• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看

      ?

      得韋達(dá)定理者得天下

      2014-03-10 08:41:22王芳
      關(guān)鍵詞:求根韋達(dá)斜率

      王芳

      從高中最核心的數(shù)學(xué)知識和方法出發(fā),探討數(shù)學(xué)智慧.

      解析幾何創(chuàng)始人勒奈·笛卡爾曾經(jīng)在其傳世名著《思想的指導(dǎo)法則》中提出了一個解決一切問題的方法:“把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題,把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題,把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程問題.”雖然這個大膽的設(shè)想最終未能實現(xiàn),但是卻在解析幾何問題中有了重大的突破.

      “率土之濱,莫非韋達(dá)”

      直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考的命題熱點,而對于韋達(dá)定理運用的考查也主要集中在解析幾何的這一部分知識.

      圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線.它們的方程都是關(guān)于x,y的二次方程,因為與一元二次方程一樣具有“二次”的特征而備受關(guān)注.把直線方程Ax+By+C=0與圓錐曲線方程聯(lián)立并消去其中一個“元”(例如y),可以得到關(guān)于另一個“元”(例如x)的二次方程,問題立即轉(zhuǎn)化為與一元二次方程有關(guān)的問題.

      我們知道,一元二次方程中有三個“式”:判別式、求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系式. 根與系數(shù)的關(guān)系式即“韋達(dá)定理”,其內(nèi)容是:

      若一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有兩個實根x1,x2,則這兩個實根滿足x1+x2=-,x1·x2=.判別式Δ=b2-4ac≥0是運用韋達(dá)定理的前提.把用求根公式解得的兩根x1,2=分別相加與相乘即可得到韋達(dá)定理的結(jié)論.

      雖然韋達(dá)定理脫胎于求根公式,但在結(jié)構(gòu)上更簡潔,能使解題更為便利.

      例1 如圖1所示,過點P0,-且斜率為k的動直線l交橢圓O:+y2=1于A,B兩點,在y軸上是否存在定點T,使·=0?若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

      解析: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由l過點P0,-可設(shè)直線l的方程為y=kx-.聯(lián)立x2+2y2=2,y=kx-,消去y得:9(2k2+1)x2-12kx-16=0. 根據(jù)韋達(dá)定理有:x1+x2=,x1·x2=-.

      設(shè)定點T(0,t),則·=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+kx1--tkx2--t=(k2+1)x1x2-k+t(x1+x2)+t2+t+=.

      要使·=0,則需18(t2-1)k2+(9t2+6t-15)=0對任意k∈R恒成立,故應(yīng)有18(t2-1)=0 (①),9t2+6t-15=0 (②).由①得t=±1,代入②得t=1. 因此存在滿足題意的定點T(0,1).

      對于例1,如果不用韋達(dá)定理而用求根公式求解,可以得到x1,2=(這個式子有點復(fù)雜),再求出y1與y2(這兩個式子相當(dāng)復(fù)雜),接下來等待我們的是冗長煩瑣到令人抓狂的計算……

      由此說明,當(dāng)“幾何問題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)問題”并繼續(xù)向“方程問題”挺進(jìn)之后,韋達(dá)定理的優(yōu)勢就得到了充分體現(xiàn):通過“不求根而用根”,謀求“無為而治之”(見圖2).聯(lián)想中國古典名著《三國演義》所描述的一則精彩的治國之道:“賢者居上,能者居中,工者居下”,看來,韋達(dá)定理也同樣具有王者風(fēng)范!它使我們更深切地領(lǐng)悟到笛卡爾所提設(shè)想的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.

      探秘“王者之道”

      在初步領(lǐng)略到韋達(dá)定理的優(yōu)勢后,我們不禁產(chǎn)生疑問:如何為運用韋達(dá)定理做準(zhǔn)備?其實例1的求解已經(jīng)對此作了回答.我們不妨提取求解步驟的幾個關(guān)鍵詞:

      Step1: 設(shè)——設(shè)直線的方程與交點的坐標(biāo);

      Step2: 聯(lián)——聯(lián)立方程組.這是幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的重要標(biāo)志;

      Step3: 消——消元.一般消去y,有時也可以根據(jù)具體問題消去x;

      Step4: 韋——用韋達(dá)定理.這指明了不求根但用根的解題方向;

      Step5: 判——判斷判別式Δ的取值范圍.

      需要注意的是,例1中過橢圓內(nèi)一點P的直線必與橢圓相交且有兩個交點,判別式Δ的取值范圍無需再判斷.如果從題目中無法直接得出直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(是否有交點及有幾個交點),則需判斷判別式Δ的取值范圍.

      一言以蔽之,我們可以用“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟清晰地得出利用韋達(dá)定理解題的過程.在圓錐曲線相關(guān)問題的解答中,只要用到韋達(dá)定理,幾乎都可以用這個“五字訣”來操作.

      走出“量”的迷陣

      在韋達(dá)定理的實際運用中,如何走出“量”的迷陣是必須面對的問題,也是一大難點.在例1中總共出現(xiàn)了六個“量”:x1,x2,y1,y2,k,t,理清“量”的關(guān)系,正是成功運用韋達(dá)定理解題的關(guān)鍵所在.

      (1) 對“量”進(jìn)行科學(xué)分析和分類.

      雖然例1中的這些“字母”沒有確切的值,但這并不代表它們都是“未知量”.不同的k決定了相應(yīng)的x1,x2,不同的x1,x2決定了相應(yīng)的y1,y2 . x1,x2,y1,y2,k這五個量看似都在變,但地位不同:變的主因在k,若將其稱為“主變量”,那么x1,x2,y1,y2就是相對于k的“應(yīng)變量”.那么t又是什么“量”呢?從題目來看,t便是最終要求的量.

      (2) 堅定目標(biāo),明確“要求的量”.

      經(jīng)過分類,例1中各個“量”的性質(zhì)逐漸明晰.明確了“要求的量”,該消去的“量”也就一目了然了.

      (3) 根據(jù)題目所給條件,建立“量”之間的數(shù)量關(guān)系.

      例1的條件·=0是解題的突破口. 顯然,·同時含有x1,x2,y1,y2,k,t六個量,由于可以通過直線方程用x1,x2來表示y1,y2,而韋達(dá)定理又提供了k與x1,x2的關(guān)系,這樣一來,我們便通過·=0這個條件,建立了“主變量”k與“要求的量”t之間的關(guān)系(參見圖3),從而能夠進(jìn)行求解.

      解題中的運用

      下面我們再用兩道例題對運用韋達(dá)定理的關(guān)鍵點進(jìn)行鞏固.

      例2 如圖4所示,直線l過點P0,-且與橢圓O:+y2=1交于A,B兩點,若2=3,求直線l的方程.

      解析: 若直線l斜率不存在,則點A為(0,1),B(0,-1)或點A(0,-1),B(0,1),此時不滿足條件2=3.所以直線l的斜率存在.

      設(shè)l:y=kx-,按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”得到x1+x2= (①),x1·x2=- (②).韋達(dá)定理提供了x1,x2與k的關(guān)系,此時x1,x2是相對于k的“應(yīng)變量”.

      因為2=3,所以2(x1-0)=3(0-x2),-2x1=3x2. 把x1=

      -x2代入①②兩式,問題立即轉(zhuǎn)化為只含有兩個“量”——x2與k——的方程組:x2=-,=.

      題目要求的量是k,消去x2可得k=±,故所求直線方程為3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

      點評: 運用韋達(dá)定理的重要原則是“不求根而用根”.在“量”的迷陣中,只有堅定目標(biāo),始終明確要求的是哪個“量”,才能清楚地判斷解題時要消去的是哪些“量”.

      例3 如圖5所示,F(xiàn)為橢圓O:+y2=1的右焦點,C(m,0)是線段OF上的動點(不含端點O,F(xiàn)),試問是否存在過點F且不與x軸垂直的直線l與橢圓交于M,N兩點,使MC=NC?并說明理由.

      解析: 設(shè)直線l:x=ty+1(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟,可得:y1+y2=-,y1·y2=

      -.

      由點M,N 坐標(biāo)可得MN的中點E的坐標(biāo),xE===,yE==-.

      要使MC=NC,則必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1,化簡得mt2+2m-1=0,m=.

      仔細(xì)讀題可以發(fā)現(xiàn),問題的實質(zhì)是探討點C從O點出發(fā)向F點運動的過程中處于不同的位置時,滿足條件的直線l是否存在. 從代數(shù)角度看,即對應(yīng)m的不同取值,t是否有解.由m=可得t=±.由已知C(m,0)是線段OF上的動點(不含端點O,F(xiàn))可得0

      點評:只有根據(jù)題目條件MC=NC找到突破口,建立t,m之間的數(shù)量關(guān)系,才能最終順利求解.

      圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘,當(dāng)時人們得到了大量關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì).17世紀(jì)初期坐標(biāo)系的出現(xiàn),掀起了幾何問題研究“代數(shù)化”的浪潮,高中數(shù)學(xué)課程中的“圓錐曲線”問題的探討正是在這一歷史背景下展開的.韋達(dá)定理在圓錐曲線中的運用,完美詮釋了用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)思想,當(dāng)之無愧位居二次曲線解題方法之首.“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步規(guī)范操作,如王者之像,儀態(tài)端莊;“不求根而用根”,整體駕馭各種“量”的結(jié)構(gòu),超然于計算之上,決勝千里之外. 這正是:

      二次曲線用韋達(dá),糾纏常因字母卡;

      科學(xué)分類定目標(biāo),巧建關(guān)系終求解.

      【練一練】

      如圖6所示,過直線l:x-2y-4=0上的一動點P作拋物線O:x2=4y的兩條切線,切拋物線于A,B兩點,求證:直線AB過定點Q,并求出Q的坐標(biāo).

      【參考答案】

      存在定點Q(1,2).

      【提示】 此題有多種解法,通用方法是韋達(dá)定理.此處有l(wèi)與AB兩條直線,而解題目標(biāo)在直線AB,故設(shè)AB:y=kx+m,問題轉(zhuǎn)化為探究k與m兩個量的關(guān)系.

      設(shè)Ax1,,Bx2,,按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”易得: x1+x2=4k,x1·x2=-4m.

      設(shè)P(xp,yp),由y=y′=可得切線PA的斜率為,所以yp-=(xp-x1),化簡得yp=xp- (①).同理可得切線PB的斜率為,yp=xp- (②).聯(lián)立①②,解得xp==2k,yp=-==-m,P點坐標(biāo)為(2k,-m).

      因為點P在直線l上,故2k+2m-4=0,即m=2-k.代入y=kx+m,可得直線AB方程y=k(x-1)+2,因此直線AB過定點Q(1,2).

      從變量分析的角度看,此題的四個量x1,x2,k,m均為未知量,但x1,x2是相對于k,m的“應(yīng)變量”,而k與m這兩個“變量”的地位相當(dāng).因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m,這樣直線AB就只取決于一個變量,最終都可得到直線過定點(1,2).

      解析: 若直線l斜率不存在,則點A為(0,1),B(0,-1)或點A(0,-1),B(0,1),此時不滿足條件2=3.所以直線l的斜率存在.

      設(shè)l:y=kx-,按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”得到x1+x2= (①),x1·x2=- (②).韋達(dá)定理提供了x1,x2與k的關(guān)系,此時x1,x2是相對于k的“應(yīng)變量”.

      因為2=3,所以2(x1-0)=3(0-x2),-2x1=3x2. 把x1=

      -x2代入①②兩式,問題立即轉(zhuǎn)化為只含有兩個“量”——x2與k——的方程組:x2=-,=.

      題目要求的量是k,消去x2可得k=±,故所求直線方程為3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

      點評: 運用韋達(dá)定理的重要原則是“不求根而用根”.在“量”的迷陣中,只有堅定目標(biāo),始終明確要求的是哪個“量”,才能清楚地判斷解題時要消去的是哪些“量”.

      例3 如圖5所示,F(xiàn)為橢圓O:+y2=1的右焦點,C(m,0)是線段OF上的動點(不含端點O,F(xiàn)),試問是否存在過點F且不與x軸垂直的直線l與橢圓交于M,N兩點,使MC=NC?并說明理由.

      解析: 設(shè)直線l:x=ty+1(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟,可得:y1+y2=-,y1·y2=

      -.

      由點M,N 坐標(biāo)可得MN的中點E的坐標(biāo),xE===,yE==-.

      要使MC=NC,則必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1,化簡得mt2+2m-1=0,m=.

      仔細(xì)讀題可以發(fā)現(xiàn),問題的實質(zhì)是探討點C從O點出發(fā)向F點運動的過程中處于不同的位置時,滿足條件的直線l是否存在. 從代數(shù)角度看,即對應(yīng)m的不同取值,t是否有解.由m=可得t=±.由已知C(m,0)是線段OF上的動點(不含端點O,F(xiàn))可得0

      點評:只有根據(jù)題目條件MC=NC找到突破口,建立t,m之間的數(shù)量關(guān)系,才能最終順利求解.

      圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘,當(dāng)時人們得到了大量關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì).17世紀(jì)初期坐標(biāo)系的出現(xiàn),掀起了幾何問題研究“代數(shù)化”的浪潮,高中數(shù)學(xué)課程中的“圓錐曲線”問題的探討正是在這一歷史背景下展開的.韋達(dá)定理在圓錐曲線中的運用,完美詮釋了用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)思想,當(dāng)之無愧位居二次曲線解題方法之首.“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步規(guī)范操作,如王者之像,儀態(tài)端莊;“不求根而用根”,整體駕馭各種“量”的結(jié)構(gòu),超然于計算之上,決勝千里之外. 這正是:

      二次曲線用韋達(dá),糾纏常因字母卡;

      科學(xué)分類定目標(biāo),巧建關(guān)系終求解.

      【練一練】

      如圖6所示,過直線l:x-2y-4=0上的一動點P作拋物線O:x2=4y的兩條切線,切拋物線于A,B兩點,求證:直線AB過定點Q,并求出Q的坐標(biāo).

      【參考答案】

      存在定點Q(1,2).

      【提示】 此題有多種解法,通用方法是韋達(dá)定理.此處有l(wèi)與AB兩條直線,而解題目標(biāo)在直線AB,故設(shè)AB:y=kx+m,問題轉(zhuǎn)化為探究k與m兩個量的關(guān)系.

      設(shè)Ax1,,Bx2,,按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”易得: x1+x2=4k,x1·x2=-4m.

      設(shè)P(xp,yp),由y=y′=可得切線PA的斜率為,所以yp-=(xp-x1),化簡得yp=xp- (①).同理可得切線PB的斜率為,yp=xp- (②).聯(lián)立①②,解得xp==2k,yp=-==-m,P點坐標(biāo)為(2k,-m).

      因為點P在直線l上,故2k+2m-4=0,即m=2-k.代入y=kx+m,可得直線AB方程y=k(x-1)+2,因此直線AB過定點Q(1,2).

      從變量分析的角度看,此題的四個量x1,x2,k,m均為未知量,但x1,x2是相對于k,m的“應(yīng)變量”,而k與m這兩個“變量”的地位相當(dāng).因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m,這樣直線AB就只取決于一個變量,最終都可得到直線過定點(1,2).

      解析: 若直線l斜率不存在,則點A為(0,1),B(0,-1)或點A(0,-1),B(0,1),此時不滿足條件2=3.所以直線l的斜率存在.

      設(shè)l:y=kx-,按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”得到x1+x2= (①),x1·x2=- (②).韋達(dá)定理提供了x1,x2與k的關(guān)系,此時x1,x2是相對于k的“應(yīng)變量”.

      因為2=3,所以2(x1-0)=3(0-x2),-2x1=3x2. 把x1=

      -x2代入①②兩式,問題立即轉(zhuǎn)化為只含有兩個“量”——x2與k——的方程組:x2=-,=.

      題目要求的量是k,消去x2可得k=±,故所求直線方程為3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

      點評: 運用韋達(dá)定理的重要原則是“不求根而用根”.在“量”的迷陣中,只有堅定目標(biāo),始終明確要求的是哪個“量”,才能清楚地判斷解題時要消去的是哪些“量”.

      例3 如圖5所示,F(xiàn)為橢圓O:+y2=1的右焦點,C(m,0)是線段OF上的動點(不含端點O,F(xiàn)),試問是否存在過點F且不與x軸垂直的直線l與橢圓交于M,N兩點,使MC=NC?并說明理由.

      解析: 設(shè)直線l:x=ty+1(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟,可得:y1+y2=-,y1·y2=

      -.

      由點M,N 坐標(biāo)可得MN的中點E的坐標(biāo),xE===,yE==-.

      要使MC=NC,則必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1,化簡得mt2+2m-1=0,m=.

      仔細(xì)讀題可以發(fā)現(xiàn),問題的實質(zhì)是探討點C從O點出發(fā)向F點運動的過程中處于不同的位置時,滿足條件的直線l是否存在. 從代數(shù)角度看,即對應(yīng)m的不同取值,t是否有解.由m=可得t=±.由已知C(m,0)是線段OF上的動點(不含端點O,F(xiàn))可得0

      點評:只有根據(jù)題目條件MC=NC找到突破口,建立t,m之間的數(shù)量關(guān)系,才能最終順利求解.

      圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘,當(dāng)時人們得到了大量關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì).17世紀(jì)初期坐標(biāo)系的出現(xiàn),掀起了幾何問題研究“代數(shù)化”的浪潮,高中數(shù)學(xué)課程中的“圓錐曲線”問題的探討正是在這一歷史背景下展開的.韋達(dá)定理在圓錐曲線中的運用,完美詮釋了用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)思想,當(dāng)之無愧位居二次曲線解題方法之首.“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步規(guī)范操作,如王者之像,儀態(tài)端莊;“不求根而用根”,整體駕馭各種“量”的結(jié)構(gòu),超然于計算之上,決勝千里之外. 這正是:

      二次曲線用韋達(dá),糾纏常因字母卡;

      科學(xué)分類定目標(biāo),巧建關(guān)系終求解.

      【練一練】

      如圖6所示,過直線l:x-2y-4=0上的一動點P作拋物線O:x2=4y的兩條切線,切拋物線于A,B兩點,求證:直線AB過定點Q,并求出Q的坐標(biāo).

      【參考答案】

      存在定點Q(1,2).

      【提示】 此題有多種解法,通用方法是韋達(dá)定理.此處有l(wèi)與AB兩條直線,而解題目標(biāo)在直線AB,故設(shè)AB:y=kx+m,問題轉(zhuǎn)化為探究k與m兩個量的關(guān)系.

      設(shè)Ax1,,Bx2,,按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”易得: x1+x2=4k,x1·x2=-4m.

      設(shè)P(xp,yp),由y=y′=可得切線PA的斜率為,所以yp-=(xp-x1),化簡得yp=xp- (①).同理可得切線PB的斜率為,yp=xp- (②).聯(lián)立①②,解得xp==2k,yp=-==-m,P點坐標(biāo)為(2k,-m).

      因為點P在直線l上,故2k+2m-4=0,即m=2-k.代入y=kx+m,可得直線AB方程y=k(x-1)+2,因此直線AB過定點Q(1,2).

      從變量分析的角度看,此題的四個量x1,x2,k,m均為未知量,但x1,x2是相對于k,m的“應(yīng)變量”,而k與m這兩個“變量”的地位相當(dāng).因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m,這樣直線AB就只取決于一個變量,最終都可得到直線過定點(1,2).

      猜你喜歡
      求根韋達(dá)斜率
      方程之思——從丟番圖到韋達(dá)
      圓錐曲線中“韋達(dá)結(jié)構(gòu)與準(zhǔn)韋達(dá)結(jié)構(gòu)”問題探析
      圓錐曲線中“韋達(dá)結(jié)構(gòu)與準(zhǔn)韋達(dá)結(jié)構(gòu)”問題探析
      物理圖像斜率的變化探討
      物理之友(2020年12期)2020-07-16 05:39:16
      用換元法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式
      不可輕視求根公式
      對某些特殊一元四次方程求根公式的推導(dǎo)
      祖國(2017年21期)2018-01-02 00:55:21
      韋達(dá)遞降(升)法及其應(yīng)用
      求斜率型分式的取值范圍
      基于子孔徑斜率離散采樣的波前重構(gòu)
      芦山县| 黑山县| 财经| 社旗县| 安仁县| 闽清县| 邳州市| 仲巴县| 武陟县| 民乐县| 苍梧县| 平利县| 绥宁县| 青神县| 华蓥市| 镇平县| 双柏县| 修水县| 威远县| 牡丹江市| 青海省| 城步| 浙江省| 杨浦区| 宁明县| 商河县| 双鸭山市| 澎湖县| 白朗县| 西昌市| 富蕴县| 茂名市| 车险| 潞西市| 黄浦区| 红原县| 嘉义市| 天水市| 武清区| 富川| 新源县|