段培超 張春曉 高永馨

【摘要】數(shù)學模型與民航案例是一門實踐性很強的課程，是連接數(shù)學與實際問題的橋梁，對于培養(yǎng)學生的科學計算能力和應用數(shù)學知識解決實際問題的能力發(fā)揮了十分重要的作用.由于我校信息與計算科學與統(tǒng)計學專業(yè)的培養(yǎng)目標為適應市場經濟發(fā)展需要，立足民航，面向社會，故而本課程系統(tǒng)地、有計劃地將民航案例引入教學，使學生對民航的現(xiàn)狀及其發(fā)展有深刻的認識，為早日成為高素質的應用型人才，提前做好接觸民航、服務民航的準備.本文主要介紹該課程近五年在教學內容、教學方法、教學特色等方面的建設情況和實施效果.

【關鍵詞】數(shù)學模型；民航案例；實踐教學

一、引 言

當今的數(shù)學迅速滲透到自然科學和社會生活的各個領域,拉近了與現(xiàn)實生活的距離,成為一種普遍可行的關鍵技術，以培養(yǎng)運用數(shù)學的理論和方法來解決實際問題的能力為目標的創(chuàng)新教育已經成為數(shù)學教學改革中備受關注的一個熱點.因此,如何培養(yǎng)高素質的人才,增強他們應用數(shù)學知識解決實際問題的能力,已是數(shù)學教育改革的一個非常重要的課題.俄國著名數(shù)學家羅巴切夫斯基曾說過：“任何數(shù)學分支，無論怎樣抽象，總有一天可被應用于現(xiàn)實世界的各種現(xiàn)象.”數(shù)學“是一把萬能鑰匙，借助它，近代數(shù)學家打開了幾何以至大自然的秘密”.放眼所有現(xiàn)代科學技術的興起，計算機技術、航天技術、納米科學、人工智能等等，幾乎無一不得益于數(shù)學的發(fā)展與繁榮.

數(shù)學模型與民航案例是連接實際問題、數(shù)學知識與計算機應用能力的橋梁，是一門提高學生解決實際能力和創(chuàng)新能力的實踐類課程.由現(xiàn)實問題建立數(shù)學模型，是一項創(chuàng)造性的工作，是知識和能力的綜合體現(xiàn).由于我校信息與計算科學與統(tǒng)計學專業(yè)的培養(yǎng)目標為適應市場經濟發(fā)展需要，立足民航，面向社會，本專業(yè)培養(yǎng)的學生，畢業(yè)后大部分要走上民航工作崗位，從事民航信息管理、數(shù)量分析、預測與控制等工作，這就要求我們應將數(shù)學模型理論講授與民航實際訓練有機地結合起來.所以本課程系統(tǒng)地、有計劃地將民航案例引入教學，使學生對民航的現(xiàn)狀及其發(fā)展有深刻的認識，并提前做好接觸民航、服務民航的準備.

二、課程的教學改革與實踐

我校自2004年開設數(shù)學模型Ⅱ課程，經過多年的教學實踐，在課程教學改革方面做了許多探索，但效果還是不甚理想.課程組通過到南航和海航調研發(fā)現(xiàn)，部分畢業(yè)生普遍存在缺乏對現(xiàn)代民航行業(yè)特點、現(xiàn)狀、發(fā)展、工作流程和文化等方面的了解，上崗適應慢，缺乏團隊工作經驗，溝通能力、動手能力較差，缺乏創(chuàng)新精神等問題.為適應現(xiàn)代民航企業(yè)乃至全社會各級部門的需要，課程組針對以上問題，在2008版培養(yǎng)方案中將課程更名為“數(shù)學模型與民航案例”，對教學內容進行了細致認真的推敲.并以課程教學內容為主體，組織學生參加大學生數(shù)學建模競賽、科技立項、教師科研項目等活動為輔助，將調整課堂教學內容、轉變教師的教學方式和學生的學習方式作為課程教育教學改革的重點，在以下幾方面進行了積極的探索與實踐.

1.精選內容,案例驅動

目前很多高校的數(shù)學建模類課程在教學中還沒有形成比較完整嚴密的教學體系,教學資料的編排也各不相同.課程組經過認真討論，選定清華大學姜啟源、謝金星、葉俊編寫的《數(shù)學模型》（第四版）作為教材.但教材中數(shù)學模型的例子很多，如何合理地選擇適用于本專業(yè)教學及培養(yǎng)計劃的案例、增加有實際價值的民航案例，成為課程組所有老師最為關心和重視的問題.

信息與計算科學專業(yè)和統(tǒng)計學專業(yè)的畢業(yè)生，既要有扎實的數(shù)學理論基礎，又要具備必要的民航背景知識.為了調動學生學習的興趣和應用數(shù)學的能力，加強學生的數(shù)學基本知識訓練，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，增強學生熱愛民航、服務民航的意識，對于教學中所采用的案例，課程組進行了認真的研討和慎重選擇，分層次選擇了以下案例：

第一部分：優(yōu)化模型、回歸模型、隨機模型等

公平的席位分配、實物交換、存儲模型、隨機人口模型、多階段最優(yōu)生產計劃等20個數(shù)學模型.重點是使學生掌握優(yōu)化問題建模、隨機問題建模、數(shù)據(jù)建模的基本原理、方法和過程，難點是建模的思路和結合計算機軟件實現(xiàn)求解及驗證.

第二部分：差分方程模型、微分方程模型等

傳染病模型、藥物在體內的分布與排出、捕魚業(yè)的持續(xù)收獲、種群的相互競爭、市場經濟中的蛛網模型等9個模型.重點是要求學生掌握應用微分方程及其穩(wěn)定性理論建模的基本原理、過程方法.難點是建模的過程及相圖的描繪與分析.

第三部分：民航案例

航空公司的預定票策略、飛行計劃問題、飛機的精確定位問題、飛機除冰液地面除冰過程模型、民航運輸總周轉量的多元回歸模型、我國民航事故率的預測模型、機場選址問題、航空公司的收益模型、發(fā)動機性能參數(shù)預測、機票的預訂票策略等十余個民航案例.這些案例涉及了民航生產、經濟、維修、安全方面問題，重點是培養(yǎng)學生掌握應用數(shù)學模型解決民航實際問題的原理、方法及實現(xiàn)過程.難點是數(shù)學模型的選擇、抽象、提煉、簡化和求解、驗證.

第一部分和第二部分教學內容選擇于《數(shù)學模型》的經典模型，第三部分選擇的民航案例來自于研究文獻及我校部分科研成果.通過2008級至2010級的教學實踐發(fā)現(xiàn)，新的教學內容符合學生的認知特點，極大地調動了學生學習的主動性和積極性，激發(fā)學生的求知欲，收到了良好的教學效果.

2.運用CDIO教學模式，加強課外實訓

多年來，數(shù)學教學對人才培養(yǎng)起到了積極的作用，但也存在著不盡如人意的地方.教師認為數(shù)學難教，學生認為“數(shù)學難學，學了數(shù)學也沒有用途”.究其原因主要是對數(shù)學課程的定位模糊，數(shù)學教學對能力培養(yǎng)重視不夠或者沒有可行的方法進行能力培養(yǎng).而CDIO教育模式恰恰非常有針對性的對教學中存在的許多問題作出了全面、系統(tǒng)的指導.通過將CDIO教學模式融入課堂教學，創(chuàng)新實踐教學方法，使學生工程基礎知識、個人能力、人際團隊能力和工程系統(tǒng)能力四個方面得到全面的訓練和提高.達到適應現(xiàn)代民航發(fā)展需求的目的和效果.CDIO代表構思（Conceive）、設計（Design）、實現(xiàn)（Implement）和運作（Operate）,它讓學生以主動的、 實踐的、課程之間有機聯(lián)系的方式學習工程.超過書本的內容通過課外自學或活動獲得，培養(yǎng)學生自主學習的能力；通過實際CDIO實踐教學，加強學生的實際創(chuàng)新及動手的綜合能力.

本學期同時開設的“數(shù)學模型與民航案例課程設計”為“數(shù)學模型與民航案例”的實踐環(huán)節(jié).“課程設計”將數(shù)學和計算機有機結合，培養(yǎng)學生利用計算機軟件及當代最新科技成果的意識，能將數(shù)學、計算機有機地結合起來去解決實際問題，是新世紀培養(yǎng)高質量、高層次人才的重要途徑.

“課程設計”強化課后建模實驗訓練,鞏固和深化課堂教學.這門課程要求學生必須在課后多思考,真正將教師課堂所教的建模的思想、方法應用于實際問題，特別是民航實際案例.因此，在練習題及大作業(yè)的布置上，課程組的教師經過仔細研討，慎重選擇，“人口預測”“藥物在體內的分布與排出”等要求讓學生做更深一步的討論,改進原有模型，達到鞏固課堂教學的目的;“中國民航事故率的時間序列分析”“中國民航機場吞吐量的回歸模型”“民用飛機的定價”等要求學生自己收集資料、上機求解,在特定時間內獨立地完成,并要求學生提交一篇思路清晰、條理有序的報告.

3.重視軟件應用，提高建模效率

在“課程設計”環(huán)節(jié),教師應系統(tǒng)講授數(shù)學軟件,并讓學生上機實習,熟練使用這些軟件,提高解決實際數(shù)學運算的能力.隨著計算機技術的發(fā)展,現(xiàn)已出現(xiàn)很多高性能、應用性強的數(shù)學軟件,這些數(shù)學軟件克服了傳統(tǒng)數(shù)學內容多、計算量大等缺點,可以有效地節(jié)省時間,提高精度,獲取直觀形象的結果.目前我校數(shù)學實驗室擁有正版的Matlab、SPSS、Mathematica等數(shù)學軟件，為學生數(shù)學建模課程設計各個項目的完成起到了積極的促進作用.課上，教師首先介紹“課程設計”中常用的數(shù)學軟件如Matlab、SPSS、Lingo等,有哪些功能，怎樣使用和如何編程，然后出一些練習題讓學生熟悉軟件包,培養(yǎng)學生利用軟件包求解模型和解題的能力,并培養(yǎng)學生用符號計算軟件編程的能力.靈活使用這些軟件,案例中復雜的數(shù)據(jù)計算和處理就不再是難題，尤其對于民航案例中的海量數(shù)據(jù)運算，數(shù)學軟件的應用大大提高了建模求解的效率.教師建議學生多用Matlab內部函數(shù)，少用循環(huán)語句，可以大大提高運算速度.

4.加強教學研究,提高教師教學水平

“數(shù)學模型與民航案例”課程的教學中，課程組成員積極探索，認真學習，不斷提高自身教學及實踐水平來促進本課程的教學.在教學過程中,教師的水平是關鍵問題,教師水平高低直接影響著數(shù)學建模課程能夠達到預期的目的.講授數(shù)學建模課程的教師不但要具有堅實的數(shù)學基礎知識,而且要具有較高的分析問題解決問題的能力,能夠在學生建模遇到困難的時候,給予正確合理的指導.因此,提高教師的教學水平,具有較為重要的意義.為了提高自身教學水平，課程組的教師認真鉆研教材，定期進行研討.近幾年，我校每年邀請一些著名的專家來校做報告,與本校的老師進行交流,拓寬老師的視野.近幾年，先后邀請清華大學謝金星教授、復旦大學譚永基教授、北京航空航天大學李尚志教授等來校做關于數(shù)學建模、數(shù)學課程的精彩報告，使課程組教師受益匪淺.此外，學校、學院選擇合適的機會，選派相關教師參加一些學術交流、專業(yè)培訓、到名校做訪問學者等活動，開闊了教師的視野，提高其教學水平.但是，如何將建模思想更好地滲透到數(shù)學教學中,并構建數(shù)學建模課程的教學模式,這始終是這門課程改革的方向,并有待大家進一步思考和探索.

5.靈活的考核方式，開放的問題實訓

目前本課程沒有專門的考試,評定成績的依據(jù)是平時的練習、作業(yè)、出勤（占15%）和實驗報告（占85%）.實驗報告的評分的最基本標準是必須自己動手,要寫上實驗結果及其分析過程.實驗報告包括:問題提出、實驗目的、實驗內容及要求、實驗過程及結果、結果分析等等.教師對練習題及大作業(yè)認真批閱,對于其中出現(xiàn)的問題及時給出指正意見.

實驗報告考核學生對實際問題的理解、分析、抽象能力以及對數(shù)學知識的運用能力.對于有創(chuàng)造性的報告,要給以高分作為鼓勵.對于難度較高的題目，以小組為單位完成的實驗報告，對小組成員統(tǒng)一給分，這就要求學生充分發(fā)揮團隊協(xié)作能力.本學期學生要交5個不同類型的實驗報告,學生的數(shù)學建模課程成績就由實驗報告來定.為了避免抄襲，保證成績的公平合理，我課上隨機抽取幾名學生講述完成大作業(yè)的思路、求解方法等，使得多數(shù)同學能夠通過自己的努力高質量地完成報告.使學生學到的不只是知識，還有一種鉆研向上的精神！ 三、實施效果 通過三屆學生的實施，發(fā)現(xiàn)學生一定程度上改變了傳統(tǒng)理科類學生理論強、實踐弱的特點，變得更加愿意接近現(xiàn)實、挑戰(zhàn)實際問題.主要取得以下成效：(ⅰ)使學生在較短的時間內,掌握數(shù)學建模的基本知識和基本方法;(ⅱ)該課程與相應的課程設計有機地結合起來,使學生能熟練運用常用的數(shù)學軟件解決實際問題，增強了學生的動手能力;(ⅲ)該課程采用多媒體教學，加大了課堂信息量,加強直觀性和趣味性；(ⅳ) 對較為簡單的問題，請學生講解、演示、操作，增強學生的參與意識，活躍課堂氣氛；(ⅴ)通過民航案例的引入，加深了學生對民航背景及發(fā)展現(xiàn)狀等的了解，使學生更加熱愛民航事業(yè)；(ⅵ)近幾年信息與計算科學專業(yè)和統(tǒng)計學專業(yè)學生參與數(shù)學建模競賽的熱情極大高漲，且取得不錯的成績. 學生對任何課程都有一個逐步學習、深入理解的過程，“數(shù)學模型與民航案例”課程的改革也不是一蹴而就的，需要不斷深化、不斷提高、不斷完善.近期，課程組將進一步補充和完善“數(shù)學模型與民航案例”網絡課程，使網絡資源更加豐富和全面，為教學提供全面的支持和服務；完成《數(shù)學建模與民航案例》講義的編寫；在數(shù)學建模競賽中投入更多的精力，以教學推動競賽，再以競賽帶動教學.堅持改革，不斷創(chuàng)新，為培養(yǎng)高質量的民航應用型人才作出應有的貢獻. 【參考文獻】 [1]鄒瑾，楊國安.開心數(shù)學[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2003. [2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011. [3]陳斌，王立文.飛機除冰液地面除冰過程模型仿真與實驗.系統(tǒng)仿真學報[J].2012（3）:556-560. [4]宋云雪,張科星,史永勝.基于多元線性回歸的發(fā)動機性能參數(shù)預測[J].航空動力學報，2009（2）:427-431. 本文由中國民航大學2013年中國民航大學信息與計算科學專業(yè)綜合改革項目及校級教研項目“數(shù)學模型與民航案例課程實踐化改革與建設”（CAUC-ETRN-2013-67）資助.