一、活動(dòng)目標(biāo)

1.經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流有關(guān)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的相關(guān)資料與問題。

2.進(jìn)一步明確分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的算術(shù)理論。

3.進(jìn)一步開闊分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)的設(shè)計(jì)思路。

4.提高教材比較的能力和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)水平。

二、活動(dòng)內(nèi)容與時(shí)間

（1）教研組老師先不集中，每人自己安排時(shí)間閱讀并獨(dú)立解決本方案中的問題。先獨(dú)立思考解決問題，再閱讀本方案中的參考答案，時(shí)間約3小時(shí)；再以年級(jí)組（或教研組）為單位集中交流問題的答案，時(shí)間約1.5小時(shí)。

（2）教研組確定一位老師上一節(jié)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的研究課，全組老師聽課、評(píng)課。時(shí)間約1.5小時(shí)。

三、活動(dòng)前準(zhǔn)備

數(shù)學(xué)組的每一個(gè)老師解答下面的問題，并準(zhǔn)備在年級(jí)組或全數(shù)學(xué)組交流。開研究課的老師除了解答下面的問題外，還要做好上課的準(zhǔn)備。

1.在算術(shù)理論中，論述分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)，通常會(huì)闡述分?jǐn)?shù)的多個(gè)性質(zhì)，請(qǐng)你先閱讀再回答問題。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：如果分?jǐn)?shù)的分子和分母同乘或者除以相同的數(shù)（零除外），那么分?jǐn)?shù)的大小不變。

性質(zhì)2：如果分?jǐn)?shù)的分子乘（或除以）一個(gè)數(shù)，分母不變，那么等于分?jǐn)?shù)乘（或除以）這個(gè)數(shù)。

性質(zhì)3：如果分?jǐn)?shù)的分母乘（或除以）一個(gè)數(shù)，分子不變，那么等于分?jǐn)?shù)除以（或乘）這個(gè)數(shù)。

在上面的三個(gè)性質(zhì)中，性質(zhì)1就是我們通常所說的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)。在性質(zhì)1的表述中“分?jǐn)?shù)的大小不變”指的是“兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等”。也就是說，要理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)就要先弄清楚什么叫兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等。想一想，應(yīng)該怎樣定義兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等？下面是試圖給兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等下的定義，你覺得哪一個(gè)定義比較合適？為什么？

（1）如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)的值相等，那么這兩個(gè)分?jǐn)?shù)就相等。

（2）如果兩個(gè)單位1用相等的圖形表示，且兩個(gè)分?jǐn)?shù)表示圖形的陰影部分的大小相等，那么這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等。

（3）在兩個(gè)分?jǐn)?shù)中，如果用每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子除以分母，得到的兩個(gè)商相等，那么這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等。

（4）如果第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的積等于第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的積，那么這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等。

2.請(qǐng)你先閱讀下面一個(gè)命題的證明過程，再證明另一個(gè)命題。

已知：分?jǐn)?shù)，b≠0，m是不為零的自然數(shù)。

求證：= 。

證明：∵ a（bm）=abm，（乘法結(jié)合律）

而 （am）b=amb=abm ， （乘法交換律）

∴ a（bm）=（am）b。（等于第三量的兩個(gè)量相等）

因此 =。 （根據(jù)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的定義）

請(qǐng)你證明：=。

3.從上題（第2題）中，我們可以看到，對(duì)于一個(gè)分?jǐn)?shù)來說，它可以分子與分母同時(shí)乘一個(gè)數(shù)m（m≠0），也可以同時(shí)除以一個(gè)數(shù)m，大小都不變。如果取m=2，取分?jǐn)?shù)為，那么，你覺得以下的兩個(gè)等式成立嗎？為什么？

（1）=；（2）=。

4.想一想或查一查，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，是否給出了兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的定義？如果給出了定義，那么這個(gè)定義是如何表達(dá)的？如果沒有給出定義，那么教材是根據(jù)怎樣的邏輯關(guān)系來說明兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的？

5.下面是西南師大版教材中編寫的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的開頭部分，請(qǐng)你讀一讀這段教材，并回答問題。

問題：

（1）教材為什么要假設(shè)“4張小報(bào)的大小是一樣的”？

（2）為什么要引導(dǎo)學(xué)生去觀察研究“數(shù)學(xué)趣題占的版面也是一樣大的嗎”？

6.想一想或查一查教材，在教學(xué)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些分?jǐn)?shù)的知識(shí)？在以下的知識(shí)點(diǎn)中，你認(rèn)為是在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)前已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的括號(hào)里打“√”，否則打“×”。

（1）分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)與再認(rèn)識(shí)；（ ）

（2）通分與約分；（ ）

（3）簡單的同分母分?jǐn)?shù)加減法；（ ）

（4）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系；（ ）

（5）真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的概念；（ ）

（6）兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的概念；（ ）

（7）異分母分?jǐn)?shù)加減法。（ ）

7.下面是蘇教版教材中分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)時(shí)的例1，請(qǐng)你讀一讀這段教材，并回答問題。

問題：

（1）五下年級(jí)的學(xué)生能夠用分?jǐn)?shù)表示每個(gè)圖里涂色部分的大小嗎？為什么？

（2）學(xué)生是否已明確“大小相等的分?jǐn)?shù)”的概念？如果沒有，那么憑什么要求學(xué)生把“大小相等的分?jǐn)?shù)填入等式”？

8.要讓學(xué)生探索出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以讓他們經(jīng)歷以下三個(gè)過程：

（1）要讓學(xué)生得到一些分?jǐn)?shù)；

（2）要讓學(xué)生寫出一些兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的算式；

（3）要讓學(xué)生觀察兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的算式，思考等式左右兩邊的兩個(gè)分?jǐn)?shù)分子與分母大小的變化規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)時(shí)，你覺得上面的三個(gè)過程中，哪一個(gè)過程是教學(xué)的重點(diǎn)？為什么？

9.下面圖1、圖2分別是人教版教材和北師大版教材教學(xué)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的開頭部分，請(qǐng)你先讀一讀這兩段教材，再思考與回答問題。

圖1

圖2

問題：

（1）可以看到，兩套教材的編寫都是讓學(xué)生先得到三個(gè)分?jǐn)?shù)，但人教版教材是讓學(xué)生折紙、涂色，再寫出分?jǐn)?shù)。而北師大版教材直接讓學(xué)生寫出分?jǐn)?shù)。如果分別按照教材進(jìn)行教學(xué)，那么，你覺得哪一個(gè)教學(xué)過程的教學(xué)起點(diǎn)比較低？哪一個(gè)教學(xué)過程所用的時(shí)間比較短？對(duì)于五下年級(jí)學(xué)生的教學(xué)來說，你更喜歡用哪一個(gè)教學(xué)過程？為什么？

（2）在學(xué)生得到三個(gè)分?jǐn)?shù)后，兩套教材給出的問題不同。人教版教材給出的問題是：“你發(fā)現(xiàn)了什么？”北師大版教材給出的問題是：“根據(jù)上面的過程，你能得到一組相等的分?jǐn)?shù)嗎？”你覺得這兩個(gè)問題各有什么長處與不足？你更喜歡哪一個(gè)問題？為什么？

（3）如果結(jié)合上面（第8題）所說的三個(gè)過程，整體考慮分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)這節(jié)課，在這兩種教材中，你會(huì)選擇哪一種教材作為教學(xué)過程的開始？為什么？

10.下面是青島版教材的開頭部分，請(qǐng)你先閱讀教材，再回答問題。

問題：

（1）教材要求根據(jù)圖提出問題，你會(huì)根據(jù)這個(gè)圖提出什么問題？學(xué)生可能會(huì)提出什么問題？

（2）如果你知道這節(jié)課是要上分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，那么你希望學(xué)生提出什么問題？為什么？

（3）根據(jù)教材的意圖，希望學(xué)生能夠提出“每塊展板的圖片部分占整個(gè)版面幾分之幾”這樣的問題。從而可以分別得到、和這三個(gè)分?jǐn)?shù)。你覺得應(yīng)該怎樣來說明這三個(gè)分?jǐn)?shù)相等？如果用教材給出的展板圖片來說明這三個(gè)分?jǐn)?shù)相等，那么學(xué)生是否能夠直觀地得到結(jié)論？為什么？

11.如果你查閱現(xiàn)行的幾個(gè)版本數(shù)學(xué)教材就會(huì)發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教材都用、和這三個(gè)分?jǐn)?shù)引入，并得到兩個(gè)（或三個(gè)）分?jǐn)?shù)相等的算式，為什么不用其他的分?jǐn)?shù)？比如換成、和這三個(gè)分?jǐn)?shù)是否可以？

12.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)說的是“分?jǐn)?shù)分子與分母同乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”的規(guī)律。如果學(xué)生提出，分?jǐn)?shù)的分子與分母同時(shí)加上或減去一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小是否也不變呢？你準(zhǔn)備怎么回答這個(gè)問題？寫一寫。

下面的過程是用來說明一個(gè)分?jǐn)?shù)如果分子與分母同時(shí)加上或減去一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小是要變化的，你覺得這樣的說明五下年級(jí)的學(xué)生是否可以理解？

要說明一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母加上（或減去）一個(gè)相同的數(shù)以后，分?jǐn)?shù)的大小是否變化，我們可以分成以下幾步來做：

（1）取一個(gè)分?jǐn)?shù)，比如取一個(gè)分?jǐn)?shù)為；

（2）確定要在的分子與分母中，同時(shí)加上或減去的這個(gè)數(shù)。比如加上或減去的數(shù)都是1；

（3）在的分子與分母中分別加上或減去1，得到另外的兩個(gè)分?jǐn)?shù)和；即

=， =；

（4）畫圖，看一看，與、與分別是否相等？

整個(gè)長方形的大小是一樣的，但這兩個(gè)分?jǐn)?shù)與所表示的陰影部分的大小不相等，所以這兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等。即≠。

同樣道理可以得到：

即 ≠；

（5）得出結(jié)論：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母同時(shí)加上或減去一個(gè)相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小是要變化的。

13.以下是一個(gè)教學(xué)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的片段，請(qǐng)你先讀一讀這個(gè)片段，并想一想、寫一寫每一個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是什么。

分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)片段：

（1）觀察下面八個(gè)同樣大小的正方形，想一想，哪幾個(gè)圖形中的陰影部分大?。娣e）相等？為什么？

（2）為什么說①號(hào)與③號(hào)圖形的陰影部分大小是相等的、④號(hào)與⑧號(hào)圖形的陰影部分大小是不相等的？

（3）如果上圖中每個(gè)正方形表示1，請(qǐng)你寫出分?jǐn)?shù)表示每個(gè)圖中相應(yīng)的陰影部分大小。

（4）想一想，下面這些分?jǐn)?shù)中，哪些相等？寫出一些兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的式子。

接著讓學(xué)生觀察這些分?jǐn)?shù)相等的算式并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再自己舉幾個(gè)例子驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律，并得到分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)。

14.下面是人教版教材在學(xué)生得到三個(gè)分?jǐn)?shù)相等的結(jié)論后的內(nèi)容。

緊接著這塊內(nèi)容后，教材提出了一個(gè)問題：“根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及整數(shù)除法中商的變化規(guī)律，你能說明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？”

你覺得五下年級(jí)的學(xué)生中，大約有多少比例的學(xué)生能夠用“商的變化規(guī)律”來說明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)？能夠說明的這些學(xué)生他們是怎么想的？不能說明的這些學(xué)生，他們的主要困難是什么？（此題有興趣的讀者可以作為一個(gè)小課題進(jìn)行研究）

15.下面是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)中得到分?jǐn)?shù)相等結(jié)論的兩個(gè)片段，你覺得這兩個(gè)片段各有什么特點(diǎn)？

【片段1】

（1）復(fù)習(xí)。讓學(xué)生說一說商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），商不變。

（2）根據(jù)商不變的性質(zhì)，寫出四個(gè)除法算式，兩個(gè)算式是同乘一個(gè)相同的數(shù)，兩個(gè)算式是同除以一個(gè)相同的數(shù)（零除外）。

要求學(xué)生寫出類似于下面這樣的算式：

16÷8=（16×2）÷（8×2）=32÷16

16÷8=（16×3）÷（8×3）=48÷24

16÷8=（16÷2）÷（8÷2）=8÷4

16÷8=（16÷4）÷（8÷4）=4÷2

（3）根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，把寫出的這四個(gè)除法的等式分別寫成分?jǐn)?shù)相等的算式。

==； ==

==；==

接著就讓學(xué)生觀察這些分?jǐn)?shù)相等的算式并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再自己舉幾個(gè)例子驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律，并得到分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)。

【片段2】

（1）讓學(xué)生想一想，在自然數(shù)的范圍內(nèi)，有沒有可能找到兩個(gè)不一樣的數(shù)，但這兩個(gè)數(shù)相等？

得到的結(jié)論是：找不到這樣的數(shù)，兩個(gè)不一樣的自然數(shù)一定是不相等的。

（2）讓學(xué)生想一想，在小數(shù)的范圍內(nèi)，有沒有可能找到兩個(gè)不一樣的小數(shù)，但這兩個(gè)小數(shù)相等？

得到的結(jié)論是：可以找到?？梢愿鶕?jù)小數(shù)的性質(zhì)（在小數(shù)的末尾添上或去掉零，小數(shù)的大小不變），找到很多個(gè)不一樣但相互相等的小數(shù)。如：

0.7=0.700=0.7000= …

… =56.800=56.80=56.8

（3）讓學(xué)生想一想，在分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)，有沒有可能找到兩個(gè)不一樣的分?jǐn)?shù)，但這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等？觀察下面這些分?jǐn)?shù)，并大膽地進(jìn)行猜想。

（4）學(xué)生先得到某兩個(gè)分?jǐn)?shù)可能相等的猜想，然后用圖形進(jìn)行驗(yàn)證，再舉一些兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的例子。

如果一部分學(xué)生不能夠?qū)δ硟蓚€(gè)分?jǐn)?shù)相等進(jìn)行猜想，那么就讓他們做下面的題目，再得到分?jǐn)?shù)相等的算式。

先用分?jǐn)?shù)表示圖中的陰影部分，再觀察圖形，想一想，能找到相等的分?jǐn)?shù)嗎？試一試。

接著讓學(xué)生觀察分?jǐn)?shù)相等的算式并發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

16. 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師常常引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。如果你來教學(xué)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，通常你會(huì)運(yùn)用幾個(gè)特殊的例子來得出結(jié)論？寫一寫你想運(yùn)用的幾個(gè)特殊例子，并說明你為什么會(huì)選擇這幾個(gè)例子。

17.我們知道，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)實(shí)質(zhì)上可以分成兩個(gè)命題，一是分?jǐn)?shù)的分子與分母同乘一個(gè)相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變；二是分?jǐn)?shù)的分子與分母同除以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。對(duì)于這兩個(gè)命題的教學(xué)順序，甲、乙兩位老師有著不同的看法。

甲老師認(rèn)為，應(yīng)該先教學(xué)“同乘”，再教學(xué)“同除以”。因此，他會(huì)安排類似于下面的教學(xué)順序：

（1）讓學(xué)生得到兩個(gè)分?jǐn)?shù)和；根據(jù)圖形寫出相等的算式，觀察分子與分母的變化規(guī)律。

發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)的分子乘2，分母也乘2，得到新的分?jǐn)?shù)。這個(gè)新的分?jǐn)?shù)與原來的分?jǐn)?shù)大小相等。

（2）運(yùn)用特殊例子，得到：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘相同的數(shù)2，分?jǐn)?shù)的大小不變。

（3）進(jìn)一步研究得出，可以“同時(shí)乘2、3、4、5等等”，從而得出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)中“同乘”的部分。

用類似于上面“同乘”的過程研究“同除以”，得到分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)中“同除以”的部分，再把兩部分合起來，形成最后的結(jié)論。

乙老師認(rèn)為，“同乘與同除以”應(yīng)該在一個(gè)算式中同時(shí)完成。因此，乙老師會(huì)運(yùn)用下面的圖示：

這個(gè)等式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)2，分?jǐn)?shù)的大小不變，進(jìn)而去發(fā)現(xiàn)還可以同時(shí)乘或除以3、4、5等等，進(jìn)而得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

你覺得這兩種教學(xué)順序各有什么特點(diǎn)？你更喜歡哪一個(gè)教學(xué)順序？為什么？

18.要說明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是成立的，通常可以有以下幾種不同的方法：用畫圖說明；用分?jǐn)?shù)的意義說明；用商不變的規(guī)律說明。

請(qǐng)你舉一個(gè)具體的例子，分別運(yùn)用上面的三種方法說明分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)是正確的。

19.在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)后，如果讓學(xué)生去解決下面的問題，那么，你估計(jì)有多少學(xué)生能夠解決這個(gè)問題？他們的解題思路是怎樣的？不能解決這個(gè)問題的學(xué)生，他們遇到的主要困難是什么？

填空。在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立。

參考答案：

1.用（4）的定義方式比較合適。因?yàn)樯婕霸瓉淼母拍詈唵?，操作方便。如果用?）要先定義什么叫分?jǐn)?shù)的值；用（2）涉及原來的概念相對(duì)復(fù)雜，可能會(huì)因?yàn)椴僮髡`差而導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤；用（3）如果出現(xiàn)循環(huán)小數(shù)，操作相對(duì)麻煩。2.略。3.根據(jù)分?jǐn)?shù)相等的定義可知，兩個(gè)等式都成立。4.現(xiàn)行的幾個(gè)版本的教材都沒有明確給出兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的定義。教材是用圖形直觀的方式，給出兩個(gè)大小相等的圖形（單位1相等），兩個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的陰影部分大小相等，來說明兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的。5.（1）強(qiáng)調(diào)單位1大小相等；（2）強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)表示的部分大小相等，為得到兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等的算式作準(zhǔn)備。6.（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√；（6）×；（7）×。7.略。8.（3）是重點(diǎn)。9.略。10.略。11.主要是學(xué)生操作方便。以下各題答案略。

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310006）