“對(duì)立統(tǒng)一”是辯證唯物主義的一個(gè)基本觀點(diǎn)，教師只有掌握這一辯證觀點(diǎn)，才能正確地駕馭教材，搞好有余數(shù)除法的教學(xué)。在進(jìn)行教學(xué)之前，教師首先要對(duì)“0”的雙重意義進(jìn)行一些探究。

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，0的出現(xiàn)比起其他自然數(shù)要晚得多，代表缺位符號(hào)的0直到公元6世紀(jì)才從印度引進(jìn)：當(dāng)某個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有時(shí)，便用0來(lái)表示。用近代集合論的觀點(diǎn)來(lái)看，如果一個(gè)集合中只有n個(gè)元素，這個(gè)n就稱(chēng)為這個(gè)集合的基數(shù)。單元素集中只有一個(gè)元素，所以單元素集的基數(shù)便是1。沒(méi)有元素的集合稱(chēng)為空集，因而空集的基數(shù)便是0。所以，通常認(rèn)為：非零自然數(shù)1，2，3，…表示的是“有”，而0表示的是“無(wú)”。

然而，切莫把這種認(rèn)識(shí)絕對(duì)化了，用辯證的觀點(diǎn)看，0還有表示“有”的一面。如某天的氣溫是0℃，總不能說(shuō)這天沒(méi)有溫度吧！因?yàn)?畢竟是一個(gè)確定的數(shù)呀！0℃比零上3℃低3℃，而又比零下1℃高1℃。0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是唯一的中性數(shù)。又如，在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們還知道，一條直線l的傾斜角α的正切，稱(chēng)作這條直線l的斜率。0°角的正切為0， tan0°=0，但我們說(shuō)這個(gè)傾斜率是存在的，真正不存在的是90°角的正切！所以任何平行于x軸的直線都屬于有斜率的直線，只有垂直于x軸的直線才是斜率不存在的直線。

由是觀之，0既可表示“無(wú)”，又可表示“有”，有了這種辯證認(rèn)識(shí)，才可能把有余數(shù)的除法知識(shí)教好教活。

人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)第49頁(yè)編入了“有余數(shù)的除法”內(nèi)容。在第50頁(yè)上有一個(gè)擺花布置會(huì)場(chǎng)的例1。先擺15盆花，每組擺5盆，可以擺幾組？橫式為：15÷5=3（組） ，豎式為：

這題講的是整除。

在第51頁(yè)上又有例2。一共有23盆花，每組擺5盆，最多可以擺4組，還多3盆?？梢杂眠@樣的式子來(lái)表示：23÷5=4（組）……3（盆）

這題講的是有余數(shù)的除法。

在第52頁(yè)上還安排了例3。如果上例中一共有16盆花，可以擺幾組？多幾盆？如果是17盆，18盆，……，24盆，25盆？

15÷5=3（組）

16÷5=3（組）……1（盆）

17÷5=3（組）……2（盆）

18÷5=3（組）……3（盆）

19÷5=3（組）……4（盆）

20÷5=4（組）

21÷5=（組）……（盆）

22÷5=（組）……（盆）

23÷5=（組）……（盆）

24÷5=（組）……（盆）

25÷5=（組）……（盆）

這題是將“整除”與“有余數(shù)的除法”綜合在一起，進(jìn)行對(duì)比和總結(jié)。

作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，照本宣科地講解完這三道例題，應(yīng)該是不成問(wèn)題的。但是，通過(guò)這樣的教學(xué)，在學(xué)生的腦海中會(huì)形成怎樣的認(rèn)識(shí)呢？筆者認(rèn)為主要有以下三點(diǎn)：

1.整除是沒(méi)有余數(shù)的，只有在有余數(shù)的除法中才出現(xiàn)余數(shù)。

2.一個(gè)數(shù)被5除，除數(shù)只有四種情形，即余數(shù)只可能是1，2，3，4。

3.余數(shù)必須小于除數(shù)，但余數(shù)不能為0。

其實(shí)，這些認(rèn)識(shí)不僅學(xué)生中有，而且在一些專(zhuān)業(yè)知識(shí)不夠扎實(shí)、對(duì)哲學(xué)也疏于學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師中也普遍存在。

值得指出的是：上述認(rèn)識(shí)雖然有其正確的部分（如余數(shù)必須小于除數(shù)），但總體來(lái)說(shuō)，卻沒(méi)有真正學(xué)通、學(xué)透。

為弄清這些問(wèn)題，不妨先來(lái)查閱相關(guān)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)書(shū)籍。

《小學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(cè)》（人民教育出版社，1982年）第49頁(yè)有如下表述：

“判定一個(gè)整數(shù)能不能被另一個(gè)正整數(shù)整除，只要進(jìn)行除法運(yùn)算即可。如果所得余數(shù)為0，就是整除的情況；如果所得的余數(shù)不為0，就是不能整除的情況?！?/p>

《數(shù)學(xué)手冊(cè)》（人民教育出版社，1979）第1057頁(yè)“數(shù)論”的“輾轉(zhuǎn)相除法”一節(jié)中，有如下表述：

“每一個(gè)整數(shù)a可以唯一地通過(guò)正整數(shù)b表示為a=bq+r （0≤r

《數(shù)學(xué)手冊(cè)》第1066頁(yè)“數(shù)論”的“同余式”一節(jié)中還有如下表述：

“設(shè)以m為模，則可將全體整數(shù)分為m類(lèi)，同類(lèi)的數(shù)都有同余，不同類(lèi)的數(shù)都不同余。稱(chēng)這樣的類(lèi)為同余類(lèi)，每類(lèi)中各取一數(shù)為代表。例如：0，1，2，…，m-1構(gòu)成一個(gè)完全剩余類(lèi)?！?/p>

在上述文獻(xiàn)的相關(guān)表述中，無(wú)一例外地表明：在整數(shù)除法中，余數(shù)可以為0。

然后，再?gòu)恼軐W(xué)的角度來(lái)進(jìn)行分析。在研究整數(shù)除法時(shí)，人們起初總是研究其中最簡(jiǎn)單的除法情形，正如課本中的例1那樣：15÷5=3，沒(méi)有余數(shù)。然后，再研究較復(fù)雜的有余數(shù)的除法，如課本中的例2那樣：23÷5=4（組）……3（盆）。其中的“3”就是余數(shù)。所以，人們此時(shí)對(duì)于能整除的情形和不能整除的情形主要是關(guān)注其“異”：前者沒(méi)有余數(shù)而后者有余數(shù)。然而世上一切事物又無(wú)不處于運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展之中，所以人們的認(rèn)識(shí)也不應(yīng)該老是“原地踏步”。因?yàn)椤皼](méi)有余數(shù)”也就是“余數(shù)為0”，所以當(dāng)我們?cè)谵D(zhuǎn)而關(guān)注其“同”的時(shí)候，就將“有余數(shù)的除法”進(jìn)行了一次擴(kuò)展，把一切除法都看成是有余數(shù)的除法，從而讓“有余數(shù)的除法”把“整除”也包括進(jìn)去，二者的差別不在于有沒(méi)有余數(shù)，而在于余數(shù)是否為0。這樣一來(lái)，“整除”就變成了“有余數(shù)除法”的特例。至此，原先相互并列的兩個(gè)對(duì)立概念就實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。

其實(shí)，概念間由對(duì)立到統(tǒng)一的這種變化，比比皆是。在小學(xué)低年級(jí)，把長(zhǎng)方形與正方形看成是對(duì)立的概念，而在后來(lái)，就把正方形集合看成是矩形集合的真子集了。對(duì)長(zhǎng)方體與正方體的認(rèn)識(shí)與此也大致相同，起初兩者相互對(duì)立，后來(lái)就統(tǒng)一于長(zhǎng)方體集合之中，而把正方體看成是長(zhǎng)方體的特例了。在對(duì)整數(shù)與分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)上，也經(jīng)歷了同樣的過(guò)程。人們先接觸整數(shù)，再接觸分?jǐn)?shù)，起初，兩者涇渭分明，不容混淆。然而，當(dāng)人們認(rèn)識(shí)到任何一個(gè)非零整數(shù)m都可以寫(xiě)成分母唯一的分?jǐn)?shù)，而0也可表示為零分?jǐn)?shù)（n ∈N*）時(shí)，內(nèi)涵擴(kuò)展后的“分?jǐn)?shù)”就已經(jīng)包含了“整數(shù)”，原先是并列關(guān)系的兩個(gè)對(duì)立概念，就形成了包含關(guān)系。整數(shù)集已成為分?jǐn)?shù)集的一個(gè)真子集了。原先說(shuō)“整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”統(tǒng)稱(chēng)為“有理數(shù)”，而現(xiàn)在就可以說(shuō)：有理數(shù)集就是分?jǐn)?shù)集了。

對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，必須經(jīng)由這樣的一個(gè)“與時(shí)俱進(jìn)”的過(guò)程，否則，老停留在一個(gè)地方，割裂地、孤立地看待各個(gè)相關(guān)概念，就難以實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上由對(duì)立到統(tǒng)一的飛躍，就難以理清概念間的關(guān)系，就必然會(huì)把活生生的知識(shí)教死了。

從數(shù)學(xué)與哲學(xué)兩個(gè)方面做了上述準(zhǔn)備后，接下來(lái)就可以來(lái)探討一下有余數(shù)除法的教學(xué)了。

首先，不妨按照課本的編排，先講例1，再講例2。但是在講完例2后，不忙講例3，而是帶領(lǐng)學(xué)生回過(guò)頭來(lái)觀察例1，指著豎式最下面的那個(gè)0，告訴學(xué)生：這個(gè)0的位置也就是例2中余數(shù)3的位置。這個(gè)0也就是整除的余數(shù)。過(guò)去說(shuō)整除的沒(méi)有余數(shù)，其實(shí)，“沒(méi)有余數(shù)”也就是“余數(shù)為0”。接著，把橫式“15÷5=3（組）”加以改造，使之成為“15÷5=3（組）……0（盆）”的形式。

最后，在講完了例3時(shí)，還應(yīng)重申一下這一觀點(diǎn)，并在“15÷5=3（組）”和“20÷5= （組）”的后面都添上“……（盆）”，引導(dǎo)學(xué)生，使他們學(xué)會(huì)在“（盆）”的內(nèi)都填上“0”。至此，有余數(shù)除法的教學(xué)才算告一段落。

通過(guò)這樣的教學(xué)，相信學(xué)生不僅能認(rèn)識(shí)到在整數(shù)除法中，余數(shù)可以為0、“整除”可以看成是“有余數(shù)的除法”之特例，而且還能認(rèn)識(shí)到一個(gè)數(shù)被5除，余數(shù)可能有0，1，2，3，4五種，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。更重要的是，這樣做是向?qū)W生進(jìn)行了一次對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義的思想教育，使學(xué)生初步懂得用運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)看問(wèn)題，從而把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)通、學(xué)透、學(xué)活。在零距離、零誤差、零月租、零首付、零關(guān)稅、零利率、零虧損、零增長(zhǎng)、零風(fēng)險(xiǎn)、零排放、零障礙、零死亡、零蛀牙、零容忍等詞匯日益風(fēng)行的當(dāng)今社會(huì)，也不致迷茫和自卑，而是清楚地知道，這些詞匯的鼻祖“零余數(shù)”在教學(xué)中早已存在，從而讓數(shù)學(xué)的文化風(fēng)采得到應(yīng)有的彰顯。

（江西省南昌師范高等專(zhuān)科學(xué)校 330006）