群論中的逆同態(tài)與逆同構(gòu)

張隆輝，趙鳳鳴

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧 629000）

群論中的逆同態(tài)與逆同構(gòu)

張隆輝，趙鳳鳴

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧 629000）

研究了群論中逆同態(tài)（逆同構(gòu)）的一些基本性質(zhì)，得到了群論中同態(tài)（同構(gòu)）和逆同態(tài)（逆同構(gòu)）的相互關(guān)系，并用逆同態(tài)（逆同構(gòu)）的方法證明了群論中的同態(tài)基本定理和群的同構(gòu)定理．

群；逆同態(tài)；逆同構(gòu)

逆同態(tài)也稱為反同態(tài)，它是使運(yùn)算反序的映射.文獻(xiàn)[1]研究了群胚到群胚的逆同態(tài)，文獻(xiàn)[2-8]研究了群論中的逆同態(tài)，文獻(xiàn)[9-11]研究了環(huán)論中的逆同態(tài)，取得了許多和同態(tài)類似的結(jié)果．這表明逆同態(tài)是代數(shù)學(xué)的重要概念，它為代數(shù)系統(tǒng)的研究提供了又一途徑.本文進(jìn)一步給出關(guān)于群論中逆同態(tài)的一些結(jié)果，然后給出群論中若干同態(tài)定理的逆同態(tài)證明.

1 概念及引理

引理1[3]設(shè)f是群G到群G的逆同態(tài)，H≤G，≤，則

引理2[3]設(shè)f是群G到群的滿逆同態(tài)則

2主要結(jié)果

證明：由引理1（3）有 ，令f*(xH)=f(x)f(H).由于f是群G到群的滿逆同態(tài)，則顯然f*是G/H到/f(H)的滿射.又如果f*(xH)=f*(yH)(x,y∈G)，則f(x)f(H)=f(y)f(H)，故

f(y)-1f(x)=f(y-1)f(x)=f(xy-1)∈f(H)．

令f(xy-1)=f(h)(h∈H)，則

f(xy-1h-1)=f(h-1)f(xy-1)=f(h)-1f(xy-1)= ，

從而xy-1h-1∈kerfH，所以xy-1∈H，而H是G的正規(guī)子群，故xH=yH，f*是G/H到/f(H)的單射，從而是雙射.又，有

證明：顯然f-1是群G到群的映射．

證明：

（1）因f是同態(tài)，則由定理3，f-1是逆同態(tài).

(i)如果f是單同態(tài)，若f-1(x)＝f-1(y)(x，y∈G)，則f (x)-1＝f(y)-1，f(x)=f(y)，x=y，故f-1是單射，從而是單逆同態(tài).(ii)如果f是滿同態(tài)，∈，則存在x∈G，使f(x) =，從而由f-1是逆同態(tài)及定理1有

故f-1是滿逆同態(tài).(iii)如f果是同構(gòu)，由(i)、(ii)知f-1是逆同構(gòu)．

（2）因f是逆同態(tài)，由定理3，f-1是同態(tài).

如果是f單逆同態(tài)、滿逆同態(tài)、逆同構(gòu)，類似于（1）的(i)、(ii)、(iii)得f-1是單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu).

3同態(tài)定理的逆同態(tài)證明舉例

例1（同態(tài)基本定理[12]9）6設(shè)φ是群G到群的一個(gè)同態(tài)滿射，則且

例2（第一同構(gòu)定理[12]100）設(shè)φ是群G到群的一個(gè)同態(tài)滿射，又，=φ(N)，則

證明：令φ-1(x)=φ(x)-1( x∈G)，則φ-1是G到的一個(gè)滿逆同態(tài)，由定理2有 .存在x∈N，使，存在x∈N，使故=φ(N)=φ-1(N)，從而設(shè) f是 G/N到的逆同構(gòu)，令 f-1(xN)=f(xN)-1，則f是G/N到的同構(gòu)，故

[1]廖輝，李鳳清，張青山.群胚到群胚的逆同態(tài)[J].四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012,22（2）.

[2]任禎琴，張良，郭繼東.群上的逆同態(tài)[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,(12).

[3]申志榮.群論中的反同態(tài)和反同構(gòu)[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1987，（3）.

[4]李月芬.群的反同態(tài)與反同構(gòu)的性質(zhì)[J].內(nèi)蒙古師太學(xué)報(bào)自然科學(xué)(漢文)版,1998,(1).

[5]李月芬，趙英.反商群與反同態(tài)[J].包頭鋼鐵學(xué)院學(xué)報(bào), 1998,(4).

[6]班桂寧.關(guān)于群的弱同態(tài)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1998,(3).

[7]韋華全,劉秀,黃杰山.廣義同態(tài)與算子群[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2010,(4).

[8]劉秀,韋華全，黃杰山.有關(guān)廣義自同構(gòu)群的一些結(jié)論[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,(3).

[9]王春艷，李立.環(huán)反同態(tài)保持的幾個(gè)重要性質(zhì)[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2010,(2).

[10]王春艷.環(huán)的反同態(tài)性質(zhì)的研究[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2010,(2).

[11]李立，魏連鎖.反同態(tài)與反商環(huán)[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,(5).

[12]楊子胥.近世代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

The Anti-homeomorphis mand the Anti-isomorphism in Group Theory

ZHANG Longhui, ZHAO Fengming
（Sichuan Vocational and Technical College, Suining Sichuan 629000）

In this paper, some basic properties are researched of anti-homeomorphism (anti-isomorphism)in group theory, the relationship of group homeomorphism (isomorphism) and anti-homeomorphism(anti-isomorphism) are proved, uses the anti-homeomorphism (anti-isomorphism)methods to prove the fundamental theorem of homeomorphism and isomorphism theorems of group in group theory.

Group; File Management; Anti-homeomorphism; Anti-isomorphism

O152

A

1672-2094(2014)01-0138-03

責(zé)任編輯：張隆輝

2013-12-28

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（11ZA263,11ZA264）

張隆輝（1963-），男，四川隆昌人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)編輯部副教授.研究方向：抽象代數(shù)．趙鳳鳴（1982-），女，四川閬中人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系講師，碩士.