加速退化試驗方案優(yōu)化問題經(jīng)驗參數(shù)估計方法

沈崢嶸，時鐘，游曼

（工業(yè)和信息化部電子第五研究所，廣州 510610；廣東省電子信息產(chǎn)品可靠性技術(shù)重點(diǎn)實驗室，廣州 510610；廣州市電子信息產(chǎn)品可靠性與環(huán)境工程重點(diǎn)實驗室，廣州 510610）

引言

產(chǎn)品失效是一個十分復(fù)雜的過程，一些產(chǎn)品的失效和應(yīng)力累計有關(guān)，當(dāng)產(chǎn)品性能參數(shù)隨著時間產(chǎn)生退化，最終超出產(chǎn)品性能正常閾值，導(dǎo)致產(chǎn)品故障或失效。通過這一原理，我們可以在沒有失效數(shù)據(jù)的情況下，對產(chǎn)品的壽命進(jìn)行評價。然而，許多產(chǎn)品的退化速度都很緩慢，在實驗室中我們可以采用加速退化試驗方法。加速退化試驗方法在不改變產(chǎn)品失效機(jī)理的前提下，通過加大產(chǎn)品的敏感應(yīng)力（如熱應(yīng)力、電應(yīng)力或機(jī)械應(yīng)力等）加快產(chǎn)品的性能退化，利用高應(yīng)力水平下的退化數(shù)據(jù)，外推正常使用應(yīng)力下產(chǎn)品的壽命和可靠性。加速退化試驗需要開展多組試驗，投放多個試驗樣品，應(yīng)力值的選取和樣本量的投放以及截尾時間或截尾數(shù)的確定直接影響了加速退化試驗的效率和質(zhì)量，這樣加速退化試驗的最優(yōu)設(shè)計問題成為試驗方案設(shè)計的關(guān)鍵因素。

1 加速退化試驗?zāi)Ｐ?/h2>

為了便于討論，以下說明和推導(dǎo)是基于性能參數(shù)退化是朝著性能參數(shù)的合格上邊界退化的，即為正漂移布朗運(yùn)動。

退化方程為：

式中：Y（t）——在t時刻時，產(chǎn)品的性能值，在t0（初始）時刻時，產(chǎn)品的性能（初始）值為Y（t0），在t0+Δt時刻，產(chǎn)品的性能值為Y（t0+Δt）；

μ——漂移系數(shù)，即某應(yīng)力水平下的退化速度，μ>0；

σ——擴(kuò)散系數(shù)，σ> 0，在整個加速退化試驗中，σ不隨應(yīng)力而改變；

B（Δt）——標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，B（Δt）～N（0，Δt）。

因此得到：

退化率函數(shù)是應(yīng)力的函數(shù)，其與應(yīng)力的關(guān)系可以表示為：

其中iφ為應(yīng)力元素，可以是溫度、振動、電應(yīng)力、濕度或電應(yīng)力等，jγ為其系數(shù)。

式（3）的關(guān)系可以描述大多數(shù)加速模型，如Arrhenius模型、Eyring模型和Peck模型等。

2 試驗方案優(yōu)化問題

2.1 加速退化試驗方案

恒定應(yīng)力加速退化試驗的核心目的是利用試驗數(shù)據(jù)對式（3）中的未知參數(shù) γi(i = 1,...,p)進(jìn)行估計，因最小二乘估計要求設(shè)計矩陣X為列滿序，即設(shè)計矩陣的行數(shù)要大于等于其列數(shù)，基于這一理論，恒定應(yīng)力加速退化試驗的試驗組數(shù)和未知參數(shù)數(shù)目應(yīng)滿足：n≥p。假設(shè)在恒定應(yīng)力加速退化試驗中產(chǎn)品不發(fā)生失效，每種應(yīng)力Sl（l=1,...L）共K個應(yīng)力水平（Sil,...,SiK），產(chǎn)品在每種應(yīng)力下的極限工作應(yīng)力值記為Simax，正常應(yīng)力記為Si0，則應(yīng)有（Si0≤Si1

對于單應(yīng)力加速退化試驗，試驗組數(shù)n就是應(yīng)力的n個水平。對于多應(yīng)力加速退化試驗，試驗組數(shù)n是各應(yīng)力的 n個組合。

2.2 優(yōu)化目標(biāo)

獨(dú)立增量的概率密度函數(shù)為：

其對數(shù)似然函數(shù)為：

優(yōu)化目標(biāo)為其參數(shù)極大似然估計的協(xié)方差陣最?。?/p>

對于恒定應(yīng)力加速退化試驗，其模型參數(shù)的評估精度可以用參數(shù)的極大似然估計的協(xié)方差表示，根據(jù)Cramer-Rao不等式，只要使得 fisher信息矩陣I()θ的行列式最大，就表示模型參數(shù)評估精度最高。

即 maxdet(I(θ))

約束條件從兩方面考慮，試驗成本和試驗變量范圍的約束。

試驗成本考慮：樣本費(fèi)用，即樣本單價與樣本量的乘積；實施試驗的費(fèi)用包括試驗箱、測試設(shè)備的耗損折舊，人力、電力等資源的消耗，即試驗單價與試驗時間的乘積。試驗費(fèi)用約束為

式中，Ct為試驗總成本；Cu為單位時間內(nèi)實施試驗的費(fèi)用；Cd為樣本單價。

試驗變量實際取值約束條件為

假設(shè)退化模式不隨應(yīng)力改變，為使各組應(yīng)力下都有足夠的退化信息，退化率小的應(yīng)力組合試驗不小于退化率達(dá)的組合時間，即

綜上所述，優(yōu)化問題可以描述為：

以上所述的優(yōu)化問題十分復(fù)雜，求得其解析解十分困難，我們只能用空間搜索的辦法找到其數(shù)值最優(yōu)解。

首先根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和費(fèi)用約束確定試驗時間和樣本量的取值空間。

其次，根據(jù)試驗情況，給出各應(yīng)力水平、樣本分配比和時間分配比率的搜索步長，搜索所有滿足約束條件，各組應(yīng)力的選取應(yīng)滿足退化率約束，構(gòu)成應(yīng)力S的取值空間；同樣選擇合適的步長，搜索滿足約束條件的時間分配比和樣本分配比的取值空間。

由各變量的取值空間，構(gòu)建整個優(yōu)化問題解的方案集，計算方案集中每一個方案對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)。

3 經(jīng)驗參數(shù)的粗略估計

開展加速退化試驗的目的就是對退化函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估計以推導(dǎo)出正常應(yīng)力下的退化率，進(jìn)而確定產(chǎn)品性能參數(shù)的首達(dá)時間（即壽命）。但如果對退化率中的待定參數(shù)一無所知，就無法對加速退化試驗進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，這是一個矛盾。

在開展加速退化試驗優(yōu)化設(shè)計前，需要對退化率函數(shù)中待定參數(shù)進(jìn)行粗略估計，產(chǎn)品設(shè)計人員可以按照經(jīng)驗給定待定參數(shù)。在沒有更多先驗信息的情況下，本節(jié)提供基于失效率轉(zhuǎn)化的方法對退化函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行粗略估計。

利用電子元器件失效率轉(zhuǎn)化方法獲得退化函數(shù)待定參數(shù)的粗略估計步驟如下：

3.1 獲得完整受試產(chǎn)品的元器件清單。

3.2 查閱GJB 299C得到所有元器件的基本失效率。

基本失效率選取器件在常溫、基準(zhǔn)電應(yīng)力環(huán)境溫度下的失效率。

3.3 利用IEC 61709提供的方法，計算多組應(yīng)力下的元器件失效率。

其失效率可以表示為：

λref——基準(zhǔn)條件下的失效率；

πU——電壓應(yīng)力系數(shù)；

πI——電流應(yīng)力系數(shù)；

πT——溫度應(yīng)力系數(shù)。

式中： ——工作電壓（V）；

Uref——基準(zhǔn)電壓（V）；

Urat——額定電壓（V）；

C2，C3——常數(shù)。

上述公式給出了失效率與電壓關(guān)系的經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?/p>

溫度應(yīng)力系數(shù)Tπ

式（9）是基于Arrhenius方程的經(jīng)驗?zāi)Ｐ停枋隽藴囟扰c失效率的關(guān)系。理想情況下，應(yīng)針對每類失效模式進(jìn)行計算，但通常應(yīng)用時是采用所有失效模式的平均激活能來計算溫度對失效率的影響。必須說明的是，由于溫度與不同潛在失效模式的激活能有關(guān)，在后面這種情況中激活能也可能是關(guān)于溫度的函數(shù)，但是這種受溫度的影響通?？珊雎?。

某些情況中可采用式（8）這種包含兩個激活能的更為復(fù)雜的模型描述溫度和失效率的關(guān)系，含兩個激活能（Ea1，Ea2）的模型的使用被認(rèn)為可充分為失效率和溫度關(guān)系建模。（有時將其稱為競爭風(fēng)險，詳見JESD-85）

為避免基準(zhǔn)溫度變化時激活能隨溫度變化，阿倫尼斯方程已作標(biāo)準(zhǔn)化處理：

在式（8）和式（9）：

A——常數(shù)；

Ea1，Ea2——激活能（eV）；

k0=8.616×10-5eV/K；

T0＝313K；

Tref=θref＋273（K）；

Top=θop＋273（K）。

此處θref和θop(℃)表示的是：

——對于集成電路：θref為基準(zhǔn)的實際（等效）結(jié)溫，θop為實際的（等效）結(jié)溫；

——對于分立器件和光電器件：θref為基準(zhǔn)結(jié)溫，θop為實際結(jié)溫；

——對于電容器：θref為基準(zhǔn)的電容器溫度，θop為實際的電容器溫度；

——對于電阻器：θref為平均基準(zhǔn)溫度，θop為平均的實際溫度；

——對于電感器：θref為線圈的平均基準(zhǔn)溫度，θop為線圈的平均實際溫度；

——對于其他電子元器件：θref為基準(zhǔn)環(huán)境溫度，θop為實際環(huán)境溫度。

3.4 計算各應(yīng)力下受試產(chǎn)品總失效率

根據(jù)基本可靠性的串聯(lián)模型，各個單元的失效率等于包含的所有元器件失效率之和，產(chǎn)品的失效率等于各個單元的失效率之和：

以退化率函數(shù) d( S )= exp(A + B/ T + C lnV)為例，大致估算參數(shù)A、B、C的取值，該式中，T為絕對溫度，單位為K；V為電壓，單位為V。

對退化率函數(shù)兩邊取對數(shù)，有l(wèi)nd（S）＝A+B/ T+ClnV，認(rèn)為退化率和失效率是正向相關(guān)的量，問題轉(zhuǎn)化為：

每個元器件在應(yīng)力條件下的失效率為相應(yīng)的應(yīng)力系數(shù)和基準(zhǔn)失效率的乘積，基準(zhǔn)失效率可以通過相關(guān)數(shù)據(jù)手冊查到（GJB 299或Siemense標(biāo)準(zhǔn)）。

3.5 利用最小二乘法計算退化率函數(shù)中的待估參數(shù)

設(shè)X是列滿秩矩陣，參數(shù)向量的最小二乘估計為：

此處涉及到高維矩陣求逆，可利用Matlab等數(shù)值計算軟件求得。

4 算例

某型LED照明燈具元器件的基本失效率和激活能見表1，其元器件基本失效率參看GJB 299C，激活能和參數(shù)A查看IEC 61709。

25℃下，該LED照明燈具的是效率計算過程見表2。

85℃下該型產(chǎn)品的失效率計算過程見表3。

表1 某LED產(chǎn)品主要元器件失效率

表2 該型產(chǎn)品25℃的是效率計算

表3 該型產(chǎn)品85℃下失效率預(yù)計值

把溫度和對應(yīng)的是效率帶入（6）式中，可得到參數(shù)A、B的粗略估計。

可得B=-5640，A=18.6

這樣可以粗略的認(rèn)為產(chǎn)品退化方程滿足u(T) = exp(18.6-5640/T)，進(jìn)而開展優(yōu)化設(shè)計。

5 結(jié)束語

以上總結(jié)了基于布朗漂移運(yùn)動的加速退化試驗方案優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)表達(dá)，給出了一種基于可靠性預(yù)計的加速退化試驗方案優(yōu)化問題經(jīng)驗參數(shù)粗略估計方法，為工程解上決這一問題提供了參考。

[1]茆詩松，高等數(shù)理統(tǒng)計（第二版）[M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]趙建印，基于性能退化數(shù)據(jù)的可靠性建模與應(yīng)用研究[D].湖南：國防科技大學(xué)，2005.

[3]葛蒸蒸，姜國敏 等. 基于D優(yōu)化的多應(yīng)力加速退化試驗設(shè)計[J]. 系統(tǒng)工程與電子設(shè)計. 2012, 4.

[4]Edward P.C Kao An introduction to stochastic processes[M], Wadsworth Publishing Company,1997.

[5]IEC 61709, Electric components Reliability Reference conditions for failure rates and stress models for conversion [S].

[6]JESD-85, Methods for Calculating Failure rates in units of FITs[S].