盧文方

摘要：數(shù)學(xué)反思性教學(xué)不僅能使教師成長(zhǎng)為研究型的教育者，而且可以幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，為他們提供發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，這必將提高他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，使數(shù)學(xué)成為大眾的數(shù)學(xué)，這也是我們每一位數(shù)學(xué)工作者義不容辭的責(zé)任。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);反思性教學(xué);教師

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1992-7711（2014）11-0080

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，反思性教學(xué)具有重要的地位和作用。反思性教學(xué)的一個(gè)重要特征是“兩個(gè)‘學(xué)會(huì)加速師生共同發(fā)展”，在反思性教學(xué)中，教學(xué)的主體——教師和學(xué)生都可以成為反思的實(shí)踐者。新課程非常強(qiáng)調(diào)教師的教學(xué)反思能力，美國(guó)著名的學(xué)者波斯納提出教師的成長(zhǎng)公式是：教師成長(zhǎng)=教學(xué)過(guò)程+反思;我國(guó)著名的心理學(xué)家林崇德也提出“優(yōu)秀教師=教學(xué)過(guò)程+反思”的公式。正如肖川博士所說(shuō)：“一個(gè)有事業(yè)心和使命感的教師，理當(dāng)作為教育的探索者，其探索的最佳門(mén)徑就是從自我反思開(kāi)始。”

因此，數(shù)學(xué)教師要養(yǎng)成反思的習(xí)慣，反思對(duì)教材的認(rèn)識(shí)、理解、教學(xué)目標(biāo)的確立、課堂教學(xué)的實(shí)施等，從多方面多角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，使學(xué)生學(xué)有所思，學(xué)有所樂(lè)，人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)。故筆者結(jié)合自己平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)和作業(yè)附記三方面來(lái)談?wù)勛约簩?duì)反思性教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)。

一、數(shù)學(xué)內(nèi)容的反思

1. 揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，對(duì)概念進(jìn)行反思

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，在人與環(huán)境的相互作用過(guò)程中，通過(guò)同化和順應(yīng)，在“平衡——不平衡——新平衡”中不斷得到豐富和發(fā)展，通過(guò)個(gè)體反思、同學(xué)間討論交流，使自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以完善。

例1. 學(xué)了實(shí)數(shù)、無(wú)理數(shù)概念（無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)）后，可讓學(xué)生反思。

（1）是無(wú)理數(shù)嗎？呢？是分?jǐn)?shù)嗎？（讓學(xué)生搞清實(shí)數(shù)的分類(lèi)）

（2）我們學(xué)過(guò)的哪些數(shù)是無(wú)理數(shù)？來(lái)源于幾方面？（使學(xué)生能了解無(wú)理數(shù)來(lái)源于①含π的式子 ?②開(kāi)不盡方的式子：如，3…… ?③特殊的數(shù)：如2.1010010001……（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)零）三方面）

（3）無(wú)理數(shù)能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示嗎？如如何表示？

（4）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有什么關(guān)系？

（5）已知a、b、c對(duì)應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上為：

化簡(jiǎn)

這樣使學(xué)生能加深無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)概念的理解，并使他們?cè)跀?shù)的分類(lèi)中懂得先找無(wú)理數(shù)比較方便，準(zhǔn)確，以減少解題的失誤，還能通過(guò)數(shù)形結(jié)合加深對(duì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)幾何意義的理解。

2. 精加工：對(duì)公式、定理的反思

反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以說(shuō)是針對(duì)操作性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的，操作性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以學(xué)會(huì)知識(shí)為目的，反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)為目的，這兩種學(xué)習(xí)形成強(qiáng)烈對(duì)照，對(duì)于公式、定理的教學(xué)更是如此，前者認(rèn)為學(xué)生只要記住公式、定理，然后去套用就可以了，而后者認(rèn)為需要對(duì)公式、定理進(jìn)行精加工，經(jīng)過(guò)多次地反復(fù)思考，深入研究，主動(dòng)建構(gòu)，才能真正學(xué)會(huì)。

例2. 在學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理

即 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1、x2，則 ? ? ? x1+x2=- x1x2=提出對(duì)公式的條件和變式等方面進(jìn)行反思。

反思1 利用韋達(dá)定理的條件（a≠0，△≥0）

反思2 若已知兩數(shù)和與兩數(shù)積，能否構(gòu)造以這兩數(shù)為根的一元二次方程。（y2-（x1+x2）y+x1x2=0）

反思3 ?已知ab≠1且a、b滿足5a2+2006a+8=0，8b2+2006b+5=0，求的值。

根據(jù)兩方程中系數(shù)特點(diǎn)，能否將兩方程合成一個(gè)方程利用韋達(dá)定理來(lái)解？

3. 突出數(shù)學(xué)思維方法：對(duì)例題、習(xí)題的反思

平時(shí)我們總是這樣的埋怨：“這道題剛剛講過(guò)，學(xué)生又做的一塌糊涂?！倍鴮W(xué)生也常拍著腦袋喊“冤”：“這道題我已經(jīng)做了好幾次了，怎么一下子又沒(méi)做出來(lái)。”出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于：我們只注重解題的數(shù)量，而忽視解題的質(zhì)量，即輕視解題的過(guò)程以及解題后的反思例題、習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握程度的檢測(cè)，教師如果能很好的引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行反思可加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，能做到舉一反三。

例3. 如圖，有一座拋物線拱橋，在正常水位時(shí)，水面AB的寬是20cm，如果水位上升3cm時(shí)，水面CD的寬為10cm，建立合適的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式。

這道題的一般解法就是建立平面直角坐標(biāo)系，而隨著建立坐標(biāo)系的不同，所得的函數(shù)解析式和計(jì)算量也不盡相同。這里應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較反思建立如圖所示的坐標(biāo)系更為簡(jiǎn)便。

二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程的反思

1. 對(duì)教材中知識(shí)的形成進(jìn)行反思

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程包括教師、學(xué)生、教材三個(gè)要素，它們之間相互聯(lián)系、相互影響、相互制約.反思數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程，就是要深究教學(xué)過(guò)程中諸因素之間的相互關(guān)系、相互作用的過(guò)程中存在的問(wèn)題，并對(duì)此提出修正意見(jiàn)，以提高教學(xué)質(zhì)量和保證教學(xué)任務(wù)的完成。荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家佛賴(lài)登塔爾指出，“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”、“通過(guò)反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化”。因此，課堂中要注重對(duì)教材中知識(shí)的反思，尤其要在關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)上進(jìn)行反思。

例4. 在一條直線上有依次排列的n（n>1）臺(tái)機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站p，使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站p的距離總和最小，問(wèn)p設(shè)在哪里？

反思1：這是一道實(shí)際問(wèn)題，如何將它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以n取特殊值思考，畫(huà)圖

（1）當(dāng)n=2時(shí) 如圖①，p應(yīng)設(shè)在哪里？（A1、A2之間的任何地方）

（2）當(dāng)n=3時(shí) 如圖②（機(jī)床A2處）

（3）當(dāng)n=4，5時(shí)，p應(yīng)設(shè)在哪里？

反思2 ：若有n臺(tái)機(jī)床，p應(yīng)設(shè)在哪里？

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，p應(yīng)設(shè)在處;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，p應(yīng)設(shè)在與之間的任何地方

反思3：根椐上例的結(jié)論

如何求x-1+x-2+x-3+……+x-617的最小值？

2. 暴露學(xué)生思維過(guò)程，對(duì)解題思路進(jìn)行反思

對(duì)解題過(guò)程的反思，目的在于追求對(duì)解題的思路、推理的過(guò)程、運(yùn)算的過(guò)程、語(yǔ)言的表述進(jìn)行優(yōu)化和簡(jiǎn)縮，要暴露其解題過(guò)程中的思維活動(dòng)，及時(shí)進(jìn)行反思、修改、簡(jiǎn)縮，從中歸納、總結(jié)，使學(xué)生自主開(kāi)闊數(shù)學(xué)思維的廣度，從多角度、全方位審視數(shù)學(xué)問(wèn)題，并逐步優(yōu)化數(shù)學(xué)解題中的推理模式。

例5. 已知m滿足m2-5m+1=0，求m2+的值。

學(xué)生：方程的求根公式

（思路清晰，但計(jì)算繁瑣，大部分同學(xué)想到這一方法，既花時(shí)間，準(zhǔn)確率又不高，筆者叫了幾位學(xué)生板演，充分暴露其思維過(guò)程。）

師：回顧一下剛才幾位同學(xué)的解法，大家覺(jué)得如何，有沒(méi)有更好的方法？

（將學(xué)生的思維過(guò)程暴露后，引導(dǎo)學(xué)生反思，尋找最佳解法。）

學(xué)生反思：由m2-5m+1=0，易判斷方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且常數(shù)項(xiàng)為1，由根與系數(shù)的關(guān)系，得此方程兩根互為倒數(shù)，即m×=1 m+=-（-5）=5 ∴m2+=（m+）2-2=23

（這種方法挖掘了m的內(nèi)涵，m與是方程m2-5m+1=0的兩根，并與韋達(dá)定理進(jìn)行了聯(lián)系，這也體現(xiàn)了一種發(fā)散。能想到是非常了不起的！）

教師：對(duì)學(xué)生的多種解法，我們除了要比較各自的優(yōu)劣外，也應(yīng)允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，更要鼓勵(lì)其探索反思，這樣才能激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探求問(wèn)題的興趣，讓學(xué)生體會(huì)到最佳解題方法的思維規(guī)律。

3. 強(qiáng)調(diào)探究過(guò)程，對(duì)問(wèn)題的理解進(jìn)行反思

對(duì)于課堂教學(xué)中一些疑難點(diǎn)，教師如不借助于一定的探究手段，就不能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，也很難達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)，只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中探究其中的問(wèn)題和答案，不斷調(diào)整學(xué)生自己的學(xué)習(xí)策略，建構(gòu)他們自己對(duì)問(wèn)題的理解，從而提高學(xué)生個(gè)人的創(chuàng)造力。

例6. 在“由視圖到立體圖形”這一節(jié)中，用小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得它的主視圖和俯視圖如圖3和圖4所示。

反思1：這樣的幾何體只有一種嗎？它最小需要多少個(gè)小立方塊？最多需要多少個(gè)小立方塊？

學(xué)生進(jìn)小組活動(dòng)，通過(guò)嘗試搭小立方塊，相互合作，相互出點(diǎn)子，得到多種答案，并總結(jié)出最少需要幾個(gè)，最多需要幾個(gè)。

反思2：根據(jù)主視圖和俯視圖，你能否不通過(guò)搭幾何體模型，直接確定它最少需要多少個(gè)小立方塊？最多又是多少？

學(xué)生進(jìn)行小組討論，交流總結(jié)并概括出：由俯視圖確定小立方塊的擺法，根據(jù)主視圖確定每列的最高層次，即每列小立方塊的個(gè)數(shù)。

最少擺法中所需小立方塊的個(gè)數(shù)：3+2+1+1+1+1+1=10（圖5）

最多擺法中所需小立方塊的個(gè)數(shù)：3+3+3+2+2+2+1=16（圖6）

通過(guò)反思性教學(xué)，利用探究，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，將這類(lèi)較難的問(wèn)題解決了，而且還從動(dòng)手操作提升到了理論的高度，使學(xué)生學(xué)到的知識(shí)得以?xún)?nèi)化。

三、作業(yè)附記

所謂作業(yè)附記是指把反思的內(nèi)容附在作業(yè)后，可有督促學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容及時(shí)反思，也可以讓教師及時(shí)了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課的掌握情況。

如學(xué)生A說(shuō)，“老師，剛開(kāi)學(xué)的第一個(gè)星期發(fā)覺(jué)自已學(xué)的不是很認(rèn)真，上課有時(shí)要走神，沒(méi)有了上學(xué)期的那股沖勁，很擔(dān)心自己數(shù)學(xué)成績(jī)要下降，我該怎么辦？”

這位學(xué)生實(shí)際上是在反思學(xué)習(xí)態(tài)度。我的評(píng)語(yǔ)是：你有這樣的意識(shí)，說(shuō)明你已經(jīng)很不錯(cuò)了，老師也相信你能克服，你自己想想是否是這些方面的原因：1. 開(kāi)學(xué)了，你那份懶散的心有沒(méi)有收回？2. 是不是受到上學(xué)期期末考的刺激？（這位同學(xué)上學(xué)期真的是很認(rèn)真，可期末考成績(jī)不如意）3. 上課聽(tīng)的懂嗎？ 此后，我還跟她面對(duì)面的交談，她重新拾回了學(xué)習(xí)的信心！

還有一些同學(xué)專(zhuān)門(mén)整理出了一本訂錯(cuò)本，把做錯(cuò)的作業(yè)訂正在上面，而且還把反思附在后面，如學(xué)生B說(shuō)，在-這題中我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①（a-b）2=（b-a）2而a-b=-（b-a）;②分?jǐn)?shù)線還具有括號(hào)的功能，應(yīng)減去分子的整體，加一個(gè)括號(hào)，即 ?-（2a2b+1）;③計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式。

這是一位基礎(chǔ)一般的學(xué)生的附記，她先把作業(yè)本中的錯(cuò)解照抄回來(lái)，然后正確的解做旁邊，對(duì)照得出來(lái)3大注意點(diǎn)從中可以說(shuō)明她是多么認(rèn)真的在訂錯(cuò)，而且還以她獨(dú)特的方式來(lái)掌握這些容易錯(cuò)的地方，我把它推廣到全班去，果然計(jì)算題正確率有很大的提高。

數(shù)學(xué)教學(xué)中反思關(guān)鍵要靠教師的示范、引導(dǎo)，但重要的是要學(xué)生自己學(xué)會(huì)反思，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自己自覺(jué)地進(jìn)行反思，逐漸形成一種反思的意識(shí)和習(xí)慣，這樣教師的“教”可以成功的實(shí)現(xiàn)最終的“不教”。

（作者單位：浙江省諸暨市楓橋鎮(zhèn)中 311800）