李秀英，郭 友

(通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林通化134002)

高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，其內(nèi)容抽象，邏輯性強(qiáng).它是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)與提高，但與中學(xué)代數(shù)又有很大的不同.這種不同不僅表現(xiàn)在內(nèi)容的深度上，更重要的是表現(xiàn)在觀點(diǎn)和方法上.學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的過程中，普遍認(rèn)為概念抽象難懂，即使聽懂了基本內(nèi)容，往往也對(duì)習(xí)題無從下手.下面結(jié)合筆者講授高等代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劷虒W(xué)體會(huì).

1 加強(qiáng)基本概念的教學(xué)

高等代數(shù)的概念較多，也十分抽象，必須牢固掌握概念的確切定義，才能把握概念的本質(zhì).如行列式與矩陣的概念極易引起學(xué)生混淆.教學(xué)中，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)盡管這兩個(gè)概念形式看似相似，但其實(shí)質(zhì)不同.數(shù)域P上的n級(jí)行列式等于所有取自不同行、不同列n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)；但一個(gè)m×n矩陣是由mn個(gè)數(shù)排成的m行n列的表，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)表；另外表示方法也不同，行列式用||，矩陣用()或［］表示.又如線性空間是學(xué)生遇到的第一個(gè)用公理化語言定義的抽象概念，但線性空間正是解析幾何中向量概念的一般化.以學(xué)生熟知的例子為基礎(chǔ)引入新概念，學(xué)生易于接受.同時(shí)通過練習(xí)使學(xué)生知道定義中的加法未必是普通的數(shù)的加法，只是一種運(yùn)算把它定義為加法，數(shù)量乘法也是如此，以及零向量的真正含義等.再如子空間的引入，“如果W對(duì)于V的兩種運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，那么數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)非空子集合W稱為V的一個(gè)線性子空間(或簡(jiǎn)稱子空間)”，經(jīng)過分析這個(gè)定義可簡(jiǎn)化為“如果W對(duì)于V的兩種運(yùn)算是封閉的，那么數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)非空子集合W稱為V的一個(gè)線性子空間(或簡(jiǎn)稱子空間)”.子空間的定義體現(xiàn)了研究代數(shù)對(duì)象-線性空間的一種數(shù)學(xué)方法.它可以平行推廣到歐氏空間、近世代數(shù)中的群、環(huán)等概念中，以此方法定義歐氏空間的子空間、子群、子環(huán)等，這就是子代數(shù)思想方法.所謂子代數(shù)就是代數(shù)系統(tǒng)的非空子集關(guān)于該代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算也作成相同的代數(shù)系統(tǒng).學(xué)生掌握了這種定義方法，能把握住概念的實(shí)質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.

2 結(jié)合現(xiàn)代化教學(xué)手段教學(xué)

現(xiàn)代化教育技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用是教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn).在高等代數(shù)課程教學(xué)中，將傳統(tǒng)的課堂講授教學(xué)與現(xiàn)代化的教育技術(shù)相結(jié)合，教學(xué)效果更好.多媒體教學(xué)是一種全新的教學(xué)方式，給學(xué)生以“耳目一新”的感覺，而這種全新的教學(xué)模式，讓學(xué)生在課堂上更能集中注意力，更具有急迫感.行列式、線性方程組與矩陣是高等代數(shù)的基本內(nèi)容，但單純用傳統(tǒng)的教學(xué)方式講授以上內(nèi)容，板書十分復(fù)雜，可結(jié)合多媒體課件輔助教學(xué).如行列式性質(zhì)、矩陣運(yùn)算等的教學(xué)，結(jié)合課件演示，一方面節(jié)省了板書的時(shí)間，另一方面也使教學(xué)內(nèi)容達(dá)到了直觀的效果，形式的改變使學(xué)生有新鮮感，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.此外，教學(xué)中可將數(shù)學(xué)軟件Maple引入教學(xué).Maple是加拿大滑鐵盧大學(xué)(University of Waterloo)和Waterloo Maple Software公司注冊(cè)的一套為微積分、線性代數(shù)和微分方程等高等數(shù)學(xué)使用的軟件包，它是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的幾個(gè)數(shù)學(xué)軟件之一.Maple的線性代數(shù)庫可提供豐富的代數(shù)運(yùn)算指令，幾乎可以完成高等代數(shù)中的各種運(yùn)算，為高等代數(shù)的學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了強(qiáng)有力的工具.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用Maple解決高等代數(shù)問題，一方面鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)，另外學(xué)生通過上機(jī)實(shí)踐，提高了實(shí)踐能力，為數(shù)學(xué)建模打下良好的基礎(chǔ).

3 善于總結(jié)數(shù)學(xué)思想，加強(qiáng)與其它課程的聯(lián)系

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)與基本方法的概括與升華，是數(shù)學(xué)理論的最高體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的精髓.日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“即使學(xué)生把所教的知識(shí)(概念、定理、法則和公式等)全忘了，銘記在他心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法卻能使他終身受益”.因此，高等代數(shù)教學(xué)中滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有重要作用.同構(gòu)思想是代數(shù)學(xué)中重要而常見的思想，兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)之間若能建立一個(gè)同構(gòu)映射，即保持所有運(yùn)算的一一對(duì)應(yīng)，則稱這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu).兩個(gè)同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算性質(zhì)是完全一樣的.“數(shù)域P上兩個(gè)線性空間V與V′稱為同構(gòu)的，如果由V到V′有一個(gè)雙射 σ，具有性質(zhì)：①σ(α +β)= σ(α)+σ(β).②σ(kα)=kσ(α).其中 α，β 是V中任意向量，k是P中任意數(shù).這樣的映射σ稱為同構(gòu)映射.”在學(xué)習(xí)了線性空間同構(gòu)的定義之后總結(jié)同構(gòu)的思想，對(duì)學(xué)生后面學(xué)習(xí)歐氏空間的同構(gòu)大有益處，學(xué)生接受起來十分自然.同時(shí)，同構(gòu)思想可平行運(yùn)用于后續(xù)課近世代數(shù)中，定義群同構(gòu)與環(huán)同構(gòu).而群同態(tài)、環(huán)同態(tài)是群同構(gòu)與環(huán)同構(gòu)的推廣.同構(gòu)思想的滲透為后續(xù)課的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ).又如多項(xiàng)式的整除理論與初等數(shù)論中整數(shù)的整除理論相平行，線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論與常微分方程中線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)理論相平行.因此，教學(xué)中滲透類比的思想方法有助于學(xué)生知識(shí)體系的培養(yǎng)和形成.

4 注重習(xí)題課的教學(xué)

習(xí)題難解是學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的普遍困惑.教學(xué)中通過習(xí)題課鞏固和強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生掌握分析問題、解決問題的思路與技巧，十分重要.行列式是高等代數(shù)的重要工具，行列式的計(jì)算是行列式理論中的重要問題，學(xué)習(xí)行列式性質(zhì)之后，結(jié)合例題總結(jié)計(jì)算行列式的各種基本方法，如化三角形法、逐行(列)相加減法、拆成幾個(gè)行列式法、遞推法等.學(xué)生掌握了計(jì)算行列式的基本方法，收到了良好的教學(xué)效果.又如，初等矩陣與初等變換有密切關(guān)系.“對(duì)一個(gè)s×n矩陣A作一初等行(列)變換就相當(dāng)于在A的左(右)邊乘上相應(yīng)的s×s(n×n)的初等矩陣”.這種對(duì)應(yīng)有“左行右列”特點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系在矩陣論中有重要作用.為了計(jì)算方便，可轉(zhuǎn)化矩陣乘法為矩陣的初等變換，為了定量分析和理論推導(dǎo)，又可轉(zhuǎn)化矩陣的初等變換為矩陣乘法.另外，線性變換與矩陣有密切關(guān)系，解題中應(yīng)充分掌握好二者互化的思想方法.凡涉及線性變換及與之相關(guān)的問題，可轉(zhuǎn)化為矩陣問題，用矩陣工具解決.反之，凡只涉及矩陣運(yùn)算的有關(guān)矩陣問題，可考慮轉(zhuǎn)化為線性變換及有關(guān)的問題，用線性變換的理論予以解決.通過習(xí)題教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)并掌握它們之間的相互轉(zhuǎn)化.總之，高等代數(shù)習(xí)題教學(xué)中，挖掘解題技巧與方法，使學(xué)生觸類旁通，可以提高學(xué)生的解題能力.

5 結(jié)論

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課，也是學(xué)生考取相關(guān)專業(yè)研究生的必考科目.這門課對(duì)學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)與發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.如何通過課堂教學(xué)達(dá)到更好的教學(xué)效果，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力是專業(yè)教師不斷探索的課題.

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