàn)環(huán)節(jié)：折紙實(shí)驗(yàn).讓學(xué)生拿出一個事先準(zhǔn)備好的三角形紙片，其中三邊必須剪得齊整.體驗(yàn)過程：過某個頂點(diǎn)任意對折三角形，以對折后產(chǎn)生的折線為研究對象（視作研究對象中的“直線”），然后將三角形放在桌面上（桌面視作研究對象中的“面”），觀察線與面的關(guān)系.

一般情況下，此時線與面是不垂直的. 于是教師提出問題：怎樣對折才能讓直線垂直于面呢？學(xué)生在此問題的驅(qū)動之下，會帶著極大的熱情去解決這個問題. 最終會發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)對折后產(chǎn)生的折線與底邊垂直時，才能實(shí)現(xiàn)上面的目標(biāo)，而此時正是線與面中的兩條相交的直線垂直. 在此基礎(chǔ)上，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行抽象、簡化，建立數(shù)學(xué)模型，于是就得出了“一條直線與平面中兩相交直線垂直時，此直線與平面垂直”.

[?] 教學(xué)反思

在前幾年的教學(xué)過程中，筆者注意到本知識點(diǎn)看起來不難，單憑講授似乎也能完成教學(xué)任務(wù)，但總發(fā)現(xiàn)兩個問題：一是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中主動性不強(qiáng)，看起來簡單的問題也不主動去思考；二是在后續(xù)的學(xué)習(xí)中本知識總處于似懂非懂的狀態(tài). 分析之后筆者認(rèn)為原因在于學(xué)生沒有經(jīng)歷一個主動發(fā)現(xiàn)的過程，從而造成了知識的過度間接化，缺乏深刻的印象. 因此，筆者改進(jìn)了教學(xué)方式，讓學(xué)生能夠在一定的情境內(nèi)進(jìn)行思考，教師通過與學(xué)生的對話、提問甚至是有意“刁難”，促進(jìn)學(xué)生的思考不斷走向深入. 在這種情形下，學(xué)生的思考就會顯得更加活躍，知識的掌握也超過以往.

尤其是本節(jié)課中，對于“所有”與“任意”的辨析，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)語言的精確性；通過折紙的體驗(yàn)活動，可以讓學(xué)生在動手的基礎(chǔ)上動眼、動腦，從而完成從形象到抽象、從物質(zhì)到知識的過程. 我們認(rèn)為對于許多高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，都是可以采用這類方式的. 尤其是在立體幾何的教學(xué)中，由于學(xué)生缺乏深刻的體驗(yàn)，只憑間接的知識學(xué)習(xí)與經(jīng)驗(yàn)積累，是難以高效地完成空間中點(diǎn)、線、面的學(xué)習(xí)的，因此我們還是要多創(chuàng)設(shè)學(xué)生動手的機(jī)會，讓他們產(chǎn)生直接經(jīng)驗(yàn)，并將要學(xué)習(xí)的知識建立在直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，養(yǎng)成以數(shù)學(xué)眼光看待事物，以數(shù)學(xué)語言描述事物的習(xí)慣.我們認(rèn)為，這樣的習(xí)慣對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分有益的.