謝紅燕 黃斌

【摘要】主要論述了具有二階三角函數(shù)形式變系數(shù)微分方程的特解的結(jié)構(gòu)，給出了三角函數(shù)形式的特解存在的形式和充要條件.

【關(guān)鍵詞】 變系數(shù)；三角函數(shù)；微分方程；特解

【中圖分類號(hào)】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【基金項(xiàng)目】衢州學(xué)院校級(jí)精品課程資助

在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于二階常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu)和解法進(jìn)行了詳細(xì)的討論.對(duì)于二階變系數(shù)齊次微分方程的特解的求解，沒有具體的通用求解方法.文獻(xiàn)[1][2]利用觀察法探討了部分特殊二階變系數(shù)齊次微分方程的解法：

考慮二階變系數(shù)齊次

f(x)y″+p(x)y′+q(x)y=0

（1）

滿足：

f(x)+p(x)+q(x)=0

和

p(x)=f(x)+q(x)

時(shí)等五種情形.其構(gòu)造特解是以eu函數(shù)為基礎(chǔ)，所求特解具有關(guān)于e指函數(shù)的特征.若是系數(shù)中有三角函數(shù)出現(xiàn)時(shí)，文獻(xiàn)中的觀察法就不太容易實(shí)現(xiàn).

因此，本文從另一個(gè)角度出發(fā)，不妨假設(shè)所求一個(gè)特解為三角函數(shù)的形式，從而并給出滿足方程的具有三角函數(shù)特征的特解存在的充要條件.

定理1 方程（1）滿足條件：

f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x)，

有形如：

y=asinx+bcosx（y≠0且a,b為非零常數(shù)）的特解.

證明 充分性：

∵f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x),

∴f(x)(asinx+bcosx)=q(x)(asinx+bcosx)+(acosx－bsinx)p(x).

即：

f(x)(asinx+bcosx)″+p(x)(asinx+bcosx)′+q(x)(asinx+bcosx)=0.

∴y=asinx+bcosx是方程（1）的特解.

必要性：

∵y=asinx+bcosx,

∴y′=acosx－bsinx,y″=－asinx－bcosx.

代回原方程（1）

－f(x)(asinx+bcosx)+p(x)(acosx－bsinx)+q(x)(asinx+bcosx)=0，

整理可得：

f(x)(asinx+bcosx)=q(x)(asinx+bcosx)+(acosx－bsinx)p(x).

即f(x)=q(x)+acosx－bsinxasinx+bcosxp(x).

綜上所述，定理成立.

例1 求方程(5sin2x)y″+2(3sinx+2cosx)2y′－(12cos2x)y=0的一個(gè)特解.

解 由題意可得

f(x)=5sin2x，p(x)=2(3sinx+2cosx)2，

q(x)=－12cos2x，且a=3,b=2.

∵q(x)+p(x)3cosx－2sinx3sinx+2cosx=－12(cos2x－sin2x)+2(3sinx+2cosx)2?3cosx－2sinx3sinx+2cosx=5sin2x=f(x),

即：f(x)=q(x)+3cosx－2sinx3sinx+2cosxp(x),

所以方程有一個(gè)如下三角形式的特解：

y=3sinx+2cosx.

驗(yàn)證：將特解y=3sinx+2cosx代入方程（1）得

(3sinx+2cosx)［－10sinxcosx+10sinxcosx+12(cos2x－sin2x)－12cos2x］=(3sinx+2cosx)(12cos2x－12cos2x)=0.

即y=3sinx+2cosx是方程的特解.

推論1：當(dāng)a=0時(shí)，方程（1）滿足條件：

f(x)=q(x)－tanxp(x)，

有形如y=γcosx（其中γ為任意非零常數(shù)）的特解.

推論2：當(dāng)b=0時(shí)，方程（1）滿足條件：

f(x)=q(x)+cotxp(x)，

有形如y=γsinx（其中γ為任意非零常數(shù)）的特解.

證明同上.

例2 求方程cos2xy″+sin2xy′+y=0的一個(gè)特解.

解 由題意得f(x)=cos2x，p(x)=sin2x，q(x)=1.∵q(x)－tanxp(x)=1－tanx?sin2x=1－2sin2x=cos2x，

∴f(x)=cos2x=q(x)－tanxp(x).

即方程有一個(gè)形如y=γcosx的特解.（其中γ為任意非零常數(shù)）

本文重點(diǎn)討論了方程（1）在滿足特定條件下具有三角形式的特解.

取acosx－bsinxasinx+bcosx=k(k≠0)時(shí)，便可類似得到文獻(xiàn)[1]的部分結(jié)論，本文的結(jié)論將文獻(xiàn)[1]原有部分結(jié)論做了推廣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張清芳,庫(kù)在強(qiáng).用觀察法求某些二階系數(shù)齊次方程的通解[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005,8(3): 47-48.

[2]鞏子坤.用觀察法求二階變系數(shù)齊線性方程的非零特解[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(3):24-25.