基于最優(yōu)停止方法的可續(xù)期債券定價模型

宋曉天 周笑言

【摘要】武漢地鐵集團(tuán)有限公司于2013年10月發(fā)行了我國第一只可續(xù)期債券，開創(chuàng)了我國可續(xù)期債券的先河，大批可續(xù)期債券將會相繼進(jìn)入中國債券市場，如何合理地給可續(xù)期債券定價因此變得越發(fā)重要。本文通過動態(tài)規(guī)劃中最優(yōu)停止的方法，以13武漢地鐵可續(xù)期債券為例，對可續(xù)期債券的定價進(jìn)行了討論，并通過隨機(jī)微積分的方法給出了可續(xù)期債券價值的顯示解。同時，將13武漢地鐵可續(xù)期債券的條款代入，算出了13武漢地鐵可續(xù)期債券的實(shí)際價值。

【關(guān)鍵詞】可續(xù)期債券 債券定價

一、背景

可續(xù)期債券，在國外又稱為永續(xù)債（perpetual bond），是指沒有到期日的債券，發(fā)行人只須持續(xù)償付利息而永遠(yuǎn)毋須還本。可續(xù)期債券在國外起步較早，已經(jīng)發(fā)展成了一個比較成熟的債券種類，截止到2014年3月20日，全球已發(fā)行可續(xù)期債券總量為3804只，總額達(dá)1.23萬億美元。武漢地鐵集團(tuán)有限公司于2013年10月發(fā)行了我國第一只可續(xù)期債券（以下簡稱13武漢地鐵），開創(chuàng)了我國可續(xù)期債券的先河，大批可續(xù)期債券將會相繼進(jìn)入中國債券市場，如何合理地給可續(xù)期債券定價因此變得越發(fā)重要。

無權(quán)可續(xù)期債券的定價較為簡單，將永久期限年金折現(xiàn)加總即可。13武漢地鐵屬于特殊含權(quán)類型的可續(xù)期債券，在該期債券每5個計息年度末，發(fā)行人有權(quán)選擇將本期債券期限延續(xù)5年，或選擇在該計息年度末到期全額兌付本期債券。13武漢地鐵采用浮動利率形式，利率由基準(zhǔn)利率加上基本利差確定。基準(zhǔn)利率每5年確定一次。首次基準(zhǔn)利率為發(fā)行公告日前1250個工作日的一周上海銀行間同業(yè)拆放利率（Shibor）的算術(shù)平均數(shù)（四舍五入保留兩位小數(shù)），其后每5年的基準(zhǔn)利率為在該5年計息周期起息日前1250個工作日的一周上海銀行間同業(yè)拆放利率的算術(shù)平均數(shù)（四舍五入保留兩位小數(shù)）。

二、問題分析

國外對于含權(quán)公司債的定價主要基于1973年Black & Scholes提出的無套利歐式期權(quán)定價模型，Merton在1974年首先將這一模型用于公司債的定價。但是這類定價模型并不適用于含權(quán)可續(xù)期債券，以13武漢地鐵為例，13武漢地鐵償還機(jī)制的特殊性在于以下兩點(diǎn)：

一是13武漢地鐵可續(xù)期債券的期限是無限的。

二是13武漢地鐵可續(xù)期債券在無限期限內(nèi)賦予發(fā)行人無限次選擇權(quán)（每五年一次），因此不可能用單次選擇權(quán)的Black-Scholes期權(quán)定價模型對其定價。

考慮到前一次選擇權(quán)與后一次選擇權(quán)之間的動態(tài)權(quán)衡，我們可以把13武漢地鐵可續(xù)期債券的定價看成動態(tài)規(guī)劃中帶有不確定性的最優(yōu)停止問題。

三、模型假設(shè)與構(gòu)建

其中，13武漢地鐵第一個五年期利率為8.50%，基準(zhǔn)利率St為2.89%，利差為5.61%。y代表債券的到期收益率，這里我們選取同期銀行間市場五年期AA+企業(yè)債的到期收益率，2013年10月29日銀行間市場五年期AA+企業(yè)債的到期收益率為6.1376%。V（St+5）表示第一個五年期末選擇權(quán)對于投資者的價值，是當(dāng)時基準(zhǔn)利率St+5的值函數(shù)。即債券現(xiàn)值等于前五年利息折現(xiàn)值的加總加上第一個五年期末選擇權(quán)價值期望的折現(xiàn)值。

在2018年10月29日，即第一個五年期末，發(fā)行人將面臨第一次選擇權(quán)，就每一單位債券而言，發(fā)行人可以選擇支付本金100元，或者以新的利率繼續(xù)支付五年利息，然后再執(zhí)行第二個五年期末的選擇權(quán)，在第二個五年期末，發(fā)行人重復(fù)以上問題，依次向后類推。發(fā)行人將在兩種支付選擇中選擇價值更小的那個。在第一個五年期末，選擇權(quán)對于投資者的價值函數(shù)V（St+5）與下一個五年期末的選擇權(quán)價值函數(shù)滿足以下動態(tài)關(guān)系：

四、模型求解

五、模型討論

（一）上述定價模型并沒有考慮可續(xù)期債券違約風(fēng)險對于債券價值的影響

13武漢地鐵屬于企業(yè)債，在中國企業(yè)債信用接近政府信用，信用相對較高。截止到2014年3月20日，中國內(nèi)地還沒有出現(xiàn)企業(yè)債違約的情況。因此，我們在模型中可以近似忽略違約風(fēng)險對債券價值的影響。

（二）從模型結(jié)果可以看出，13武漢地鐵可續(xù)期債券的現(xiàn)值要低于其票面價值

原因可以歸咎于我們前邊一個很重要的假設(shè)，我們假設(shè)每日一周shibor服從幾何布朗運(yùn)動，并用此來模擬基準(zhǔn)利率的走勢。而基準(zhǔn)利率是由起息日前1250天的平均值決定的，其波動率要遠(yuǎn)低于每日一周shibor的波動率。所以與模型結(jié)果相比，真實(shí)的債券價值要在模型結(jié)果的基礎(chǔ)上給予投資者一定的風(fēng)險補(bǔ)償。即真實(shí)的債券價值要高于模型結(jié)果91.40元。

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