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      寶劍鋒從磨礪出梅花香自苦寒來

      2014-02-28 19:34:57劉瑞美
      中學數(shù)學雜志(初中版) 2014年1期
      關鍵詞:預設直線師生

      1問題的提出

      只要在教學第一線,就可能遇到這樣的窘境:當學生的課堂活動呈現(xiàn)一片繁榮,教學活動正在老師的指導下,井然有序、熱熱鬧鬧朝著預設的軌道前進時,突然半路殺出個“程咬金”——有同學突然冒出一句與教學預設完全不一致,但又帶著“金子般閃光”的“意外”發(fā)言——打斷你,若對這“意外”發(fā)言給予重視,勢必打亂整個課堂預設;若斷然否定置之不理,或搪塞過關,不但會輕易錯過一個“千里難尋”的適合學生思維發(fā)展與創(chuàng)新的教學契機,而且還會嚴重挫傷學生的積極性和創(chuàng)造性,到底如何是好?筆者在引導高二學生進行學業(yè)水平考試復習時,在復習“函數(shù)應用”的一節(jié)課上就遇到過這樣的突然襲擊,“尷尬”不期而至,感受頗深,現(xiàn)整理成文,以饗讀者.

      2課堂探究的心路歷程

      題目如圖1,△OAB是邊長為2的正三角形,設△OAB位于直線x=t(t>0)右側的圖形的面積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      圖1本題是一道以求函數(shù)解析式為知識目標的習題,在解題過程中,可以訓練學生觀察、思考、分析問題的能力,由形的變化得出數(shù)的結論,由圖形的運動變化得出不同的數(shù)學表達式,很自然地寓數(shù)形結合、分類討論于解題之中,使學生在不經意間經歷了一次運用聯(lián)系、變化的辯證觀點審視事物發(fā)展的過程.

      解因為△OAB是邊長為2的正三角形,設△OAB位于直線x=t(t>0)右側的圖形的面積為f(t),所以易求得陰影三角形的面積為32t2,因而f(t)=3-32t2(0

      32(t-2)2(1

      本想以此題為例,引導學生復習函數(shù)應用及數(shù)學建模思想等,不料卻引來了一堂探究性復習課.從該題出發(fā),通過對該題的變式和類比探究,經過師生的共同努力,進行了一次生動的復習課探究,現(xiàn)將課堂探究的心路歷程呈現(xiàn)如下:

      解完之后,學生1提出:若將直線x=t(t>0)變?yōu)橹本€y=t(t>0),如何求解呢?是否還有類似的結論呢?

      探究1如圖2,△OAB是邊長為2的正三角形,設△OAB位于直線y=t(t>0)下方的圖形的面積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      圖2筆者思索了片刻并肯定了這位同學的猜想.要求大家小組合作探究,并請同學將小組合作的成果展現(xiàn)給大家.

      事實上,由題意可知B(1,3),且點B到直線y=t的距離為3-t,而陰影三角形的底邊長為2-233t,所以f(t)=3-12(3-t)(2-233t)=-33t2+2t(0

      探究1剛一結束,學生2又大膽提出:上面兩題都是用平行于坐標軸的直線去截這個三角形,如果用一條不與坐標軸平行的直線再去截這個三角形,其結果又如何呢?

      圖3探究2如圖3,△OAB是邊長為2的正三角形,設△OAB位于直線y=-33x+t(t>0)右上方的圖形的面積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      如何求解呢?經過同學們的合作探究后發(fā)現(xiàn):該問題與原問題在求解過程上是不完全一樣的,但在本質上沒有太大的變化,因為直線y=-33x+t與直線OB是垂直的.于是就有:

      因為點O到直線y=-33x+t的距離為32t,直線y=-33x+t在x正半軸上的截距為3t,易求得陰影三角形面積S=338t2,所以

      f(t)=3-338t2(0

      32(t=233),

      38(4-3t)2(233

      在師生的共同努力下,探究2迎刃而解.

      正當筆者飽受豐收之悅,準備收兵之計,又有同學在下面大聲的爭論著:上面的直線與OB是垂直的,當直線與OB不垂直時,結果怎樣呢?于是又提出如下問題,并進行了緊張的探究過程…….

      評注學生提出的問題是在課前預設中沒有想到的.遇到學生這樣的突然“發(fā)難”,筆者茫茫然,只能緊隨著學生一起“艱難”的一步步的探究著、思索著…….充分彰顯了課堂預設與生成的精彩瞬間.

      探究3如圖4,△OAB是邊長為2的正三角形,設△OAB位于直線y=-x+t(t>0)右上方的圖形的面積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      師:這位同學的想法很好!想象力和聯(lián)想力特別豐富.結果到底如何呢?那我們大家一起再來探討吧!

      圖4問題剛一提出,由探究2的討論過程,學生3馬上給出了如下的探究過程(經過師生共同整理).

      事實上,容易求得直線y=-x+t與直線OB交點坐標為(t3+1,3t3+1),直線y=-x+t在x正半軸上的截距為t,因而當00)右上方的圖形面積為32(t-1-3)2,所以

      f(t)=3-34t2+3(0

      32(t-1-3)2(2≤t<3+1).

      評注本題的解決較前面的問題要稍難些,因為所得三角形不再是直角三角形,具有一般性.

      討論到這里,同學們的興趣更高了,有的同學提出可以把直線再一般化.筆者順勢將問題布置下去,有興趣的同學可以在課下繼續(xù)探究…….

      當探究3完成之后,課堂時間已經過半,本來計劃完成3道例題的講解,基于此題,又和學生共度了余下的時光,共同演繹了“生成與預設”的和諧統(tǒng)一.

      師:上面的探究是在原問題基礎上在同一平面內進行的變式研究.能否利用類比推理,從平面推廣到空間呢?若能,又如何求解呢?

      問題剛一出來,同學們就議論開了,學生4馬上提出:

      探究4如圖5,四面體ABCD是棱長為2的正四面體,設點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t,設截面OPQ右側的幾何體的體積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      圖5師:這位同學提出的問題很好!下面就一起看一看這個問題到底如何解決吧?筆者首先讓學生分組協(xié)作,經過8分鐘左右的時間,很快有同學將問題解決,于是隨即邀請一位同學展示:

      學生5:我的解法是這樣的,由于點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t,所以由相似三角形性質易知△OPQ的邊長OP=PQ=OQ=2t3,而VB—OPQ=39t3,所以f(t)=223-39t3(0≤t≤3).

      隨著探究4的完成,同學們的探究熱情高漲,于是又有:如果點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t,設截面OPQ右側的幾何體的體積為f(t),此時f(t)的解析式又怎樣呢?

      于是經過師生的共同探索提出了問題5:

      探究5如圖6,四面體ABCD是邊長為2的正四面體,設點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t,設截面OPQ右側的幾何體的體積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      圖6當探究5出來以后,同學們馬上投入到緊張的探究之中,大約過了10分鐘左右的時間,沒有一個同學做出答案來.又過去了5分鐘左右,有的同學做出來了,但結果卻不一樣,他們在下面爭論著:“我沒有解錯呀”?“我也沒解錯呀”?“那為什么我們的答案卻不一樣呢?難道是題目錯了?還是我們的解法……”?這時下課時間快到了.

      師:為了能達到探究的目的,筆者進行了適時的引導:我們來分析一下,實際上,到截面距離為t且垂直底面BCD的截面有無數(shù)個,隨著傾斜程度的不同,隨處都可以滿足到截面OPQ的距離為t,因此函數(shù)f(t)是不確定的,當然大家求出的結果不一樣了.再者,平面OPQ是轉動的,在空間的任何位置都可以找到滿足條件的平面,因此本題是沒有確定答案的.從命題學的角度來說,此題應該是一道錯題.雖然這是一道錯題,但能提出問題應該是了不起的,至少他想到了,往往提出問題比解決問題更難.

      至此,對本題的探究還在繼續(xù),有的同學在思考,再添加什么樣的條件就能使答案確定了呢?…….

      師:通過對本題的橫向變式和縱向類比探究,進一步培養(yǎng)了學生的數(shù)形結合、分類討論和類比推理能力,從而充分發(fā)揮了典型習題探究的教學功能.

      探究4和探究5是在老師的引導下學生自己提出的,這樣不僅可以培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力,同時還能提高學生類比、聯(lián)想能力.上述兩個問題不只是平面到空間的簡單類比,在問題解決的過程中遇到許多新問題,從面積計算到體積計算的轉化,培養(yǎng)了學生空間想象能力和邏輯推理能力.特別是探究5的提出,對學生的探究能力要求較高,而這些問題的解決又有利于提高學生的探究能力和創(chuàng)新意識等.

      評注這些類比遷移,是筆者受到學生問題的啟發(fā),由平面三角形類比到空間四面體的,而在課堂預設中是沒有的,這些都充分說明了課堂教學是一個動態(tài)平衡過程.

      3幾點感悟

      3.1課堂教學需要預設

      新課標指出,開放對應于封閉,生成對應于預設,教學是預設與生成、封閉與開放的矛盾統(tǒng)一體.“預則立,不預則廢”,預設是教學的基本要求.教學是有目標、有計劃的活動,教學的運行也需要一定的程序,并因此表現(xiàn)出相對的封閉性,也正是基于此,傳統(tǒng)教學過分強調預設和封閉,從而使課堂教學變得機械、沉悶和程式化,缺乏對智慧的挑戰(zhàn)和對好奇心的刺激,使師生的生命力在課堂中得不到充分發(fā)揮.

      32預設與生成是一個和諧統(tǒng)一體

      教學過程是師生交往、互動的過程,新課程的預設也就必須為師生交往、互動服務.學生不是雕刻家隨意塑造的作品,不是電視機前的無可奈何的觀眾,也不是簡單的學習活動的參與者,更不是完成學習任務的工具,而是具有主觀能動性的學習主體.學生作為學習活動中一種活生生的力量,帶著自己的知識、經驗、思考、靈感參與到課堂活動之中,使課堂變得豐富、多變和復雜.課堂教學不可能也不應該預先設定好所有的教學程式而機械地實施.

      總之,在教學中如何應對學生提出的與課堂預設不相一致的問題,激發(fā)學生探究問題的熱情,是我們每一位老師都可能遇到的,教師要緊隨學生的思路,因勢利導地幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,因而就要求教師具有較高的駕馭課堂的能力.在教學中,先給出問題的簡單情形,再把問題一步步深化,在學生不斷地提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中讓學生感受到學習的快樂,并在師生的共同努力下將一個個問題攻破.這就是“寶劍鋒從磨礪出,梅花香自苦寒來”.參考文獻

      [1]劉瑞美.意外的生成有效的課堂[J].數(shù)學通訊,2011(12).

      [2]陳云贊.一堂“意外驚喜”的習題課[J].數(shù)學通報,2009(2).

      [3]袁偉忠.創(chuàng)設綠色數(shù)學課堂“生態(tài)環(huán)境”的教學嘗試[J].中學數(shù)學雜志,2007(3).

      [4]劉瑞美.由一道高考題引發(fā)的研究性學習[J].中學數(shù)學,2012(2).

      [5]劉瑞美.由一道習題引出的復習課探究[J].數(shù)學教學,2013(1).endprint

      圖5師:這位同學提出的問題很好!下面就一起看一看這個問題到底如何解決吧?筆者首先讓學生分組協(xié)作,經過8分鐘左右的時間,很快有同學將問題解決,于是隨即邀請一位同學展示:

      學生5:我的解法是這樣的,由于點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t,所以由相似三角形性質易知△OPQ的邊長OP=PQ=OQ=2t3,而VB—OPQ=39t3,所以f(t)=223-39t3(0≤t≤3).

      隨著探究4的完成,同學們的探究熱情高漲,于是又有:如果點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t,設截面OPQ右側的幾何體的體積為f(t),此時f(t)的解析式又怎樣呢?

      于是經過師生的共同探索提出了問題5:

      探究5如圖6,四面體ABCD是邊長為2的正四面體,設點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t,設截面OPQ右側的幾何體的體積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      圖6當探究5出來以后,同學們馬上投入到緊張的探究之中,大約過了10分鐘左右的時間,沒有一個同學做出答案來.又過去了5分鐘左右,有的同學做出來了,但結果卻不一樣,他們在下面爭論著:“我沒有解錯呀”?“我也沒解錯呀”?“那為什么我們的答案卻不一樣呢?難道是題目錯了?還是我們的解法……”?這時下課時間快到了.

      師:為了能達到探究的目的,筆者進行了適時的引導:我們來分析一下,實際上,到截面距離為t且垂直底面BCD的截面有無數(shù)個,隨著傾斜程度的不同,隨處都可以滿足到截面OPQ的距離為t,因此函數(shù)f(t)是不確定的,當然大家求出的結果不一樣了.再者,平面OPQ是轉動的,在空間的任何位置都可以找到滿足條件的平面,因此本題是沒有確定答案的.從命題學的角度來說,此題應該是一道錯題.雖然這是一道錯題,但能提出問題應該是了不起的,至少他想到了,往往提出問題比解決問題更難.

      至此,對本題的探究還在繼續(xù),有的同學在思考,再添加什么樣的條件就能使答案確定了呢?…….

      師:通過對本題的橫向變式和縱向類比探究,進一步培養(yǎng)了學生的數(shù)形結合、分類討論和類比推理能力,從而充分發(fā)揮了典型習題探究的教學功能.

      探究4和探究5是在老師的引導下學生自己提出的,這樣不僅可以培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力,同時還能提高學生類比、聯(lián)想能力.上述兩個問題不只是平面到空間的簡單類比,在問題解決的過程中遇到許多新問題,從面積計算到體積計算的轉化,培養(yǎng)了學生空間想象能力和邏輯推理能力.特別是探究5的提出,對學生的探究能力要求較高,而這些問題的解決又有利于提高學生的探究能力和創(chuàng)新意識等.

      評注這些類比遷移,是筆者受到學生問題的啟發(fā),由平面三角形類比到空間四面體的,而在課堂預設中是沒有的,這些都充分說明了課堂教學是一個動態(tài)平衡過程.

      3幾點感悟

      3.1課堂教學需要預設

      新課標指出,開放對應于封閉,生成對應于預設,教學是預設與生成、封閉與開放的矛盾統(tǒng)一體.“預則立,不預則廢”,預設是教學的基本要求.教學是有目標、有計劃的活動,教學的運行也需要一定的程序,并因此表現(xiàn)出相對的封閉性,也正是基于此,傳統(tǒng)教學過分強調預設和封閉,從而使課堂教學變得機械、沉悶和程式化,缺乏對智慧的挑戰(zhàn)和對好奇心的刺激,使師生的生命力在課堂中得不到充分發(fā)揮.

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      教學過程是師生交往、互動的過程,新課程的預設也就必須為師生交往、互動服務.學生不是雕刻家隨意塑造的作品,不是電視機前的無可奈何的觀眾,也不是簡單的學習活動的參與者,更不是完成學習任務的工具,而是具有主觀能動性的學習主體.學生作為學習活動中一種活生生的力量,帶著自己的知識、經驗、思考、靈感參與到課堂活動之中,使課堂變得豐富、多變和復雜.課堂教學不可能也不應該預先設定好所有的教學程式而機械地實施.

      總之,在教學中如何應對學生提出的與課堂預設不相一致的問題,激發(fā)學生探究問題的熱情,是我們每一位老師都可能遇到的,教師要緊隨學生的思路,因勢利導地幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,因而就要求教師具有較高的駕馭課堂的能力.在教學中,先給出問題的簡單情形,再把問題一步步深化,在學生不斷地提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中讓學生感受到學習的快樂,并在師生的共同努力下將一個個問題攻破.這就是“寶劍鋒從磨礪出,梅花香自苦寒來”.參考文獻

      [1]劉瑞美.意外的生成有效的課堂[J].數(shù)學通訊,2011(12).

      [2]陳云贊.一堂“意外驚喜”的習題課[J].數(shù)學通報,2009(2).

      [3]袁偉忠.創(chuàng)設綠色數(shù)學課堂“生態(tài)環(huán)境”的教學嘗試[J].中學數(shù)學雜志,2007(3).

      [4]劉瑞美.由一道高考題引發(fā)的研究性學習[J].中學數(shù)學,2012(2).

      [5]劉瑞美.由一道習題引出的復習課探究[J].數(shù)學教學,2013(1).endprint

      圖5師:這位同學提出的問題很好!下面就一起看一看這個問題到底如何解決吧?筆者首先讓學生分組協(xié)作,經過8分鐘左右的時間,很快有同學將問題解決,于是隨即邀請一位同學展示:

      學生5:我的解法是這樣的,由于點B到平行于側面ACD的截面△OPQ的距離為t,所以由相似三角形性質易知△OPQ的邊長OP=PQ=OQ=2t3,而VB—OPQ=39t3,所以f(t)=223-39t3(0≤t≤3).

      隨著探究4的完成,同學們的探究熱情高漲,于是又有:如果點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t,設截面OPQ右側的幾何體的體積為f(t),此時f(t)的解析式又怎樣呢?

      于是經過師生的共同探索提出了問題5:

      探究5如圖6,四面體ABCD是邊長為2的正四面體,設點B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距離為t,設截面OPQ右側的幾何體的體積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式.

      圖6當探究5出來以后,同學們馬上投入到緊張的探究之中,大約過了10分鐘左右的時間,沒有一個同學做出答案來.又過去了5分鐘左右,有的同學做出來了,但結果卻不一樣,他們在下面爭論著:“我沒有解錯呀”?“我也沒解錯呀”?“那為什么我們的答案卻不一樣呢?難道是題目錯了?還是我們的解法……”?這時下課時間快到了.

      師:為了能達到探究的目的,筆者進行了適時的引導:我們來分析一下,實際上,到截面距離為t且垂直底面BCD的截面有無數(shù)個,隨著傾斜程度的不同,隨處都可以滿足到截面OPQ的距離為t,因此函數(shù)f(t)是不確定的,當然大家求出的結果不一樣了.再者,平面OPQ是轉動的,在空間的任何位置都可以找到滿足條件的平面,因此本題是沒有確定答案的.從命題學的角度來說,此題應該是一道錯題.雖然這是一道錯題,但能提出問題應該是了不起的,至少他想到了,往往提出問題比解決問題更難.

      至此,對本題的探究還在繼續(xù),有的同學在思考,再添加什么樣的條件就能使答案確定了呢?…….

      師:通過對本題的橫向變式和縱向類比探究,進一步培養(yǎng)了學生的數(shù)形結合、分類討論和類比推理能力,從而充分發(fā)揮了典型習題探究的教學功能.

      探究4和探究5是在老師的引導下學生自己提出的,這樣不僅可以培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力,同時還能提高學生類比、聯(lián)想能力.上述兩個問題不只是平面到空間的簡單類比,在問題解決的過程中遇到許多新問題,從面積計算到體積計算的轉化,培養(yǎng)了學生空間想象能力和邏輯推理能力.特別是探究5的提出,對學生的探究能力要求較高,而這些問題的解決又有利于提高學生的探究能力和創(chuàng)新意識等.

      評注這些類比遷移,是筆者受到學生問題的啟發(fā),由平面三角形類比到空間四面體的,而在課堂預設中是沒有的,這些都充分說明了課堂教學是一個動態(tài)平衡過程.

      3幾點感悟

      3.1課堂教學需要預設

      新課標指出,開放對應于封閉,生成對應于預設,教學是預設與生成、封閉與開放的矛盾統(tǒng)一體.“預則立,不預則廢”,預設是教學的基本要求.教學是有目標、有計劃的活動,教學的運行也需要一定的程序,并因此表現(xiàn)出相對的封閉性,也正是基于此,傳統(tǒng)教學過分強調預設和封閉,從而使課堂教學變得機械、沉悶和程式化,缺乏對智慧的挑戰(zhàn)和對好奇心的刺激,使師生的生命力在課堂中得不到充分發(fā)揮.

      32預設與生成是一個和諧統(tǒng)一體

      教學過程是師生交往、互動的過程,新課程的預設也就必須為師生交往、互動服務.學生不是雕刻家隨意塑造的作品,不是電視機前的無可奈何的觀眾,也不是簡單的學習活動的參與者,更不是完成學習任務的工具,而是具有主觀能動性的學習主體.學生作為學習活動中一種活生生的力量,帶著自己的知識、經驗、思考、靈感參與到課堂活動之中,使課堂變得豐富、多變和復雜.課堂教學不可能也不應該預先設定好所有的教學程式而機械地實施.

      總之,在教學中如何應對學生提出的與課堂預設不相一致的問題,激發(fā)學生探究問題的熱情,是我們每一位老師都可能遇到的,教師要緊隨學生的思路,因勢利導地幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,因而就要求教師具有較高的駕馭課堂的能力.在教學中,先給出問題的簡單情形,再把問題一步步深化,在學生不斷地提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中讓學生感受到學習的快樂,并在師生的共同努力下將一個個問題攻破.這就是“寶劍鋒從磨礪出,梅花香自苦寒來”.參考文獻

      [1]劉瑞美.意外的生成有效的課堂[J].數(shù)學通訊,2011(12).

      [2]陳云贊.一堂“意外驚喜”的習題課[J].數(shù)學通報,2009(2).

      [3]袁偉忠.創(chuàng)設綠色數(shù)學課堂“生態(tài)環(huán)境”的教學嘗試[J].中學數(shù)學雜志,2007(3).

      [4]劉瑞美.由一道高考題引發(fā)的研究性學習[J].中學數(shù)學,2012(2).

      [5]劉瑞美.由一道習題引出的復習課探究[J].數(shù)學教學,2013(1).endprint

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