曹鴻泰，黃汝霖，姚纓英

(浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州310027)

0 引言

磁滯回線是描繪鐵磁性材料磁化性質(zhì)的重要曲線，也是制造、選擇鐵磁材料的重要依據(jù)，在工程領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。測量磁滯回線的方法包括霍爾法等直接測量法和RC 積分法等間接測量法。

目前學(xué)者對磁滯回線測量已經(jīng)有一些研究，主要成果有:使用特斯拉計的磁滯回線測量［1-2］，采用反相積分器［3-4］或鎖相放大器［5］等運放電路測量磁滯回線，采用電容積分法PSpice 仿真非線性磁芯磁滯回線［6-7］，采用示波器的RC 積分法測量磁滯回線［8-9］，利用Matlab 進(jìn)行電網(wǎng)合閘磁滯回線仿真［10-11］，也有利用啟發(fā)式算法測量和辨識磁滯回線［12-13］。從中可以看出，直接測量往往需要昂貴的實驗設(shè)備，操作較為繁瑣;而間接法通過測量電壓電流關(guān)系來獲得磁滯回線，其中積分測量法被廣泛采用。積分法雖然具有線性度好、準(zhǔn)確度高、測量過程簡便等優(yōu)點，但是至今沒有明確的參數(shù)計算方法。

實物實驗往往需要昂貴的成本和較長的周期，而通過計算機(jī)軟件仿真測量過程則可大大降低實驗成本，提高測量效率。Simulink 是Matlab 中進(jìn)行動態(tài)建模與仿真的集成軟件包，其中有針對電力系統(tǒng)的可視化建模與仿真工具庫電力系統(tǒng)模塊庫(power system blocksets，PSB)，是解決電力系統(tǒng)中一些復(fù)雜的非線性仿真問題的有效方法。

本研究基于RC 積分法測量磁滯回線，利用Matlab 的Simulink 仿真系統(tǒng)中的電力系統(tǒng)模塊庫(power system blocksets，PSB)里的飽和變壓器模型，并對RC積分測量方法進(jìn)行深入分析后，通過求解時域微分方程，提出測量電路參數(shù)的確定方法。仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性分析以及簡易實驗結(jié)果表明，本研究提出的參數(shù)計算方法正確而且有效。

1 測量原理

為了測量飽和變壓器鐵芯的磁滯回線，本研究設(shè)計的RC 積分器測量電路如圖1所示。該電路在變壓器原邊接入一個電阻(R1)，通過電阻上的電壓取樣u1，反映鐵芯中磁場強度H 的變化;在副邊接入RC 積分器(R2、C2)，通過RC 參數(shù)的適當(dāng)選取，利用電容C2上的電壓取樣u2，反映鐵芯中磁感應(yīng)強度B 的變化。最后，利用虛擬示波器觀察u1和u2的李薩如圖形即得到了變壓器鐵芯的磁滯回線。由于是間接測量，需要分析u1，u2分別與H，B 呈線性關(guān)系的條件。

圖1 測量飽和變壓器磁滯回線電路原理圖

記原邊線圈N1匝，變壓器截面周長為l，記副邊線圈N2匝，內(nèi)阻為r2，變壓器截面積為S。

對原邊由安培環(huán)路定律得:

若變壓器負(fù)載很小，即:

根據(jù)歐姆定律可得R1兩端電壓為:

上式表明:滿足條件式(2)時，u1與磁場強度H 為線性關(guān)系。

對副邊由法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電勢為:

若取原邊電流流進(jìn)同名端，副邊電流流出同名端為參考方向，根據(jù)KVL，副邊回路滿足:

當(dāng)且僅當(dāng)以下不等式:

成立時:

解常微分方程，得:

上式表明:滿足條件(7)時u2與B 是線性關(guān)系。

在同時滿足條件式(2，7)時，以u1和u2分別為X軸與Y 軸作李薩如圖形，由于它們分別與H 和B 呈線性關(guān)系，則李薩如圖形就表示出飽和變壓器的磁滯回線。

2 基于Simulink 的仿真測試

本研究利用Matlab(R2010b 版本)中的Simulink進(jìn)行建模，建模步驟如下:

(1)建立一個新的模型窗口，同時打開Simulink的電力電子(SimPowerSystems)模塊工具箱，進(jìn)行仿真測量模型的搭建。

(2)打開元件(Elements)模塊組，復(fù)制一個飽和變壓器模型Saturable Transformer 到建模窗口中，模型參數(shù)不變。

2.1 飽和變壓器模型說明

打開Parameter 選項卡，調(diào)節(jié)參數(shù)顯示方式為SI(即國際單位制)，以下對飽和變壓器的參數(shù)作出說明。飽和變壓器模型參數(shù)如圖2所示。

第1 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的設(shè)備容量和工作頻率，圖中參數(shù)表示變壓器的設(shè)備容量是250e6 VA，工作頻率是50 Hz。

圖2 飽和變壓器模型參數(shù)

第2 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的原邊線圈的飽和電壓、電阻和電感，圖中參數(shù)表示變壓器原邊線圈的飽和電壓是7.35e5 V，電阻是4.321 8 Ω，電感是0.458 56 H。

第3 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的副邊線圈的飽和電壓、電阻和電感，圖中參數(shù)表示變壓器副邊線圈的飽和電壓是3.15e5 V，電阻是0.793 8 Ω，電感是0.084 425 H。

第5 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的模型參數(shù)，保持不變即可;第6 行數(shù)據(jù)表示鐵芯損耗電阻Rm，保持不變即可。

2.2 電路模塊搭建與參數(shù)設(shè)定

打開電源(Electrical Sources)模塊組，復(fù)制交流電壓源模塊AC Voltage Source 到建模窗口中。仿真磁滯回線，AC 參數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足超過變壓器的原邊額定電壓，才能使變壓器磁路飽和。AC 交流電源參數(shù)可以分別設(shè)定為10e5* sqrt(2)(單位:V)，90(單位:deg)，50(單位:Hz)，Sample time 為0(單位:s)。

打開元件(Elements)模塊組，復(fù)制3 個串聯(lián)RLC支路模塊到建模窗口中，下面對器件參數(shù)選擇進(jìn)行說明。R1為原邊取樣電阻，不應(yīng)很大，可取1e3(單位:Ω)，L 為0(單位:H)、C 為inf(單位:F)，作為原邊取樣電阻R1。其余兩個串聯(lián)RLC 支路模塊參數(shù)可以先設(shè)置R2參數(shù)為R 為400e3(單位:Ω)、L 為0(單位:H)、C 為inf(單位:F)，設(shè)置C2參數(shù)R 為0(單位:Ω)、L 為0(單位:H)、C 為10e-6(單位:F)，作為副邊的RC積分器的電阻R2和電容C2。

打開測量(Measurements)模塊組，復(fù)制兩個電壓測量模塊Voltage Measurement 到建模窗口中，分別用于測量原邊取樣電阻R1和副邊RC 積分器的電容C2上的電壓。

打開基本仿真(Simulink)模塊工具箱，從輸出(Sinks)模塊組，復(fù)制一個XY 型通道示波器XY Graph，設(shè)置X 軸為±6e4，Y 軸為±6e2，用于觀察原邊取樣電阻R1和副邊RC 積分器的電容C 上的電壓所形成的李薩如圖形，即B-H 曲線。

打開電源系統(tǒng)(SimPowerSystems)工具箱，復(fù)制一個powergui 模塊，雙擊打開，設(shè)置Configure parameters中的Simulation type 為Discrete，Sample time 設(shè)置為50e-6(單位:s)。這是因為仿真類型選擇離散型，可以得到更加平滑的磁滯回線，仿真速度也更快。

在菜單欄Simulation 中，設(shè)置Configuration Parameters 中的Stop time 至少大于0.04(單位:s)。設(shè)置Solver 為ode23tb 算法。

進(jìn)行適當(dāng)連接后，即得到利用RC 積分器觀測磁滯回線電路的模型。

3 RC 積分器的參數(shù)設(shè)置

積分器測量方法需要滿足式(3)和式(8)兩個線性關(guān)系，則必須有式(2)和式(6)成立。當(dāng)實驗參數(shù)不滿足線性關(guān)系時，虛擬示波器中不能得到正確的磁滯回線。下面具體分析測量電路的參數(shù)選取。

飽和變壓器模型鐵芯電路模型中的有功損耗電阻，即為渦流損耗，由式(2)成立，則有i2≈0 A，這表明應(yīng)使變壓器工作在接近空載狀態(tài)，此時滿足u1與H 為線性關(guān)系。

在時域上求解微分方程，可找出不等式(6)成立的條件。電源電壓可用uS=Amsin(ωt+90)表示，則電容電壓可表示為u2=Kmsin(ωt +φ)，則不等式(6)可化簡為:

則應(yīng)使后兩項與第一項的比值盡可能小，如下式所示:

由于式(10)右邊三角函數(shù)tan(ωt +φ)在一個周期內(nèi)是發(fā)散的，為使比值盡可能小，只能令其系數(shù)趨近于0，才能滿足式(8)，從而電容電壓u2與磁感應(yīng)強度B 為線性關(guān)系。

通過Simulink 進(jìn)行飽和變壓器磁滯回線的仿真采用離散仿真模式，因此只需滿足正切函數(shù)p(R2，C2)在一個周期里有足夠長的時間近似為零，就可以得到飽和變壓器鐵芯的磁滯回線。為了保證仿真準(zhǔn)確性，可取上述條件的一個近似等價條件為|p| ＜0.1 在99%的周期內(nèi)成立，即:

通常r2?R2可忽略，且在該測量中，L2≈0.08 H，ω=314 rad/s，考慮變壓器接近似空載運行，可設(shè)定R2為1 000 倍飽和變壓器滿容量負(fù)載電阻，即:

作為積分器電阻值，則解得C2＞4.9 μF。因此，可用C2=10 μF，R2=400 kΩ 作為積分器參數(shù)。

上述參數(shù)仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 積分器R2=400 kΩ，C2=10 μF 時測得磁滯回線

4 仿真結(jié)果與分析

為了考察RC 積分器測量磁滯飽和變壓器磁滯回線的準(zhǔn)確性，可以用多組磁滯回線繪出飽和變壓器的基本磁化曲線，并與Simulink 中的磁滯回線的原始數(shù)據(jù)對比，以說明本研究所提出的實驗?zāi)Ｐ偷恼_性和仿真結(jié)果的準(zhǔn)確度。

筆者分別調(diào)整AC 電壓源電壓(單位:V)為9e5*sqrt(2)，9.5e5* sqrt(2)，10e5* sqrt(2)，10.5e5* sqrt(2)，11e5* sqrt(2)和11.5e5* sqrt(2)進(jìn)行仿真，可以得到一組磁滯回線。將這些磁滯回線繪在一張圖中，并將磁滯回線的拐點標(biāo)出，用折線段擬合，再經(jīng)過放大得到的磁滯回線圖如圖4所示，圖4 中包圍面積即為鐵芯損耗。由于變壓器工作在輕負(fù)載狀態(tài)，包圍面積變化很小。

圖4 飽和變壓器磁滯回線仿真結(jié)果(局部)

Simulink 中飽和變壓器的磁化曲線數(shù)據(jù)在hysteresis.mat 文件中，可以繪出模型的基本磁化曲線。根據(jù)仿真結(jié)果得到的拐點可以繪出測量結(jié)果的基本磁化曲線。由于存在線性關(guān)系，可將兩幅圖的坐標(biāo)軸比例變換，合并為一張圖，測量結(jié)果與模型值吻合，基本磁化曲線測量誤差對比如圖5所示。

圖5 基本磁化曲線測量誤差對比

利用折線插值方法可以得到對應(yīng)拐點處的相對誤差值，其相對誤差表明本研究提出的方法的測量結(jié)果與飽和變壓器模型值非常接近。根據(jù)本研究提出的計算RC 積分器參數(shù)方法得到的測量誤差小于1.6%，而且這個誤差由式(15)控制。

因此，只有當(dāng)R2、C2滿足式(11，12)時，才滿足測量要求中的線性關(guān)系，才能滿足適用RC 積分法的前提條件。

5 實驗驗證

為了進(jìn)一步驗證仿真方法的可操作性與正確性，根據(jù)本研究提出的參數(shù)確定方法，筆者設(shè)計了RC 積分法測量電路，通過實驗室測量得到了工頻變壓器的磁滯回線。

實驗所用變壓器為上海祥華電器廠生產(chǎn)的BK -50 控制變壓器，高壓側(cè)選擇額定電壓220 V 線圈，低壓側(cè)選擇額定電壓36 V 線圈。高壓側(cè)經(jīng)單相調(diào)壓器接入市電，串聯(lián)電阻R1=240 Ω。低壓側(cè)串聯(lián)RC 積分法測量電路，其中R2=200 kΩ，C2=4.7 μF。本研究利用Tektronix TDS 3054C 示波器測量磁滯回線，其中CH1 測量R1兩端電壓，CH2 測量C2兩端電壓。觀測李薩如圖形，BK -50 變壓器磁滯回線如圖6所示。

實驗中測得磁滯回線與仿真結(jié)果相一致，從而驗證了仿真方法的可操作性與RC 積分器參數(shù)確定方法的正確性。

圖6 BK-50 變壓器磁滯回線

6 結(jié)束語

在工程實踐過程中，為了得到電力變壓器的磁滯回線，需要經(jīng)過復(fù)雜繁瑣的操作過程，且往往受到試驗條件、測量手段等方面的限制。電力變壓器由于額定電壓在千伏以上，難以直接實驗測量，而通常采用仿真方法得到其磁滯回線。本研究基于Matlab 的Simulink 仿真系統(tǒng)，利用電力系統(tǒng)模塊庫PSB，采用RC 積分法實現(xiàn)磁滯回線測量。本研究提出的確定參數(shù)方法使得最終測量相對誤差在1%左右，具有很高的實用價值。

由于Simulink 中飽和變壓器模型給出的參數(shù)是基本磁化曲線，原邊電壓存在較小的取值范圍。如何解決因原邊電壓取值問題引起的仿真錯誤還有待進(jìn)一步的研究。

在有關(guān)交流電量電路分析中，常常需要結(jié)合時域分析與頻域分析。本研究借鑒頻域分析的思想，并就求解時域微分方程和Simulink 仿真方法提出了確定參數(shù)的方法，為電路設(shè)計提供了參考依據(jù)。

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