肖自萌

摘要：導(dǎo)數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，高中階段引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)能幫助那些之前沒(méi)學(xué)好解析式、值域、最(極)值、單調(diào)區(qū)間等函數(shù)問(wèn)題以及切線(xiàn)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題的學(xué)生重新認(rèn)識(shí)這些知識(shí)點(diǎn)，而且導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很大的比例，在高考中，它是重點(diǎn)的考察內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；新課程；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)07-0135

導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中處于一種特殊的地位，導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題具有綜合性強(qiáng)、方法靈活的特點(diǎn)，它不僅考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的掌握情況，也能考查學(xué)生創(chuàng)造思維能力，以及學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)高數(shù)的潛質(zhì)，本文主要闡述筆者對(duì)導(dǎo)數(shù)的淺薄認(rèn)識(shí)。

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新課程中的地位

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：高中數(shù)學(xué)課程是由必修課程和選修課程兩部分構(gòu)成的。必修課程是整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，選修課程是在完成必修課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，希望進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生根據(jù)自己的興趣和需求選修。在選修1-1和選修2-2中都選擇了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。顯然，導(dǎo)數(shù)的重要性不言而喻。

1. 有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)、掌握函數(shù)的思想

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，它能讓我們更快、更準(zhǔn)確地得出答案，而這里準(zhǔn)確作圖是關(guān)鍵的一步，如果所涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù)，用描點(diǎn)法就可以作出函數(shù)的圖像。但是，如果所涉及的函數(shù)是非基本初等函數(shù)，比如y=x3-2x2+x-1，y=ex-x-1等函數(shù)，僅用描點(diǎn)法就很難較為準(zhǔn)確地作出圖像。但是，掌握了導(dǎo)數(shù)的知識(shí)之后，學(xué)生就可以利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)；這樣根據(jù)這些性質(zhì)，學(xué)生能夠畫(huà)出更加準(zhǔn)確的圖像，進(jìn)而用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題。

其實(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是建立在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和導(dǎo)數(shù)之間的一座橋梁，不管是在證明不等式，解決數(shù)列求和的有關(guān)問(wèn)題，還是解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，我們都可以構(gòu)造函數(shù)模型，并且利用導(dǎo)數(shù)，來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。

2. 有利于學(xué)生弄清曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題

學(xué)生由于受“圓上某點(diǎn)的切線(xiàn)”的定義的影響，誤認(rèn)為曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)，就是與曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)。如果學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義后，學(xué)生就知道f(x)在點(diǎn)x=x0的切線(xiàn)斜率k，正是割線(xiàn)斜率在x→x0時(shí)的極限，即

k=lim

由導(dǎo)數(shù)的定義k=f ′(x)，，所以曲線(xiàn)y=f (x)在點(diǎn)(x0，y0)的切線(xiàn)方程是y-y0=f ′(x0)(x0，y0)

這就是說(shuō)：函數(shù)f在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)是曲線(xiàn)y=f (x)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線(xiàn)斜率。

從而，學(xué)生就掌握了切線(xiàn)的一般定義：設(shè)有曲線(xiàn)C及C上的一點(diǎn)P，在點(diǎn)P外另取曲線(xiàn)C上一點(diǎn)Q，作割線(xiàn)PQ，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線(xiàn)C趨向點(diǎn)P時(shí)，如果割線(xiàn)PQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置PT，那么直線(xiàn)PT就稱(chēng)為曲線(xiàn)C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)。

二、導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力，特別是導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線(xiàn)、不等式、數(shù)列等實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)了新思路、新方法，而高考中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用更是層出不窮，以下我們看看導(dǎo)數(shù)的類(lèi)型題。

1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題

(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式

用解析式表示函數(shù)關(guān)系，便于研究函數(shù)的性質(zhì)，而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式，函數(shù)的一些基本性質(zhì)就會(huì)顯得更加地明了。

例1. 已知函數(shù)f(x)=的圖象在點(diǎn)M(-1，f(-1))處的切線(xiàn)的方程為：x+2y+5=0。求函數(shù)的解析式。

解：由函數(shù)f(x)=的圖象在點(diǎn)M(-1，f(-1))處的切線(xiàn)的方程為：x+2y+5=0知：-1+2f(-1)+5=0，即f(-1)=-2，f ′(-1)=-。

∵f ′(x)=，解得：a=2，b=3(∵b+1≠0，b=-1舍去)。所以所求的函數(shù)的解析式為：f (x)=

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域

求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，方法因題而異，不易掌握。但是，如果學(xué)生采用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解，則較為容易，且一般問(wèn)題都可行。

例2. 求函數(shù)y=x2-2x+5，x∈[0，3]的值域。

分析：先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)定義域判斷f ′(x)的正負(fù)，進(jìn)而求出f (x)函數(shù)的值域。

解：由y′=2x-2=0得x=1，又x=1，y=1-2+5=4，又x=0時(shí)y=5，x=3時(shí)，y=9-6+5=8，∴函數(shù)的值域?yàn)閇4，8]。

注：變式的解法很多，除了答案中給出的導(dǎo)數(shù)的方法外，還可以利用配方來(lái)求解：y=x2-2x+5=(x-1)2+4，∵0≤x≤3，∴-1≤x-1≤2，∴0≤(x-1)2≤4，∴4≤(x-1)2≤8，即值域?yàn)閇4，8]，另外，我們還可以結(jié)合二次函數(shù)的圖象來(lái)進(jìn)行求解。

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最(極)值

求函數(shù)的最(極)值是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，是高考經(jīng)常要考查的內(nèi)容之一，它涉及到了函數(shù)知識(shí)的很多方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類(lèi)問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，步驟清晰，也容易掌握，從而進(jìn)一步明確函數(shù)的性態(tài)。

一般地，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]上的最值求法：(1) 求函數(shù)f(x)在(a，b)上的極值點(diǎn)；(2)計(jì)算f(x)在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；(3)比較f(x)在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值。

例3.求函數(shù)f(x)=x4-8x2+2在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值。

分析：先求出f(x)的極值點(diǎn)，然后比較極值點(diǎn)與區(qū)間[-1，3]端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。

解：f ′(x)=4x3-16x=4x(x+2)(x-2)，令f ′(x)=0得x1=-2，x2=0，x3=2。導(dǎo)數(shù)f ′(x)的正負(fù)以及f(-1)，f(3)如下表：

從上表可以看出，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最大值11；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值14。

(4)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時(shí)經(jīng)常要注意的一個(gè)性質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需考慮f ′(x)的正負(fù)即可，當(dāng)f ′(x)>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f ′(x)<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減。此方法簡(jiǎn)單快捷而且適用面廣。

例4. 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在點(diǎn)x=1處有極小值-1，試確定a，b的值，并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間。

分析：應(yīng)先利用極值確定f(x)函數(shù)中的參數(shù)a，b，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)區(qū)間。

解：f ′(x)=3x2-6ax+2b根據(jù)題意有x=1是方程f ′(x)=0的一個(gè)根，則3-6a+2b=0，又f(1)=1-3a+2b=-1解得a=，b=，此時(shí)f(x)=x3-x2-x，f ′(x)=3x3-2x-x，由f ′(x)>0得x<-或x>1；由f ′(x)<0得-

2. 利用導(dǎo)數(shù)解決切線(xiàn)問(wèn)題

求過(guò)某一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，這種題型分為點(diǎn)在曲線(xiàn)上和點(diǎn)在曲線(xiàn)外兩種情況，f ′(x0)的幾何意義就是曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線(xiàn)的斜率，過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為y-f(x0)=f ′(x0)(x-x0)，但應(yīng)注意點(diǎn)P(x0，f(x0))在曲線(xiàn)y=f(x)上，否則易錯(cuò)。

例5. 若曲線(xiàn)y=x2+1的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)2x+6y+3=0，試求這條切線(xiàn)的方程。

分析：此類(lèi)題型為點(diǎn)不在曲線(xiàn)上求切線(xiàn)方程，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線(xiàn)方程，把已知點(diǎn)代入方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后，再求切線(xiàn)方程

解：容易求y′=3x，因?yàn)榍芯€(xiàn)垂直于直線(xiàn)2x+6y+3=0，所以切線(xiàn)的斜率為3，令f ′(x)=0得x0=1，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)，所以所求的切線(xiàn)的方程為y-=3(x-1)，即6x-2y=0。

3. 利用導(dǎo)數(shù)解決含參不等式問(wèn)題

縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問(wèn)題，其綜合性強(qiáng)、思維量大，因此歷來(lái)是高考的難點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接地等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。

例6. 已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c，若f(x)在x=1時(shí)取得極值，且x∈[-1，2]時(shí)，f(x)

分析：f(x)

解：由題意得x=1是方程3x2-x+b=0的一個(gè)根，設(shè)另一根為x0，則，x0+1=

x0×1=

∴x0=-

b=-2，∴f(x)=x3-x2-2x+c，f ′(x)=3x2-x-2，當(dāng)x∈(-1，-)時(shí)，f ′(x)>0，x∈(-，1)時(shí)，f ′(x)<0，x∈(1，2)時(shí)，f ′(x)>0，∴當(dāng)x=-時(shí)，f(x)有極大值+c，又f (-1)=+c，f(2)=2+c，即當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f(x)的最大值為f(2)=2+c，∵當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f ′(x)2+c，解得c<-1或c>2。所以c的取值范圍是(-∞，-1)∪(2，+∞)。

5. 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)，不僅可以解決函數(shù)、切線(xiàn)、不等式、數(shù)列問(wèn)題，而且還可以解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。學(xué)習(xí)的最終目的，是要求學(xué)生具有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)、思想方法以及能力。近幾年，高考越來(lái)越注重對(duì)實(shí)際問(wèn)題的考查，比如最優(yōu)化問(wèn)題、最低成本問(wèn)題等，而利用導(dǎo)數(shù)解決這些問(wèn)題非常方便。

例7. 某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件元購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，則銷(xiāo)售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q=8300-170p-p2，問(wèn)該商品零售價(jià)定為多少時(shí)利潤(rùn)L最大，并求出最大利潤(rùn)(利潤(rùn)銷(xiāo)售收入進(jìn)貨支出)。

解析：L=(p-20)(8300-170p-p2)=-p3-150p2+11700p-166000且p>20。求導(dǎo)得L′=-3p2-300p+11700，令L′=0得p=30或p=-130(舍去)，并且當(dāng)p<30時(shí)，L′>0，p>30時(shí)，L′<0，則當(dāng)p=30時(shí)，L取得極大值，最大值為21000元。即當(dāng)該商品零售價(jià)定為30元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為21000元。

三、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是微積分學(xué)的重要組成部分，是解決許多問(wèn)題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值：既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想?？傊?，開(kāi)設(shè)導(dǎo)數(shù)不僅促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的價(jià)值，而且發(fā)展了學(xué)生的辯證思維能力，也為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)。因此，在高中階段為學(xué)生開(kāi)設(shè)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用具有深刻的意義。