李娜娜，鄒東堯，陳昌海

(1．鄭州輕工業(yè)學(xué)院計算機(jī)與通信工程學(xué)院，河南鄭州450002;2． 四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣信息工程系，四川 德陽618000;3．北京郵電大學(xué) 泛網(wǎng)無線通信教育部重點實驗室，北京100876)

0 引言

自從Gupta 對分布式網(wǎng)絡(luò)容量［1］進(jìn)行了創(chuàng)新性的定義之后，人們對分布式網(wǎng)絡(luò)容量進(jìn)行大量的研究，其中Weber 做出了尤為重要的貢獻(xiàn)． 在文獻(xiàn)［2］中，Weber 重新定義了能夠用來衡量分布式網(wǎng)絡(luò)容量的參量，即傳輸容量(Transmission Capacity，TC)，其被定義為:通信中斷概率受限時，網(wǎng)絡(luò)在單位面積上能夠?qū)崿F(xiàn)的成功通信數(shù)量． 由于使用了隨機(jī)幾何理論對分布式網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模，使得人們可以用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到TC 的上下界，并可以得到TC 在一些特殊情況下的閉合表達(dá)式，人們在此基礎(chǔ)上可以使用各種傳輸技術(shù)來進(jìn)行進(jìn)一步的研究，如多天線［3］，干擾消除［4］，感知技術(shù)［5］等．

Weber 的網(wǎng)絡(luò)模型被認(rèn)為是分布式網(wǎng)絡(luò)容量研究中一種最經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)模型，使用隨機(jī)幾何理論進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)建模研究TC 的方法得到了業(yè)界的廣泛認(rèn)同．但是這種經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)模型同樣存在不足，該模型中任意發(fā)送機(jī)(Transmitter，TX)可以在其最大中繼距離Rm內(nèi)隨機(jī)選擇一個中繼接收機(jī)(Receiver，RX)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，但是這個選擇并沒有方向性，無法保證數(shù)據(jù)傳輸能夠最終到達(dá)目的RX 處．文獻(xiàn)［6］中提出了改進(jìn)的系統(tǒng)模型，規(guī)定了任意TX 需在指向目的接收機(jī)方向選擇中繼RX，并定義了空間進(jìn)度密度(Spatial Density of Progress，SDP)來衡量分布式網(wǎng)絡(luò)容量的大?。褂眠@種改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)模型，可以確保中繼RX 比TX更接近目的RX，但是需要滿足目的RX 位于無窮遠(yuǎn)處這一假設(shè)條件，然而實際中目的RX 卻都是位于有限遠(yuǎn)處的． 文獻(xiàn)［7］定義了新的網(wǎng)絡(luò)模型來試圖解決這個問題，規(guī)定了目的RX 位于TX 有限遠(yuǎn)處，在兩者之間有等間距的幾個固定中繼RX 來輔助信息傳輸，并定義了隨機(jī)接入傳輸容量(Random Access Transport Capacity，RATC)來衡量網(wǎng)絡(luò)容量的大?。?文獻(xiàn)［7］突破了近年來局限于單跳網(wǎng)絡(luò)容量研究的狀況，開始嘗試對端到端的多跳網(wǎng)絡(luò)容量進(jìn)行研究，但是由于中繼RX是人為設(shè)置好的固定中繼，與實際中繼RX 隨機(jī)分布的情況不符，所以沒有繼續(xù)深入的研究成果出現(xiàn)．

基于文獻(xiàn)［7］的研究成果，筆者將使用RATC來衡量多跳網(wǎng)絡(luò)容量的大小，重新定義可用于研究多跳網(wǎng)絡(luò)容量的網(wǎng)絡(luò)模型，假定目的RX 位于有限遠(yuǎn)處，中繼RX 隨機(jī)分布，并提出新的中繼RX 選擇策略來確保數(shù)據(jù)經(jīng)過有限次數(shù)中繼后能夠成功到達(dá)目的RX 處．

1 系統(tǒng)模型和參數(shù)說明

在一個網(wǎng)絡(luò)規(guī)模沒有限制的分布式網(wǎng)絡(luò)中，所有通信使用相同的頻率，同一時隙中TX 的位置在二維平面上服從密度為λ 的泊松點過程(Poisson Point Process，PPP)(Π)分布，則在一個半徑為R 的圓形區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)k 個TXs 的概率為Pr(k in R)，如式(1)所示．在網(wǎng)絡(luò)中任意TX 都有唯一一個RX(不屬于Π)與之對應(yīng)，本研究使用編號i 表示由TXi 和RXi 構(gòu)成的通信對． 使用文獻(xiàn)［2］的經(jīng)典研究方法，把一個參考RX

放在二維坐標(biāo)的原點，這個參考RX 和它相對應(yīng)的TX 組成編號記為0(0?Π)通信對． 由于PPP具有平穩(wěn)性，所以RX0 處統(tǒng)計特性的研究結(jié)果與任意RXi(i≠0)處是一樣的，且RX0 處接收到的任意TXi(i ≠0)發(fā)送的信號都被認(rèn)為是干擾信號．

任意TXi 使用固定功率P 發(fā)送信號，路徑損耗因子為α(α ＞2)，任意TXi 與RXj 之間的小尺度衰落為Hij，TXi 距離RX0 的距離記為Xi，則RX0 處的總干擾信號功率為∑i∈ΠPHijX-αi． 本研究中小尺度衰落為瑞利衰落，其功率衰減因子服從參數(shù)為τ 的指數(shù)分布． 任意RX 處的信號與干擾功率之比的最低門限要求記為β，TX0 和RX0之間的距離(也可以叫中繼傳輸距離)記為R，則RX0 處的中斷概率為q(l)，如式(2)所示．其中，Π 如式(3)所示．

定義源TX 和目的RX 之間距離為L，且源TX 無法將數(shù)據(jù)直接發(fā)送到目的RX，需要經(jīng)過多次中繼傳輸，任意一次中繼傳輸?shù)淖畲笾欣^距離為Rm．圖1 為中繼RX 選擇區(qū)域示意圖，如圖1 所示，節(jié)點A 為一次中繼傳輸中的TX，節(jié)點C 為目的RX，則AC≤L;圖中扇形陰影部分為TX 的中繼RX 選擇區(qū)域，此區(qū)域有3 個因素決定:扇形區(qū)域的中軸線為指向目的節(jié)點C 方向，扇形的半徑Rm表示一次中繼傳輸?shù)淖畲缶嚯x，角度θ 限定了中繼RX 選擇的角度范圍為［-θ，θ］．

在多跳傳輸中，除最后一跳外，中繼RX 使用隨機(jī)選擇策略，則中繼傳輸距離R 的概率密度公式為fR(r)，如式(4)所示． 當(dāng)數(shù)據(jù)到達(dá)節(jié)點距離目的節(jié)點的距離小于Rm時，數(shù)據(jù)能直接傳輸?shù)侥康墓?jié)點，定義這一跳為最后一跳，即

圖1 中繼RX 選擇區(qū)域Fig．1 The region for the selection of relay RX

目的節(jié)點作為數(shù)據(jù)的接收節(jié)點，且假定傳輸必定成功．最后一跳的設(shè)定可以在最大程度上保證數(shù)據(jù)在有限跳數(shù)內(nèi)被傳送到目的節(jié)點，并且可以避免令人尷尬的情況出現(xiàn)，即數(shù)據(jù)已經(jīng)到達(dá)目的節(jié)點附近，還不斷選擇目的節(jié)點附近的其它節(jié)點進(jìn)行中繼傳輸．

分布式網(wǎng)絡(luò)容量的研究都是基于中斷概率受限這一前提，最大中斷概率記為ε，令q( λ) =ε 可以求得對應(yīng)于ε 的最大TX 密度λε，參考文獻(xiàn)［7］中隨機(jī)接入傳送容量的定義，網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)接入傳送容量可以被定義為

2 隨機(jī)接入傳送容量的研究

2．1 中繼RX 選擇區(qū)域的的進(jìn)一步定義

圖1 所定義的中繼RX 選擇區(qū)域給出了對于角度θ 的約束條件，即θ≤∠DAC．但是，每一次中繼傳輸時TX 與目的RX 之間的距離都會發(fā)生變化，∠DAC 的大小也會隨之變化，所以還需要進(jìn)一步明確角度θ 的約束條件．

定理1:在分布式網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)目的RX 位于有限遠(yuǎn)處L(L ＞Rm)時，定義由最大傳輸距離Rm和角度范圍［-θ，θ］確定的指向目的RX 的扇形中繼RX 選擇區(qū)域，當(dāng)θ≤π/3 時，數(shù)據(jù)能夠在有限跳數(shù)內(nèi)傳送到目的RX．

證明:筆者的研究基于L ＞Rm這一條件，此時源TX 無法直接把數(shù)據(jù)發(fā)送到目的RX，需要選擇中繼傳輸． 如圖1 所示，以目的節(jié)點C 為圓心且以線段AC 長為半徑畫圓，并與以TX 為圓心且以最大傳輸距離Rm為半徑所畫的圓相交與D，則由兩圓相交區(qū)域所確定的最大中繼RX 選擇區(qū)域如圖1 中陰影部分所示，此時θ =∠DAC，為最大值，實際中只要滿足公式(6)的約束條件就可以．從目的節(jié)點C 向AD 做垂直線并交AD 與F 點，則由三角函數(shù)的定義可以得到式(7)．

以節(jié)點C 為圓心且Rm為半徑畫圓交AC 與點B，當(dāng)節(jié)點A→B 時，有AC→Rm，根據(jù)公式(7)可以得到∠DAC→π/3，此時∠DAC 取最小值，結(jié)合公式(6)可以得到θ≤π/3，證明完畢．

綜上所述，角度θ≤π/3 時，數(shù)據(jù)能在有限跳數(shù)內(nèi)從源TX 發(fā)送到目的RX，中繼RX 選擇區(qū)域的角度范圍為［-θ，θ］．

2．2 隨機(jī)接入傳送容量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

本節(jié)將在定理1 所定義的中繼RX 選擇區(qū)域基礎(chǔ)上進(jìn)行隨機(jī)接入傳送容量的公式推導(dǎo)．

當(dāng)中繼距離R=r 時，中斷概率的公式(2)經(jīng)過變換可以得到式(8)． 因為功率衰減因子服從參數(shù)為τ 的指數(shù)分布，則可得到式(9)．結(jié)合公式(8)和(9)可以得到式(10)．其中LIΠ(* )是IΠ的概率密度函數(shù)的拉普拉斯變換． 使用與文獻(xiàn)［8］中附錄相似的證明過程可以得到式(11)．

式中:γ = 2/α．

由于H 服從參數(shù)為τ 的指數(shù)分布，因此，

把Γ(1 + γ)Γ(1 + γ)= γπcsc(γπ)和式(12)代入公式(11)可以得到式(13)． 把式(13)代入式(10)可以得到當(dāng)中繼距離R = r 時的中斷概率表達(dá)式q(λ| R = r)如式(14)所示．結(jié)合式(4)和(14)可以得到網(wǎng)絡(luò)的中斷概率q(λ)，如式(15)所示．

令q(λ)=ε，利用公式(15)可以求得對應(yīng)于最大中斷概率ε 時的最大TX 密度λε如式(16)所示．其中ProductLog(* )是函數(shù)f(x)=xex的反函數(shù)，且δ =1/(1 - ε)． 最后，把式(16)代入式(5)，可以得到隨機(jī)接入傳送容量C 的數(shù)學(xué)表達(dá)式．

3 仿真和性能分析

這一節(jié)中，當(dāng)沒有額外說明時，仿真參數(shù)設(shè)置為Rm=20 m，β=3，α=4，θ=

圖2 是隨機(jī)接入傳送容量C 相對于最大中斷概率ε 的曲線圖．如圖所示，隨機(jī)接入傳送容量隨著最大中斷概率ε 的增加而增大． 這是因為C的大小主要取決于由式(16)所確定的對應(yīng)于ε最大TX 密度λε和中繼傳輸?shù)某晒Ω怕?1 -ε)的乘積，當(dāng)ε 增大時，TX 密度λε變大，成功概率(1 -ε)變小，可是(1 -ε)變小的速度沒有λε變大的速度快，最終導(dǎo)致了隨機(jī)接入傳送容量C 的增加．ε 增大時TX 密度λε會隨之增加，會使得系統(tǒng)內(nèi)的干擾信號功率增加，最終導(dǎo)致C 的增加變得緩慢．

圖2 隨機(jī)接入傳送容量C 相對于最大中斷概率ε 曲線圖Fig．2 The random access transport capacity C versus ε the maximum probability of outage

4 結(jié)論

定義了新的網(wǎng)絡(luò)模型，可以用于研究分布式網(wǎng)絡(luò)中端到端的多跳網(wǎng)絡(luò)容量，并對中繼次數(shù)和隨機(jī)接入傳送容量進(jìn)行了理論推導(dǎo)和仿真分析．但是本研究還不夠深入，如中繼RX 選擇區(qū)域中角度θ 對網(wǎng)絡(luò)性能的影響，多天線和干擾消除技術(shù)對多跳網(wǎng)絡(luò)容量的影響等，這些都還需要繼續(xù)研究．

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