編者按：馬海濱老師在教學(xué)“比和比例”有關(guān)內(nèi)容后，對(duì)學(xué)生提出的質(zhì)疑和感到困惑的問(wèn)題進(jìn)行了整理，并發(fā)表了自己的意見。本刊特刊登相關(guān)文章，熱忱歡迎大家來(lái)稿參與討論。

筆者僅是一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，對(duì)數(shù)學(xué)教材中的概念、定義的科學(xué)性自然很難下準(zhǔn)確的判斷，提出修改建議更顯知識(shí)與能力上的不足。可是，二十多年的一線教學(xué)實(shí)踐，又常常讓教師無(wú)法回答學(xué)生的一些質(zhì)疑。在一次教材分析研討會(huì)上，筆者整理了一些有關(guān)“比和比例”的問(wèn)題，引起了與會(huì)教師與教研員的關(guān)注，成了大家的共同困惑，想借貴刊一角，討教同仁與專家。

一、關(guān)于“比”的定義

許多小學(xué)數(shù)學(xué)教材都是把比定義為“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”。對(duì)此，學(xué)生往往有諸多質(zhì)疑。

1.既然兩數(shù)相除又叫做兩數(shù)的比，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)除法，為什么還要學(xué)習(xí)比？

這是學(xué)生在學(xué)習(xí)“比的意義”第一課時(shí)后的質(zhì)疑。人教版教材在下定義之前，舉的實(shí)例是：楊利偉在航天飛船上展示的聯(lián)合國(guó)旗與中國(guó)國(guó)旗的長(zhǎng)15cm、寬10cm，可以用除法表示長(zhǎng)是寬的幾倍或?qū)捠情L(zhǎng)的幾分之幾，有時(shí)我們也把這兩種數(shù)量關(guān)系說(shuō)成長(zhǎng)和寬的比是15比10或者寬與長(zhǎng)的比是10比15。教師另外提供的實(shí)例往往也是類似教材上的一組定量之間的相除關(guān)系。最后得出“兩數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”。這些實(shí)例無(wú)疑佐證了學(xué)生的質(zhì)疑，教師往往無(wú)言以對(duì)，或者無(wú)奈地告訴學(xué)生比與除法是有不同的，只要繼續(xù)學(xué)習(xí)下去，就會(huì)明白比在數(shù)學(xué)上會(huì)很有用。

2. 2∶3∶5是比嗎？為什么不是兩個(gè)數(shù)相除？連比是連除嗎？

人教版六年級(jí)上冊(cè)第50頁(yè)有一道練習(xí)題：水泥、沙子和石子的比是2∶3∶5，要攪拌20噸這樣的混凝土，需要水泥、沙子和石子各多少噸？通過(guò)練習(xí)，學(xué)生反過(guò)來(lái)會(huì)告訴教師，2∶3∶5好像不是兩數(shù)相除或幾個(gè)數(shù)相除的關(guān)系，只是表示水泥、沙子和石子三種量始終要保持的一種比例關(guān)系。教師除了肯定與表?yè)P(yáng)學(xué)生之外，往往不知道該不該跟學(xué)生討論比例還是一個(gè)六年級(jí)下冊(cè)將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)。

3.第一組男生5人、女生4人，男女生之比是5∶4，我們第二組男生9人、女生0人，為什么男女生之比不能是9∶0呢？

作為教師當(dāng)然會(huì)告訴學(xué)生，比的后項(xiàng)相當(dāng)于除法中的除數(shù)、分?jǐn)?shù)中的分母，均不能為0，否則沒(méi)有意義。9是0的幾倍，把9平均分成0份，確實(shí)是沒(méi)有意義，可是兩組男女生人數(shù)關(guān)系雷同，為什么它們的相比關(guān)系卻有一個(gè)沒(méi)有意義？如果說(shuō)第二組男女生人數(shù)之比9∶0沒(méi)有意義，那么第一組男女生人數(shù)之比5∶4，又有什么意義呢？況且，若體育比賽中男生共打進(jìn)5個(gè)球，女生共打進(jìn)4個(gè)球，比賽結(jié)果為5∶4，這個(gè)比與不是變量的男女生人數(shù)之間的比的含義，又有什么本質(zhì)區(qū)別呢？試想，教師對(duì)這個(gè)質(zhì)疑的理答又有多強(qiáng)的說(shuō)服力呢？

因此，筆者始終認(rèn)為，比不僅僅是兩數(shù)相除的關(guān)系，而應(yīng)該是幾個(gè)變量之間始終保持不變的一種倍率關(guān)系。如果這種說(shuō)法成立的話，比的含義不是跟比例的含義差不多了嗎？怎么辦？

二、關(guān)于“比例”的定義

小學(xué)數(shù)學(xué)教材上是這樣定義比例的：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。對(duì)此，學(xué)生同樣會(huì)出現(xiàn)很多的質(zhì)疑。

1.正比例可以用=k（一定）表示，正比例是表示兩個(gè)比相等的式子嗎？

表面上看好像只有一個(gè)比，而非兩個(gè)比相等的式子；細(xì)細(xì)思考，又好像是表示很多比值相等的比，而非僅表示兩個(gè)比相等。如何讓學(xué)生理解這里所說(shuō)的兩個(gè)比其實(shí)是指很多比值相等的比呢？

2.反比例可以用x×y=k（一定）表示，為什么反比例不僅沒(méi)有表示兩個(gè)比相等的式子，而且連表示兩個(gè)數(shù)相除的比都沒(méi)有呢？

關(guān)于正比例與反比例，筆者利用教材上的實(shí)例，整理了一張分析對(duì)照表（見下表）。

表中的“變式”正是教材直接呈現(xiàn)給學(xué)生的知識(shí)，其中的反比例式子最容易引起學(xué)生的質(zhì)疑。筆者認(rèn)為，無(wú)論正比例還是反比例的含義都還是上表中的“原型通式”更直觀，更利于學(xué)生對(duì)比例的理解。

另外，“原型通式”中的兩個(gè)比例式均是同類量的比，而“變式”中的正比例式子卻是一組非同類量的比，這正好是特級(jí)教師王永所極力反對(duì)的，他始終認(rèn)為比應(yīng)該是同類量之間的比。筆者不完全認(rèn)同王老師的觀點(diǎn)，只是想說(shuō)明這里的“原型通式”本來(lái)就是同類量之間的比。

三、關(guān)于“比和比例”的相互關(guān)系

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材上的比和比例有各自清晰的定義：比就是兩個(gè)數(shù)相除，比例就是兩個(gè)比相等的式子。前者是一種相除關(guān)系，后者是一個(gè)等式，而且后者有包含前者之意。可是，兩者的關(guān)系一直讓人不得不去質(zhì)疑。

1.“將100克水按照 2∶3 分開各是多少”這樣的分配方式到底叫按比例分配，還是叫按比分配？這到底是比的應(yīng)用，還是比例的應(yīng)用呢？

筆者發(fā)現(xiàn)，早期人教版與浙教版教材，均叫做按比例分配，且目前很多老教師都習(xí)慣于這樣的說(shuō)法。可是，學(xué)生在學(xué)習(xí)這種分配方式之前僅僅學(xué)習(xí)過(guò)比的有關(guān)知識(shí)，根本沒(méi)有接觸過(guò)比例一詞，那為什么教材要稱之為按比例分配呢？也許正因這一質(zhì)疑，某特級(jí)教師將此公開課的課題改為“按比分配”，現(xiàn)行的人教版教材稱之為“比的應(yīng)用”。當(dāng)初對(duì)此更改頗覺(jué)有理，后細(xì)想還是按“比例分配”更為合理，因?yàn)檫@種分配的過(guò)程與結(jié)果中均要遵循比值一定，也就是說(shuō)分配結(jié)果的比與分配要求的比，一定要成比例關(guān)系。如果這個(gè)分配方式一定要說(shuō)是比的應(yīng)用，那么日后所謂的比例應(yīng)用其實(shí)都應(yīng)該叫比的應(yīng)用。

2.“圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺”，是不是應(yīng)該叫做“比尺”？這個(gè)為什么不是比的應(yīng)用而是比例的應(yīng)用呢？

過(guò)去的教材有關(guān)比例尺知識(shí)的教學(xué)是安排在比的教學(xué)之后、比例的教學(xué)之前，這就很容易讓人產(chǎn)生比例尺與比例的先后學(xué)習(xí)順序倒置的感覺(jué)。也許正是這個(gè)原因，現(xiàn)行人教版教材將比例尺有關(guān)內(nèi)容調(diào)整到比例的教學(xué)之后，置于比例的應(yīng)用一節(jié)中?？墒?，不管置于何處，比例尺還是圖上距離與實(shí)際距離的比，它還是一個(gè)比，而非教材所說(shuō)的表示兩個(gè)比相等的式子即比例，求圖上距離或?qū)嶋H距離的計(jì)算，實(shí)質(zhì)上就是根據(jù)比例尺（即一個(gè)指定的比）分配相應(yīng)的數(shù)值而已，與比例分配本質(zhì)相同，為什么它卻是屬于比例的應(yīng)用而非比的應(yīng)用呢？

比的應(yīng)用與比例的應(yīng)用很難分清楚，而且是否有必要分清楚呢？比和比例的定義及關(guān)系真的像教材中所述那樣清晰嗎？

筆者認(rèn)為，比和比例的應(yīng)用不容易分清楚的主要原因是，比和比例有著密不可分的聯(lián)系，都是指幾種關(guān)聯(lián)的變量之間的倍率關(guān)系，也就是比例關(guān)系或者比的關(guān)系。

數(shù)學(xué)與生活有著緊密的聯(lián)系，但是也有著本質(zhì)的區(qū)別。在現(xiàn)實(shí)生活中，比的關(guān)系其實(shí)就是比例的關(guān)系。例如，按照4∶3的比例關(guān)系（其實(shí)是比）配置一種由某兩種物質(zhì)組成的混合物，這里的4∶3到底是比還是比例呢？筆者認(rèn)為一般的成年人都很難分清，且也沒(méi)有必要分清楚，而我們是否要求學(xué)生分清楚呢？

四、關(guān)于“比和比例”的教材

1.整體編排上不夠合理

現(xiàn)行人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)比和比例有關(guān)知識(shí)的編排作了較大的調(diào)整。將過(guò)去教材六年級(jí)下冊(cè)的“比和比例”單元一分為二，在六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法單元中安排“比和比的應(yīng)用”，目的是加強(qiáng)比與分?jǐn)?shù)以及除法的聯(lián)系，為教學(xué)圓周率、百分率等打好基礎(chǔ)；在六年級(jí)下冊(cè)安排“比例”，同時(shí)將比例尺的知識(shí)劃分在“空間與圖形”領(lǐng)域中的“圖形與變換”中。

這樣的編排，把有著密不可分的、甚至同樣表示兩種相互關(guān)聯(lián)的變量之間的倍率關(guān)系的比與比例的內(nèi)容人為地割裂開來(lái)，筆者認(rèn)為不太合理。

2.正比例意義的表述不夠簡(jiǎn)潔

過(guò)去教材是這樣定義正比例的：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。給人的感覺(jué)是倒述、繞口，因?yàn)樗^的兩關(guān)聯(lián)的量，就是一種量隨另一種量的變化而變化。

現(xiàn)行人教版教材是這樣表述正比例的：因?yàn)楸拥牡酌娣e一定，所以水的體積隨著高度的變化而變化。水的高度增加，體積也相應(yīng)增加，水的高度降低，體積也相應(yīng)減少，而且水的體積與高度的比值一定，我們就說(shuō)體積和高度成正比例關(guān)系，體積與高度叫做成正比例的量。顯而易見，采用舉例描述顯得冗長(zhǎng)，可能正是這樣的原因，后又改為與以前的教材一模一樣的表述。

筆者組織了一個(gè)不成熟的表述：一種量隨另一種量的變化而變化，且這兩種相關(guān)聯(lián)的量的所有對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的比值一定，這兩種量叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

以上關(guān)于比和比例的各種困惑、質(zhì)疑與思考，大部分來(lái)自學(xué)生的學(xué)習(xí)交流過(guò)程，面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑，筆者作了些深入思考與整理，因此也談了某些觀點(diǎn)試圖解決問(wèn)題，可是深知自身知識(shí)儲(chǔ)備不足，觀點(diǎn)乏力，甚至是錯(cuò)誤的想法。但是，我們都提倡以學(xué)定教，既然學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到了不少困惑，作為教師就應(yīng)相應(yīng)地完善自己的教學(xué)行為，而前提是要有正確的知識(shí)理解。因此，期盼同事與專家賜教。

（浙江省溫嶺市橫湖小學(xué) 317502）