懸鏈線幾何性質(zhì)的研究

謝 菲，孫明珠

懸鏈線問(wèn)題的提法：設(shè)A和B是鉛垂面上兩個(gè)等高點(diǎn)，一條柔軟的繩索掛在 A、B上（圖1），在所有連接A、B的平面曲線中，求出一條曲線，使得其重力勢(shì)能最小.懸鏈線的方程：

本文將研究懸鏈線的一些幾何性質(zhì)，諸如面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲率中心、漸屈線等.

圖1 懸鏈線

一、面積與面積形心

圖2 懸鏈線和直線圍成的面積

單單由懸鏈線構(gòu)不成面積，還需要和其他直線或曲線結(jié)合才能圍成面積.比如，圖2所示，求懸鏈線和x軸、y軸以及x=x1所圍成的圖形之面積S1，或求懸鏈線和y軸、y=y1所圍成的圖形之面積S2.下面就分別推導(dǎo)這兩種情況下的面積公式.

形心又稱作面積中心，坐標(biāo)公式為

據(jù)此，對(duì)于S1有形心坐標(biāo)的積分表達(dá)式：

二、旋轉(zhuǎn)體體積

圖3 S1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周

圖4 S1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周

1.求S1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體（圖3）的體積Vy由求旋轉(zhuǎn)體體積的圓筒微元法Vy=Σ2πxiyiΔxi，有積分表達(dá)式：

2.求S1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體（圖4）的體積Vx由求旋轉(zhuǎn)體體積的切片微元法Vx=Σπyi2Δxi，有積分表達(dá)式：

3.第二古魯金定理：平面圖形繞與其不相交的軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積，等于平面圖形的面積與形心繞同一轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的周長(zhǎng)之積.即 Vx=2πycS，Vy=2πxcS.

對(duì)于S1，我們驗(yàn)證一下第二古魯金定理的正確性。

這恰好等于式（7）和式（6）得到的結(jié)果.于是我們可以推出S2的形心坐標(biāo)：

謝菲/天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師（天津300387）；孫明珠/天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院教授 （天津300387）。

讀者可以驗(yàn)證：對(duì)于面積S2，用積分表達(dá)式求得的形心坐標(biāo)，結(jié)果與此完全相同.

三、曲率半徑

四、曲率中心與漸屈線

圖5 曲率中心與漸屈線

圖中M為懸鏈線上的一點(diǎn)，K為M點(diǎn)的曲率中心，ρ為曲率半徑.根據(jù)曲率中心的定義，曲率半徑ρ與M點(diǎn)的切線垂直.M點(diǎn)的切線斜率為y′=tanα=shx

所以

設(shè) K 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則有

圖5中曲率半徑ρ的直線方程為

據(jù)此，用Matematica軟件通過(guò)下面一段程序畫(huà)出懸鏈線的漸屈線如圖5所示.

漸屈線像一個(gè)“V”字.

[1]孫明珠等.游戲中的數(shù)學(xué)文化[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2011.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.