包廣清，梁銅川

(蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院，甘肅蘭州730050)

0 引 言

繞組函數法最先用于單相感應電機的計算機模擬，以及用于集中繞組的感應電機、雙勵磁磁阻電機和同步磁阻電機的分析。近年來，這種方法越來越廣泛地應用于感應電機在不同故障下的瞬時動態(tài)分析，例如在氣隙動態(tài)偏心的故障分析中。繞組函數法是從整體出發(fā)，不論電機氣隙是否均勻，直接利用繞組的空間分布，寫出繞組函數，結合氣隙倒函數，求出電感參數[1]。

電感計算的準確性直接影響電機的數學模型，而電機的數學模型對電機的機械特性有很大的影響，因此研究者對直線同步電機進行仿真和計算時，必須建立合適的數學模型。本研究以繞組函數為基礎建立長定子直線同步電機的數學模型，通過Matlab 求解電流微分方程，得到直線電機正常運行時的三相電流、電磁推力和勵磁電流波形。

1 直線同步電機建模

1.1 繞組函數解析法

在長定子直線同步電機中，對A 相繞組，根據安培環(huán)路定律有[2]:

式中:H—A 相繞組磁場強度;J—電流密度;iA—A 相繞組電流;nA(x，x')—A 相繞組的繞組函數;x—從定子A相軸線算起的空間位移;x'—動子的位置。

又根據磁通連續(xù)定理:∮B d s=0，可以推導出A 相繞組磁勢:

式中:B—繞組的磁感應強度，FA(x，x')—iA在A 相繞組中產生的磁勢，MA(x，x')—修正的A 相繞組函數。

且:

磁路的磁通φ為磁動勢F 和磁導Λ的乘積:

式中:μ0—真空磁導率，S—磁路的截面積，L—磁路的長度。

對于長定子同步直線電機，忽略鐵磁材料的飽和效應后，可近似認為直線電機中的磁勢全部降落在氣隙中，因而磁路的磁阻主要是氣隙磁阻，由于同步電機中的氣隙不均勻，致使氣隙長度為動子位置的函數g(x，x')，g-1(x，x')為直線電機氣隙倒函數。即:

因此直線電機磁通的變化量為:

則 A、B 兩相繞組的互感為[3]:

式中:nB(x，x')—直線電機B 相繞組隨動子位置變化的繞組函數。

1.2 電機結構及數學模型

1.2.1 長定子直線同步電機結構

德國TR08 型磁浮列車的長定子直線電機截面結構如圖1 所示。該電機采用長定子短磁極式，定子繞組為波繞組[4]。長定子鐵芯連續(xù)鋪設在軌道兩側下方，定子三相繞組嵌在鐵芯槽內。勵磁磁極裝在車上，布置在車廂兩側，與定子繞組相對應，由車載直線發(fā)電機供給勵磁電流。

圖1 直線同步電機的縱向剖面圖

1.2.2 數學模型

由于長定子同步直線電機的結構具有對稱性，建立數學模型時只模擬一對磁級。理想化的直線同步電機的數學模型可以看作由三相定子繞組和一個勵磁繞組構成?；诘刃Т怕贩ǖ闹本€同步電機電壓方程如下:

定子回路電壓方程:

動子回路電壓方程:

磁鏈方程:

其緊湊寫法為:

式中:r—定子繞組總電阻;rf—勵磁繞組的電阻;Laa，Lbb，Lcc—各相定子繞組的自感;Mij(i=a，b，c，f;j=a，b，c，f;i≠j)—線圈的互感系數。

對于直線電機而言，根據以下公式對式(14)進行簡化:

將式(11)和式(15)合并簡化，得到長定子直線同步電機的數學模型公式，由此得到的數學模型為后續(xù)的仿真建立了基礎。即:

1.3 電機參數的計算

由公式(10)可知，直線電機的電感與繞組函數和直線電機的氣隙分布有關。根據文獻[5]可知，直線電機的電樞繞組函數為:

式中:NS—電樞繞組的匝數。

1.3.1 定子繞組自感

定子繞組自感包含兩個部分:恒值的繞組漏感Lls和氣隙主磁通的電感Lms。本研究以a 相繞組為例，其自感值為:

其中:

電樞部分的漏電感[6]主要由槽部漏感Ls、諧波漏感Lδ、端部漏感Le和齒端漏感Lt 組成，其相應的計算公式如下:

式中:τ—級距，b—定子鐵芯寬度，h01—定子槽口高度，h11—線圈高度，bs1—槽口的寬度，ls—定子鐵芯長度，p—極對數，m—相數，δ—氣隙的有效高度，v—諧波次數，kdqv—定子v 次諧波繞組系數，lE—線圈的端部長度，q—每級的槽數，b0—齒槽的寬度。

同理可得b、c 兩相繞組的自感如下:

1.3.2 定子繞組互感

定子三相繞組間的互感同理按照繞組函數公式計算，以b、c 相互感Mbc 為例，其計算公式如下:

同理可得其他兩相的互感計算結果如下:

1.3.3 定子與動子繞組互感

直線同步電機簡化模型中動子部分只包含勵磁繞組，勵磁繞組為集中繞組，基波繞組系數為1，定義動子勵磁繞組函數為:

根據定子、動子繞組函數及氣隙倒函數，推導出定、動子之間的互感如下:

式中:wfd—勵磁繞組的匝數。

1.3.4 勵磁繞組自感

勵磁繞組的自感也分為兩部分:恒值的漏感以及與端部漏磁自感:

式中:Lfd—跟氣隙相關的自感。

且:

由文獻[7]可知勵磁繞組漏磁自感 Lfd1計算公式為:

式中:λf—勵磁繞組的比漏磁導，afd勵磁繞組的并聯數目，l—動子鐵芯寬度。

從前面幾個部分的計算可以看出，在直線同步電機的一對極模型電感參數中，定子繞組自感、互感和定子繞組與動子之間的互感都是動子位置變化的函數。由公式(25～27)可以得出勵磁繞組的自感并不是隨動子變化的量，而是一個常值。

1.3.5 電阻的計算

假設定、動子繞組的端部形狀為半圓形，則定子繞組的每相電阻可以按照下面的公式進行計算[8]:

式中:p1—某段定子繞組的總極對數，ρ—工作溫度下的導體電阻率，A—導體截面積，b—定子鐵芯寬度。

1.3.6 電磁推力計算模塊

直線同步電機的電磁推力是直線電機正常運行至關重要的性能參數之一，采用下面的公式計算[9]:

式中:Lmd，Lmq—直線電機直軸與交軸的主電感;ψd，ψq—直線電機直軸與交軸磁鏈;id，iq—定子側直軸和交軸電流;Ld，Lq—直軸與交軸同步電感。

2 動態(tài)仿真

基于式(16)建立直線同步電機的仿真模型如圖2所示。其中主要包括:電感矩陣模塊、電感逆矩陣模塊、電阻矩陣模塊、電源矩陣模塊、坐標變換模塊、電磁推力計算模塊。

圖2 動態(tài)仿真結構圖

圖2 中，動子的位置x=vt。電感矩陣、電阻矩陣和d[L]/d x 矩陣維數是4 ×4，并且是主對稱矩陣。電源矩陣中，電壓源的頻率f=v/2τ，且矩陣維數是4 ×1。

3 電機參數及仿真結果

3.1 電機參數

以上海的懸浮列車運營線為基礎，參照TR08 系列設計，其列車車體兩側各有一個直線同步電機共同產生電磁推力。該長定子直線同步電機的結構參數如表1 所示。

3.2 仿真結果

本研究將表1 中的參數輸入到仿真模型中，定子側繞組通入三相交流電，動子側繞組加上直流電，三相電壓和勵磁電壓的幅值取適當值，電源電壓的頻率通過動子速度求得，設定系統(tǒng)的仿真時間為0.04 s，其他仿真參數取默認值，即可得到直線同步電機在正常情況下的電流和電磁力波形。其仿真結果如圖(3～7)所示。

表1 長定子直線同步電機的參數

圖3 定子a 相繞組自感

圖4 三相定子電流

圖5 d-q 軸電流

圖6 勵磁電流

圖7 電磁推力

由以上仿真結果得知:三相電流穩(wěn)定后對稱，互差120 °相角，勵磁電流保持在20 A 左右，此時將三相電流作dq 分解，得到id=0，符合模型中設定的要求。

4 仿真與實驗結果對比分析

為了驗證解析法的準確性，本研究通過Ansoft 軟件按照TR08 機械結構建立2D 有限元模型，將得到的電磁推力結果與解析法計算結果進行比較。

本研究依據表1 中直線同步電機的相關參數建立一對極模型[10]，以一對極為求解區(qū)域，定子繞組通入正弦電流，不考慮邊端效應，取定子最大電流為1 200 A，勵磁電流為20A，通過改變電樞電流的相位得到功角與電磁推力的關系曲線，電磁推力的計算采用麥克斯韋張量法。

在直線電機理論中，功角是指感應電壓與外電壓的夾角，又稱功率角，功角對直線電機的推力和懸浮力有極大的影響。建立的單個電磁鐵模型中，當其他條件都不變時，將動子的速度設置為0，定子側通入三相對稱電流，在Ansoft 后處理中縱坐標選擇電磁推力，橫坐標選擇2 ×180 ×f ×time 角度變量(f 為電樞三相電流頻率，time 為時間變量)。得到電磁推力隨功角的變化曲線如圖8 所示。

圖8 推力隨功率角的變化

由圖8 可知，最大推力對應的功角為89.8128 °。由于改變定子電流初始相位可以體現出功角對電磁推力的作用，本研究將該功角分別代入到定子側三相電流的相位中，動子的速度設置為430 km/h。得到單個電磁鐵模型的最大推力波形如圖9 所示。

圖9 單個電磁鐵推力波形

按照Matlab 計算結果，id=0 時，其功角為90 °，此時本研究采用Ansoft 麥克斯韋張量法的計算結果電磁推力為1 194.6 N/m(其中指的是鐵芯的硅鋼片厚度，需要乘以實際的鐵芯寬度才為一對極下的電磁力)，將結果轉換為沿氣隙單位長度的結果。

每單位長度的電磁力Fx為:

通過與Matlab 數值計算的結果Fx=401.2 N/m比較發(fā)現，電磁推力的結果誤差為6.31%，說明解析法計算的結果存在一定的誤差。

圖10 解析法的電磁推力與功角關系

解析法的電磁推力與功角關系如圖10 所示。

從圖8 和圖10 的計算結果比較可以發(fā)現，在Ansoft 計算中，當功角φ＜90 °時，電磁推力隨著功角的增大而增大，φ＞90 °時，電磁推力隨著功角的增大而減小，而在Matlab 計算中，功角φ的臨界值符合Ansoft的計算結果，但是功角點對應的電磁推力比有限元計算的結果偏小，這是由于解析算法中的氣隙函數的偏差造成的，但是可以證明解析法計算結果和Ansoft 有限元的計算結果總趨勢是相同的。

5 結束語

直線同步電機的運行方式與普通旋轉電機類似，本研究根據旋轉電機的電壓、磁鏈方程對其進行數學建模，并建立了電流的微分方程。

(1)針對數學模型中的部分參數如漏感、電阻等，可以沿用旋轉電機的計算方法;而針對電感參數，則采用繞組函數法進行精確的推導計算。

(2)通過Simulink 建立電流微分方程的仿真模型，得到了三相電流、勵磁電流和電磁推力的波形。

(3)最后將解析法得到的結果和有限元計算的結果進行了對比，證明了本研究方法的可靠性。

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