周 薔，劉長有

（1.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，江蘇南京210016；2.中國民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院，天津300300）

0 引言

為了合理地優(yōu)化配置航空運(yùn)輸資源，有關(guān)航班在非熱點城市實行航班轉(zhuǎn)機(jī)運(yùn)輸已成為航空運(yùn)輸與相關(guān)組織研究的一大熱點，這就形成了多航段艙位控制問題。單航段航線只需要考慮一個起點的收益與座艙分配問題，而多航段在考慮起飛點的同時，還必須兼顧中轉(zhuǎn)點的顧客及收益問題。航空公司力求從收益管理的角度出發(fā)，對起飛點與中轉(zhuǎn)點進(jìn)行統(tǒng)一考慮，實現(xiàn)整體利潤的最大化。1972年，文獻(xiàn)［1］就單航段、兩級票價價格的艙位控制問題提出了邊際收益的概念。1987年，文獻(xiàn)［2］提出了邊際期望座位收益方法（EMSR），這種方法已經(jīng)成為各航空公司艙位控制的經(jīng)典方法。1995年，文獻(xiàn)［3］就需求函數(shù)是一般函數(shù)的情形提出了兩級票價結(jié)構(gòu)的收益管理模型。文獻(xiàn)［4－5］在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，又考慮了風(fēng)險因素及多種票價，提出了另外一種兩級票價結(jié)構(gòu)的收益管理模型，最后還證明了最優(yōu)價格僅能從給定價格集的子集中取得，這一理論被稱為最大凹向包絡(luò)理論。2004年，文獻(xiàn)［6］根據(jù)最大凹向包絡(luò)理論分析了單航段的航空公司收益與艙位控制問題。對于多航段艙位控制的研究國外起步較早，也已經(jīng)有了很多成果，而國內(nèi)還處于起步階段。2005年，文獻(xiàn)［7］根據(jù)遺傳算法構(gòu)建了航空收益管理中的多航段艙位控制模型，但艙位的嵌套控制問題沒有在這個模型中被考慮到。2010年，文獻(xiàn)［8］針對航空貨運(yùn)收益，提出了基于橢球體的多航段艙位控制穩(wěn)健優(yōu)化模型，并結(jié)合粒子群算法求解。2012年，文獻(xiàn)［9］對航空收益管理的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了歸納。近年的多航段艙位控制研究，大多使用人工智能優(yōu)化算法，此類算法需要反復(fù)迭代，計算量較大，一般不考慮艙位的嵌套控制問題。

本文將同時考慮多航段航空客運(yùn)中的價格收益與艙位控制問題，將每個航段上的艙位視為獨立的個體，然后根據(jù)最大凹向包絡(luò)理論以及連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃理論，分析研究多航段航班的動態(tài)價格與艙位控制，提出了一個考慮艙位價格嵌套的多航段艙位控制及定價策略模型。

1 問題描述與模型

目前的EMSR方法能很好地計算單航線的收益，是因為單航線是基于航段與航線的統(tǒng)一，也就是說，如果能保證航段收益的最大化，也就等同于保證了航線的最大化，但對于多航段的航班來說，單一航段收益的最大化可能與航線收益最大化是相互矛盾的［10］。在這種情況下，有必要提出適合多航段的艙位控制與收益模型，來保證多航段航班在整個航線上能實現(xiàn)收益的最大化。

設(shè)某航班的座位總數(shù)為M，艙位等級數(shù)為K，客流類型（不同航段上的客流）數(shù)為N，飛機(jī)起飛時間為T。對于屬于第n類客流的第k個艙位等級給定的可行價格集合為Pnk＝ { p，，…，p，其中，mnk為第n類客流第k個艙位等級的可行價格數(shù)目，則假定：

設(shè)到時刻t為止，第n類客流的剩余可售座位數(shù)為Sn（t），λ（t）為對應(yīng)p的需求密度函數(shù)，則時刻t艙位等級k在航段n上的價格與艙位分配的統(tǒng)一策略可表示為：

其中，fn（u，t）容易得到，實例分析中將給出僅一個中轉(zhuǎn)點（即航段數(shù)為3）時的形式。根據(jù)連續(xù)控制系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃理論，可構(gòu)建Ham ilton-Jacobi方程［6，11－14］：

其中，S＝（S1（t），S2（t），…，SN（t））T；f＝（f1（u，t），f2（u，t），…，fN（u，t））T。由于座位數(shù)為整數(shù)，則可用差分形式離散化。求得，再根據(jù)邊界條件即可求得Ju*，從而得到最優(yōu)策略u*。

2 模型求解

對于本文的多航段航線的收益與艙位控制模型，結(jié)合文獻(xiàn)［5］的最大凹向包絡(luò)理論和Ham ilton-Jacobi控制方程來求解。文獻(xiàn)［6］在單航段航線的定價策略研究中使用了類似方法，本文將其推廣到多航段航線問題中。

第1步：利用最大凹向包絡(luò)理論確定各航段各艙位的最優(yōu)價格集。文獻(xiàn)［5］證明，對于任一價格集合，存在最大凹向包絡(luò)子集，最優(yōu)價格只能從該子集中產(chǎn)生。

若t時刻航段n艙位等級k開放，最優(yōu)價格只從Pnk的子集P中選擇，最優(yōu)價格集P滿足以下性質(zhì)：（Ⅰ）r（λ）是λ的遞增凹函數(shù)，其中＝；（Ⅱ）對應(yīng)任一集合P，P?P?Pnk，P對應(yīng)的r（λ）為λ的非遞增凹函數(shù)；（Ⅲ）若?P，則在任意時刻，均不開放。為便于表述，后文均假定P＝｛，，…，｝。

第2步：艙位控制。根據(jù)Ham ilton-Jacobi方程（見式（3））可得：

代入fn（u，t）的表達(dá)式可得，如果t時刻航段n艙位等級k開放，則其充要條件為：

第3步：開放艙位最優(yōu)價格選擇。文獻(xiàn)［5］導(dǎo)出了單航段某個艙位等級某種價格被選擇的充要條件。結(jié)合最大凹向包絡(luò)子集性質(zhì)，推廣到多航段問題，則在t時刻航段n艙位等級k以價格p開放的充要條件為：

3 實例分析

某航空公司有一條從廣州－武漢－西寧的航線，執(zhí)行該航線的飛機(jī)有商用座位數(shù)為150個，其中艙位等級有公務(wù)艙與經(jīng)濟(jì)艙兩種。為了方便計算，對每個航段進(jìn)行編號，其中廣州－西寧為1，廣州－武漢為2，武漢－西寧為3。表1給出了各個航段各個艙位的價格集，以及對應(yīng)的需求密度，并計算出了價格和需求密度的乘積（收入）。

表1 價格－需求密度表

3.1 求解最優(yōu)價格集

作出收入與需求密度的關(guān)系圖，如圖1所示，利用最大凹向包絡(luò)理論可得，航段n艙位等級k的最優(yōu)價格集P為：

圖1 收入（r）－需求密度（λ）關(guān)系圖

3.2 求解Ham ilton-Jacobi方程

下面給出Hamilton-Jacobi方程的具體形式，首先需確定方程（2）中的fn（u，t）。為簡化求解，航班“廣州 －武漢 －西寧”可看成“廣州－武漢”“武漢 －西寧”兩段單航線，“廣州－西寧”可由這兩段單航線組合而成，則方程（2）的fn（u，t）為：

由于航段1可看成由航段2和航段3組合而成，故簡化掉了f1（u，t），而Sn（t）（n＝2，3）可理解為航段2和航段3上空閑的座位數(shù)。再給出的差分離散化形式：

其中，Ju*（t，M2，M3）表示當(dāng)t時刻航段2、3空閑座位數(shù)分別為M2、M3時，從t到T時刻的最佳收益。將方程（7）和方程（8）代入式（3）即可得到Hamilton-Jacobi方程，再導(dǎo)出方程（6）所表示的各個價格開放的充要條件：

易得Hamilton-Jacobi方程的邊界條件：①Ju*（t，0，0）＝0；②Ju*（T，M2，M3）＝0，在T的一左鄰域內(nèi)，所有艙位以最低價開放。求解Ju*，即可得到u*。對于Ju*（t，M2，0）和Ju*（t，0，M3）可看成單航段問題，文獻(xiàn)［6］給出了具體的求解步驟，在此不作詳述。對于M2，M3＞0的情形，根據(jù)常數(shù)變異法，可寫出方程通解為：

若在［t，tf］內(nèi)u*與t無關(guān)（因u是取值離散的，u*必為分段與t無關(guān)的函數(shù)），則

［0，T］可分解為若干個區(qū)間［t，tf］進(jìn)行求解，區(qū)間內(nèi)u*與t無關(guān)，區(qū)間邊界u*跳變，求解方法是文獻(xiàn)［6］的單航段的求解方法的推廣，篇幅限制不作詳述。從M2，M3＝0開始遞推，即可計算出任意M2，M3＞0的Ju*，最終計算得Ju*（0，M，M）為問題解。

3.3 算法穩(wěn)定性分析

座位數(shù)較多時，方程（10）需采用數(shù)值積分求解。從tf＝T遞推計算每個區(qū)間［T，t1f］，［t1f，t2f］，［t2f，］，…，［，0］，需分析此遞推過程的穩(wěn)定性。根據(jù)方程（9）和方程（10）有：

說明若誤差恒為正（或負(fù)），前一計算誤差無縮小無放大地疊加到后一計算結(jié)果中，算法不穩(wěn)定；若誤差正負(fù)值交錯出現(xiàn)，正負(fù)相抵，算法穩(wěn)定。因而，求解過程要使誤差正負(fù)等概率。

根據(jù)方程（10）可得：則方程（10）的遞推過程是穩(wěn)定的，即隨著M2，M3的增加，前面計算的誤差衰減。

3.4 求解結(jié)果

利用Matlab軟件編程求解艙位控制與最優(yōu)價格策略，求解得到在預(yù)剩余售期為T、剩余座位數(shù)為150時的最優(yōu)價格策略，如表2所示。

表2 不同剩余預(yù)售期下的最優(yōu)價格策略

從表2可看出：剩余預(yù)售期增大，最優(yōu)價格傾向較高價，這是由于剩余預(yù)售期越大，售完全部座位要求的需求密度越小，則可以選擇較高的價格，以獲得較大的收益。由表2還可看出：剩余預(yù)售期增大到一定程度時，有部分航段部分艙位不開放售票，這是由于剩余預(yù)售期較長時，停止部分收益率較低的艙位的售票，同樣能把全部座位售完，以獲得更大收益。以上分析可見，求解得到的最優(yōu)價格策略與實際相符。

3.5 仿真模擬

為了驗證最優(yōu)價格策略的最優(yōu)性，同時分析最優(yōu)價格策略下的售票特性，對售票過程進(jìn)行蒙特卡羅仿真模擬。

為驗證最優(yōu)價格策略的最優(yōu)性，設(shè)待出售總座位數(shù)為150，在不同預(yù)售期長度下，分別使用最優(yōu)價格策略、最高價格策略和最低價格策略進(jìn)行20次仿真，計算得不同價格策略下20次仿真的平均總收益，如圖2所示。

為觀察最優(yōu)價格策略下不同航段的售票狀況，設(shè)待出售總座位數(shù)為150，在不同預(yù)售期長度下，采用最優(yōu)價格策略進(jìn)行20次仿真，計算得不同航段20次仿真的平均售票量和平均收益，如圖3和圖4所示。

圖2 不同預(yù)售期長度下，3種售票策略的總收益

從圖2可看出：在不同預(yù)售期長度下，最優(yōu)價格策略的總收益始終大于最高和最低價格策略，體現(xiàn)了最優(yōu)價格策略的優(yōu)越性。由圖2還可看出：預(yù)售期長度較短時，3種策略的總收益相差不大。這是由于預(yù)售期較短時，最優(yōu)價格策略接近最高價格策略，而最高價格策略出售的票量較少，最低價格策略出售的票量較多，從而使三者結(jié)果相差不大；當(dāng)預(yù)售期大于20 d時，最低價格策略的總收益不再隨著預(yù)售期增大，這是由于20 d足夠以最低價售完所有票，預(yù)售期大于20 d，較高的價格策略將可獲得更高的收益；當(dāng)預(yù)售期大于100 d后，最優(yōu)價格策略的收益不再增加，因而最佳預(yù)售期長度為100 d。

從圖3可看出：總體上，航段1“廣州－西寧”的售票量最多，航段2“廣州－武漢”次之，航段3“武漢－西寧”售票量最少，這是由于“廣州－西寧”為始發(fā)－終點站航段，收益較大，應(yīng)更多出售始發(fā)－終點站航段機(jī)票。

從圖4可看出：航段1的收益明顯大于航段2和航段3的收益，這與圖3的分析結(jié)果一致，因而應(yīng)更多地出售收益較大的始發(fā)－終點站航段機(jī)票。

圖3 不同預(yù)售期長度下，3條航段的最優(yōu)售票量

圖4 不同預(yù)售期長度下，3條航段的最優(yōu)收益

4 結(jié)論

本文基于收益管理的思想，以航空客運(yùn)中的多航段航線的收益最大化為目標(biāo)，采用最大凹向包絡(luò)理論與Hamilton-Jacobi控制方程建立了多航段航線的動態(tài)價格與艙位控制分析模型，該模型能根據(jù)剩余售票時間、剩余座位，以及不同航段上的需求量，決定任意時刻每個艙位是否開放，以哪種價格開放。最后通過實例分析表明：模型能為多航段航線的艙位分配及價格的制定提供一個快速有效的決策參考，可推廣到更多航段的情形。

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