畢金鋒，羅先啟，沈 輝

（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

1 引 言

從20 世紀(jì)初起步至今，無(wú)論是在結(jié)構(gòu)方向還是巖土方向模型試驗(yàn)都得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)根據(jù)相似理論，對(duì)特定工程問(wèn)題進(jìn)行巖土體的變形特性及破壞機(jī)制進(jìn)行縮尺研究的方法[1]主要包括常規(guī)模型試驗(yàn)、土工離心模型試驗(yàn)[2]以及滲水力模型試驗(yàn)方法[3]。每一種方法都存在著一定的缺點(diǎn)與不足，如常規(guī)模型試驗(yàn)方法無(wú)法使試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷捏w力提高，離心機(jī)模型試驗(yàn)成本高昂，滲水力模型試驗(yàn)只適用于飽和土體等。

為了克服以上試驗(yàn)方法中的不足，羅先啟等[4-6]提出了地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)方法，利用磁力場(chǎng)與重力場(chǎng)的相似性對(duì)鐵磁材料與巖土體的混合材料進(jìn)行加載，以達(dá)到模擬n 倍重力場(chǎng)的效果，并對(duì)地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)的相似理論、相似材料、梯度磁場(chǎng)以及應(yīng)用[7]進(jìn)行了一系列的研究，其中均勻梯度磁場(chǎng)的構(gòu)建是地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)的關(guān)鍵問(wèn)題之一，是通過(guò)磁力場(chǎng)模擬重力場(chǎng)的必要條件。

磁場(chǎng)的獲取方法主要包括永磁方法、電磁方法、永磁和電磁相結(jié)合的方法。在地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)中不需要永磁體來(lái)維持一個(gè)恒定的磁場(chǎng)，為了在試驗(yàn)過(guò)程中方便對(duì)磁場(chǎng)大小的調(diào)節(jié)，使用電磁方法獲取所需磁場(chǎng)。將Helmholtz 線圈之一的電流反向，可以產(chǎn)生磁通密度梯度相對(duì)均勻的磁場(chǎng)[8]，但這種方法適用于對(duì)永磁材料的加載，且由于Helmholtz線圈對(duì)線圈尺寸及線圈距離的要求，造成其設(shè)備尺寸和試驗(yàn)空間上的限制。對(duì)軟磁材料的加載不僅要求磁通密度梯度的均勻性，還要求磁通密度方向保持相同。唐凱等[6]對(duì)單圓臺(tái)線圈及雙圓臺(tái)線圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行了研究，然而并沒(méi)有利用鐵磁材料形成閉合回路，其產(chǎn)生的磁通密度梯度量值并不高，且磁通密度梯度的均勻性也不夠，很難在地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)中提高鐵磁材料所受磁力與其自身重力的倍數(shù)。

本文根據(jù)地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)中所需磁場(chǎng)的特點(diǎn)，利用構(gòu)建磁路的基本原理，分3 種情況進(jìn)行磁路分析，以提高磁通密度梯度的均勻性及其量值。對(duì)比結(jié)果表明，半開(kāi)放式磁路得到的結(jié)果最理想，適合作為磁場(chǎng)發(fā)生裝置應(yīng)用于地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)中。

2 構(gòu)建均勻梯度磁場(chǎng)的電磁學(xué)原理

鐵磁材料在磁場(chǎng)中受力公式為

式中：V為磁性物質(zhì)的體積；Ms為飽和磁化強(qiáng)度；B為所處磁場(chǎng)的磁通密度；α為受力方向。

由式（1）可以看出，鐵磁材料受力與磁通密度梯度成正比，若使鐵磁材料沿某一方向受力大小均勻，則其所處空間的磁通密度梯度應(yīng)沿該方向上處處大小相等。

根據(jù)比奧-薩伐爾定律，可以計(jì)算通電線圈周圍磁場(chǎng)的分布，即

式中：μ0=4 π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率。

對(duì)于任意已知線圈分布情況的螺線管，沿電路第一小段電流積分，可以得到空間中任意位置的磁通密度B。然而，通過(guò)手算很難在已知螺線管形式的情況下計(jì)算出軸線以外任意點(diǎn)處的磁通密度[9]。

磁通密度B 與磁場(chǎng)強(qiáng)度H 和磁化強(qiáng)度M 存在關(guān)系：

式中：M=χH，χ為物質(zhì)的磁化率。定義相對(duì)磁導(dǎo)率 μr=1+χ，則式（3）可寫為

電工純鐵和低碳鋼是磁路中最常用的軟磁材料，低碳鋼的性能雖比電工純鐵略遜色，但低碳鋼的成本低于電工純鐵[10]，考慮到在地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)磁場(chǎng)發(fā)生設(shè)備體積龐大、所需材料較多，采用低碳鋼作為磁路材料，低碳鋼B-μr曲線如圖1所示[11]。通過(guò)式（4）計(jì)算得到初始磁化曲線如圖2 所示。

圖1 低碳鋼的B-μr曲線Fig.1 B-μrcurve of low-carbon steel

圖2 低碳鋼的初始磁化曲線Fig.2 Initial magnetization curve of low-carbon steel

由于磁體本身的工作狀況非常復(fù)雜，目前對(duì)于一個(gè)已知磁路可以通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算出空間磁通分布，但根據(jù)空間磁通分布尚不能計(jì)算出惟一的最佳磁路，因此，構(gòu)建磁路過(guò)程需要一些假定條件簡(jiǎn)化計(jì)算。為了將電路中的基爾霍夫第一、二定律應(yīng)用于磁路中，假定磁路中沒(méi)有漏磁，得到磁路的2個(gè)基本方程：

式（5）表示，對(duì)于任意包圍著某一部分磁路的閉合曲面，通過(guò)該曲面的總磁通∑φi為0。式（6）中定義，圍繞磁路的電流Ii與匝數(shù)Ni的乘積NiIi為線圈產(chǎn)生的磁通勢(shì)，用Fi表示。某一段磁路中的磁場(chǎng)強(qiáng)度H 與磁路長(zhǎng)度L 的乘積為該段磁路的磁勢(shì)差。由此可以得到

一般情況下，取磁路的幾何中心線作為平均磁路長(zhǎng)度L。

類比電路中的電阻，定義Rm=F/φ為磁阻，假定磁路中的材料是均勻的、線性的，可得

式中：μ為磁導(dǎo)率。進(jìn)而

通過(guò)式（7）和式（9）兩種方法可以計(jì)算磁路中螺線管所需的安匝數(shù)。

3 不同形式磁路電磁參數(shù)的確定

設(shè)計(jì)地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)磁場(chǎng)發(fā)生裝置，不僅要考慮到所需磁場(chǎng)的梯度均勻性，還需要綜合考慮占用空間、場(chǎng)地要求、重量、造價(jià)以及測(cè)試手段等方面的限制因素，然而各因素間相互制約，很難使每個(gè)方面都達(dá)到最佳效果。由圖1 可以看出，低碳鋼的飽和磁通密度約為2 T，此時(shí)H 的值達(dá)30 000 A/m 以上，需要很高的安匝數(shù)來(lái)維持該值，所以，應(yīng)使H 值盡量小，同時(shí)B 值盡量大，即μr取最大值附近時(shí)最節(jié)約能源。

下文以試驗(yàn)空間為半徑0.3 m、高0.6 m 的柱形為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)開(kāi)放式、半開(kāi)放式和封閉式3 種形式的磁路進(jìn)行對(duì)比分析，以獲得一種相對(duì)優(yōu)化的結(jié)果，作為地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)的加載裝置。

3.1 開(kāi)放式磁路

開(kāi)放式磁路即整個(gè)試驗(yàn)空間與線圈分離，通過(guò)磁路將磁場(chǎng)引入到試驗(yàn)區(qū)內(nèi)，利用極靴的大小，使試驗(yàn)區(qū)內(nèi)的磁通密度產(chǎn)生梯度。實(shí)際上，漏磁不可避免，在預(yù)定的試驗(yàn)區(qū)邊緣處磁場(chǎng)分布不如預(yù)期的理想，為了保證試驗(yàn)空間的磁通密度梯度均勻性，設(shè)計(jì)試驗(yàn)區(qū)略大于所需要的空間大小，選擇合適的范圍進(jìn)行試驗(yàn)。

為了減小螺線管對(duì)試驗(yàn)區(qū)磁場(chǎng)分布的影響，將4個(gè)相同螺線管對(duì)稱布置在試驗(yàn)區(qū)周圍，如圖3 所示。圖中，1 區(qū)為試驗(yàn)區(qū)，為一個(gè)上下底面半徑分別等于0.3 m 和0.6 m 的倒立圓臺(tái)；2 區(qū)為通電螺線管；3、4 區(qū)為極靴。理論上，當(dāng)整個(gè)磁路回路的截面面積相同時(shí)，最節(jié)約能源，同時(shí)兼顧造價(jià)與重量的因素，磁路各部分尺寸見(jiàn)圖3。ABCD 代表磁路的一個(gè)回路的4個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中C、D 兩點(diǎn)分別處于上下兩極靴的幾何中心，等效長(zhǎng)度和等效面積按表1 取值。計(jì)算時(shí)，上下極靴為圓形，等效長(zhǎng)度取LE=R/2，等效面積取為 SE=d2π(R/2)，d為極靴厚度。

表1 開(kāi)放式磁路ABCD 各段等效長(zhǎng)度及等效面積Table 1 Length and area of open type magnetic circuit

假設(shè)在試驗(yàn)區(qū)底部的磁通密度Bb=1.6 T，磁通量φb=SbBb=0.452 Wb，忽略漏磁，試驗(yàn)區(qū)頂部磁通密度 Bt=φb/St=0.4 T。此時(shí)試驗(yàn)區(qū)上下的磁通密度差值為1.2 T，磁通密度梯度為1.5 T/m，可將低碳鋼加載到其自身重力的30 倍左右。若試驗(yàn)材料中的散體鐵磁材料所占體積百分比為33%，根據(jù)等效磁阻的方法可計(jì)算出鐵粉與土體混合物等效相對(duì)磁導(dǎo)率μre=1/3μrFe+2/3μrSoil≈1/3μrFe，近似取為500。磁路各段的磁通量、磁通密度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和所需要安匝數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。BC 段取整個(gè)試驗(yàn)區(qū)高度范圍內(nèi)的平均值，AB、AD 和CD 段 φAB=φAB=φAB=φb/4。磁場(chǎng)強(qiáng)度在已知磁通密度時(shí)可由圖1、2 獲得。

表2 開(kāi)放式磁路磁場(chǎng)參數(shù)Table 2 Magnetic field parameters of open type circuit

由式（7）得到開(kāi)放式磁路所需總的安匝數(shù)NItot=4NIAB+NIBC+4NICD+4NIDA=12 514.3 AT（Ampturn），平均分配到4個(gè)螺線管，每個(gè)螺線管所需要的安匝數(shù)NI=NItot/4=3 128.6 AT，取3 200 AT。

3.2 封閉式磁路

封閉式磁路中，將磁路設(shè)置在線圈外部，試驗(yàn)區(qū)設(shè)置在線圈內(nèi)部，通過(guò)線圈大小的變化產(chǎn)生磁通密度梯度。

在假設(shè)沒(méi)有漏磁的情況下，磁通量Φ 值在第一個(gè)試驗(yàn)區(qū)橫截面上為定值，若保證磁通密度梯度dBz/dz=C1，則Bz=C1z+C2，即 Φ/S=C1z+C2，由此可得z 與線圈半徑的關(guān)系為

參照開(kāi)放式磁路參數(shù)，取試驗(yàn)區(qū)內(nèi)截面最小位置的半徑為0.3 m，B=1.6 T，試驗(yàn)區(qū)梯度C1=1.5 T/m，則Φ=0.452 Wb，定義試驗(yàn)區(qū)截面最小處的線圈圓心為原點(diǎn)，由此計(jì)算得到線圈高度與半徑的關(guān)系應(yīng)滿足：

按式（7）計(jì)算結(jié)果設(shè)計(jì)線圈形狀，取試驗(yàn)區(qū)高0.8 m，底部、頂部對(duì)應(yīng)的線圈半徑分別為0.3、0.6 m。圖4為裝置剖視圖，圖中，1 區(qū)為試驗(yàn)區(qū)；2 區(qū)為線圈。

磁路ABCD 四段的等效長(zhǎng)度和等效截面面積見(jiàn)表3，磁通量、磁通密度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和所需要安匝數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。通過(guò)表4 可計(jì)算出需要的總安匝數(shù)為NItot=6 490 AT，取為6 500 AT。

圖4 封閉式磁路剖視圖(單位:mm)Fig.4 Section view of closed type magnetic circuit(unit:mm)

表3 閉合式磁路ABCD 各段等效長(zhǎng)度及等效面積Table 3 Length and area of closed type magnetic circuit

表4 封閉式磁路磁場(chǎng)參數(shù)表Table 4 Magnetic field parameters of closed type circuit

3.3 半開(kāi)放式磁路

半開(kāi)放式磁路是利用磁場(chǎng)在線圈端部的自然發(fā)散面產(chǎn)生的磁通密度梯度。磁路中存在空氣隙，不能形成完整回路，圖5為其剖視圖。圖中，1 區(qū)為試驗(yàn)區(qū)；2 區(qū)為線圈；3 區(qū)為空氣隙；4為非鐵磁性材料，可選橡膠或玻璃，置于線圈內(nèi)部鐵芯與上部試驗(yàn)區(qū)之間，有利于磁通密度均勻地進(jìn)入試驗(yàn)區(qū)，厚度在圖5 中未標(biāo)注，按1 mm 計(jì)算。

在線圈端部，距離線圈越近，磁通密度的發(fā)散越快，為了使磁通密度能夠沿試驗(yàn)區(qū)高度范圍內(nèi)均勻向外發(fā)散，需增加試驗(yàn)區(qū)與外部磁路之間的距離，所以將試驗(yàn)區(qū)下半部分設(shè)置為圓臺(tái)形。

由于空氣隙的存在，利用式（9）計(jì)算所需安匝數(shù)更為準(zhǔn)確，為方便仍按式（7）計(jì)算，且假設(shè)：忽略從試驗(yàn)區(qū)頂端發(fā)散的少量磁通密度，所有磁通密度均從試驗(yàn)區(qū)底部進(jìn)入，且從側(cè)面均勻發(fā)散，經(jīng)過(guò)空氣隙3 區(qū)，返回磁路。

同樣，假定試驗(yàn)區(qū)的磁通密度梯度為1.5 T/m，由于假設(shè)試驗(yàn)區(qū)頂部磁通密度為0，則試驗(yàn)區(qū)底部的磁通密度Bb=1.2 T，磁通量Φb=SbBb=0.603 Wb，磁路ABCDE 各段的等效長(zhǎng)度和等效截面面積見(jiàn)5，磁通量、磁通密度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和所需要安匝數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6。

圖5 半開(kāi)放式磁路剖視圖(單位:mm)Fig.5 Section view of semi-open type magnetic circuit(unit:mm)

表5 半開(kāi)放式磁路ABCDE 各段等效長(zhǎng)度及等效面積Table 5 Length and area of semi-open type magnetic circuit

表6 半開(kāi)放式磁路磁場(chǎng)參數(shù)表Table 6 Magnetic field parameter of semi-open type circuit

BC 段計(jì)算得到的B 值超過(guò)了飽和磁通密度，取為飽和值2 T，最終得到總需安匝數(shù)為NItot=11 517 AT，取為12 000 AT。

4 不同磁路的電磁特性

按章節(jié)3 得參數(shù)建立模型，應(yīng)用有限元軟件計(jì)算，3 種磁路形式下的試驗(yàn)區(qū)磁通密度分布情況如圖6 所示。圖中，白色實(shí)線為磁通密度等值線，等值線沿水平向越平直、沿豎直向分布越均勻，代表該區(qū)域的磁通密度梯度均勻性越好，所以選擇黑色虛線框內(nèi)范圍作為半徑0.3 m、高0.6 m 的最佳試驗(yàn)空間。

圖6 磁通密度分布(單位:T)Fig.6 Magnetic flux density distribution(unit:T)

取最佳試驗(yàn)空間軸線及平行軸線且間距為0.1 m的4 條直線，對(duì)該組直線上磁通密度梯度進(jìn)行分析，圖7為3 種形式磁路的磁通密度梯度分布情況。由圖可以看出，開(kāi)放式磁路試驗(yàn)區(qū)的磁通密度梯度均勻性最差，試驗(yàn)區(qū)底部磁通密度梯度比上部高出近幾倍。封閉式磁路的試驗(yàn)區(qū)底部的磁通密度梯度較差，并且在同一高度上沿半徑方向梯度也較為分散。半開(kāi)放式磁路最好，試驗(yàn)區(qū)上下端面梯度與均值相差在5%左右。并且在半開(kāi)放式磁路中，4 條梯度曲線接近重合，可見(jiàn)在同一水平面上梯度值幾乎相同。

圖7 磁通密度梯度分布Fig.7 Magnetic flux density gradient distrbution

在磁通密度梯度方面，半開(kāi)放式磁路占據(jù)絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，但半開(kāi)放式磁路也存在著一些不足之處，不計(jì)算試驗(yàn)區(qū)重量時(shí)，磁路里使用低碳鋼的重量分別為：開(kāi)放式磁路3.237 T，封閉式磁路4.838 T，半開(kāi)放式磁路5.686 T，從而使半開(kāi)放式磁路的造價(jià)略高。由于空氣隙的存在，大部分能量?jī)?chǔ)存于空氣隙內(nèi)，在維持相同量級(jí)的磁場(chǎng)時(shí)，半開(kāi)放式磁路需要更大的磁勢(shì)，造成能源的浪費(fèi)。從測(cè)試方面考慮，開(kāi)放式磁路的試驗(yàn)區(qū)完全暴露，便于測(cè)試儀器的放置，而封閉式試驗(yàn)區(qū)完全處于封閉狀態(tài)，不利于直接觀察到模型的位移和變形情況，半開(kāi)放式磁路雖有磁路包圍，不利于直接觀察模型的變形，但是試驗(yàn)區(qū)周圍存在空氣隙，方便測(cè)試儀器的放置，同時(shí)試驗(yàn)區(qū)頂端沒(méi)有磁路遮蔽，所以有利于后期考慮雨水作用時(shí)降雨系統(tǒng)的使用，可改造性優(yōu)于另兩種形式。由于封閉式磁路的螺線管形狀的獨(dú)特性，使其對(duì)制作工藝要求很高。將3 種形式磁路的性能進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)7。

表7 不同形式磁路的性能對(duì)比Table 7 Performance comparison of different type circuits

綜合表7 中各項(xiàng)性能指標(biāo)的對(duì)比，在地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)中，如果沒(méi)有相應(yīng)的測(cè)試儀器與封閉式或半開(kāi)放式裝置相配套，則以犧牲精度為代價(jià)，采用開(kāi)放式磁路；如果測(cè)試儀器可滿足要求，則從節(jié)能和節(jié)約成本的角度而言，可采用封閉式磁路；如果要求保證磁通密度梯度的均勻性，或考慮后期對(duì)設(shè)備的改造，宜采用半開(kāi)放式磁路。

5 結(jié) 語(yǔ)

地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)是一種利用電磁力加載的新型模型試驗(yàn)方法，要達(dá)到模擬重力場(chǎng)的效果，需要鐵磁材料在磁場(chǎng)中受力均勻，即要求試驗(yàn)空間內(nèi)的磁通密度梯度處處相等。

利用鐵磁材料使整個(gè)磁場(chǎng)發(fā)生裝置形成閉合回路，不僅可以充分利用螺線管產(chǎn)生的磁通量，還可以通過(guò)改變磁路的形式控制磁通密度的分布，從而使磁場(chǎng)盡可能接近試驗(yàn)要求的理想狀態(tài)。構(gòu)建開(kāi)放式、封閉式、半開(kāi)放式3 種形式的磁路，利用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，得到3 種形式磁路的試驗(yàn)空間磁通密度及其梯度分布情況。

3 種形式的磁路各有其優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)，但就磁通密度梯度的均勻性而言，半開(kāi)放式磁路最佳，其最佳試驗(yàn)空間內(nèi)的誤差在5%以內(nèi)，并且測(cè)試方法可采用光學(xué)或聲學(xué)非接觸位移測(cè)量方法對(duì)模型的變形特征進(jìn)行測(cè)試，與能源的節(jié)約對(duì)比，試驗(yàn)結(jié)果的精確性更加重要，采用半開(kāi)放式磁路作為地質(zhì)力學(xué)磁力模型試驗(yàn)的加載裝置更加合理。

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