樸永梅

學生的智力結構以思維能力為核心，數(shù)學教學的過程不能僅僅理解為向學生傳授知識，而應培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，數(shù)學教學的實質是數(shù)學思維活動過程的教學. 教師與學生的交往、互動，師生雙方的相互交流、相互溝通、相互啟發(fā)，在這個過程中教師與學生分享彼此的思考、經驗和知識，交流彼此的情感、體驗與觀念，豐富教學內容，求得新的發(fā)現(xiàn)，從而達成共識、共享、共進，實現(xiàn)教學相長和共同發(fā)展.

一、教師以鼓勵的態(tài)度關注學生數(shù)學思維發(fā)展

教學中教師要照顧到學生的實際情況（即基礎），鼓勵學生自省，覺察學生的思維困難之處，幫助把新知識與已學過的知識相聯(lián)系. 根據(jù)布魯納的認識發(fā)展理論，學習本身是一種認識過程，在這個過程中，個體的學習總是要通過已知的內部認知結構，對“從外到內”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說，學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識.

例如：不等式■ ≥ ■（定理：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)）的證明. ① 與圓的知識相聯(lián)系：以a + b長的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C，使AC = a，CB = b，由Rt△ACD∽Rt△DCB得到不等式. ② 與數(shù)列的知識相聯(lián)系：把■看作是正數(shù)a，b的等差中項，■看作是正數(shù)a，b的等比中項.

華羅庚教授曾說過：不要只給學生看做好了的飯，更要讓學生看做飯的過程. 數(shù)學教學要設法使課本知識“活”起來，課堂教學不是堆砌知識的積木，而是用一系列的思維活動把知識貫穿起來，使學生真正領會到數(shù)學知識深化發(fā)展的動態(tài)過程. 特別對學生容易出錯的地方，差錯人皆有之，教師要讓學生充分“暴露問題”，然后順其錯誤認真剖析，發(fā)現(xiàn)學生思維的閃光點和創(chuàng)造性思維的火花，在加深理解的基礎上對不同的答案展開討論，引導動手操作、自主探索和合作交流，學生在這種氛圍中，接觸困惑，明確自己的思想，并且有機會分享學生的想法，在親身體驗和探索中認識數(shù)學，解決問題，理解和掌握基本的數(shù)學知識、技能和方法，疏導思維，學生可以大膽表達自己的想法，思想顧慮消除了，思維也就可以更活躍.

二、利用圖形演示直觀發(fā)展數(shù)學思維

《義務教育課程標準》中指出：“學生將探索基本圖形（直線形、圓）的基礎性質及相互關系，進一步豐富對空間圖形的認識和感受，學習平移、旋轉、對稱的基本性質，欣賞并體驗交換在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，學習運用坐標系確定物體的位置的方法，發(fā)展空間觀念. ”“推理與論證的學習主要從以下幾個方面展開：在探索圖形性質、與他人合作交流等活動過程中，發(fā)展合情推理，進一步學習有條理的思考與表達；在積累了一定的活動經驗與掌握了一定的圖形性質的基礎上，從幾個基本事實出發(fā)，證明一些有關三角形、四邊形的基本性質，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想. ”注意數(shù)形結合，把數(shù)轉化為形，變抽象為直觀.

例如：教學不等式這堂課，以2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標中的圖案引入，本屆大會會標的設計基礎是公元3世紀中國數(shù)學家趙爽的弦圖.

根據(jù)圖形特點和直角三角形的勾股定理，通過運算得到基礎不等式a2 + b2 ≥ 2ab，以幾何畫板演示量與量之間的關系，直觀明白不等式中“當且僅當b = a時不等號取‘=號”的意義.

蘇聯(lián)心理學家達維多夫認為，培養(yǎng)學生數(shù)學能力從具體導向抽象更為有效. 日本的杉原一昭說，數(shù)學教學實際上是從具體到抽象的教學，這種教學不只是簡單地從實物到符號，而是經過實物—外部言語—內部言語幾個階段的. 并且，數(shù)學的直線、圖表等也被賦予實物和符號的中間位置. 王仲春教授認為：“數(shù)學思維是指人類關于數(shù)學對象的理性認識過程，包括應用數(shù)學工具解決各種實際問題的思考過程. ”例如：探究函數(shù)y = Asin（ωx + φ）的圖像中φ、ω、A對圖像的影響，以幾何畫板演示動圖說明三個變量變化，原有圖形是如何變化的，學生在做這方面問題時，頭腦中就有了直觀印象，不用機械記憶它們的規(guī)律.

三、課堂教學上強調學生思維的整合

著名的數(shù)學教育家喬治·波利亞曾主張“教會學生思考”，將“有益的思考方式和思維習慣”放在數(shù)學教學的主要位置，教給學生死板的知識，還不如教給學生生動活潑的思維方法. 例如：（1）收斂數(shù)列一定有界，可有界數(shù)列不一定都收斂. （2）無窮小量的極限等于零，或說零是無窮小量，但并不等于無窮小就是零. 還要根據(jù)教學實際，及時引導學生把所學的知識加以組織整理，使知識逐步完善、系統(tǒng)化，并找出規(guī)律性的東西. 如在公式和法則的學習中，要指導學生注意公式的運用范圍、公式的來龍去脈以及相關公式之間的邏輯體系，例如：三角函數(shù)的和角公式、倍角公式、半角公式、和差化積公式、積化和差公式等，構成了一個邏輯關系緊密的公式體系，記住了和角公式，其他公式都可以由此推導出來.

在教學中既要注意使知識在層次上不斷深化，幫助學生把新知識及時納入已有的知識體系，特別要注意數(shù)學知識之間的關系和聯(lián)系，逐步形成和擴充知識結構系統(tǒng)，有意識地啟發(fā)引導學生從不同的方向，變換思維角度進行廣泛的探索與求解，融會貫通知識，探尋到最簡、最優(yōu)的解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學生的思維容易變通. 又如，“求證：兩條平行線a，b和同一平面α所成的角相等. ”因為直線與平面由于位置關系的不同，所成的角有不同的定義方式，當證明時應按不同的位置關系分層討論，教師要明確指導學生數(shù)學思考要仔細分析，分類討論不能重復、不能遺漏，分層次、不越級討論，思維活躍的同時，避免沒有條理 .

四、正確領會題意引導合情推理發(fā)展學生數(shù)學思維

現(xiàn)在是“應試教育”，不能題海戰(zhàn)術，而是每做一題理解其意思，進而思維活躍，能從一題可以衍生出很多題，很多思維方法、思路.

思維能力在解題過程中的表現(xiàn)就是學生思維活動的反映. 思維能力在解題過程中主要表現(xiàn)在三個方面：其一是能正確領會題意，明確解題目標；其二是能尋找到實現(xiàn)解題目標的方向和合適的解題步驟；其三是能通過合乎邏輯的推理和運算，正確地表述解題過程. 正確地領會題意，明確解題目標，是開展思維活動的前提.

例如：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上.

即：已知∠BAC在平面α內，點P？埸α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E，F(xiàn)，O，PE = PF，求證：∠BAO = ∠CAO.

變式：經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜射線，設它和已知角兩邊的夾角為銳角且相等，求證這條斜射線在平面內的射影是這個角的平分線. 改變題型，制作變式，學生在不同的類型題中注意到在應用三垂線時，一定要先確定出定理所必需的幾個元素：一找平面，二定垂線，三找斜線，則射影自見，可熟練掌握三垂線定理與逆定理，不斷深化對定理的認識.

五、日常生活中積累經驗，培養(yǎng)數(shù)學思維

20世紀下半葉以來，數(shù)學應用的巨大發(fā)展是數(shù)學發(fā)展的顯著特征之一. 當今知識經濟時代，數(shù)學正在從幕后走向臺前，數(shù)學和計算機技術的結合使得數(shù)學能夠在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，同時，也為數(shù)學發(fā)展開拓了廣闊的前景.

例如：以物理實驗中的現(xiàn)象引入，簡諧運動中單擺對平衡位置的位移y與時間x的關系、交流電的電流y與時間x的關系等都是形如y = Asin（ωx + φ）的函數(shù)（其中A，ω，φ都是常數(shù)）. 圖7是某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖像，將測得的圖像放大如圖8，可以看出它和正弦曲線很相似，由此引出課堂內容.

在有關內容的教學中，直接應用數(shù)學知識解決了一些簡單問題. 例如，運用函數(shù)、數(shù)列、不等式、統(tǒng)計等知識直接解決問題，函數(shù)可表示一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系，也可顯示人口數(shù)量的變化規(guī)律等. 也有通過數(shù)學建?；顒右龑W生從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并歸結為數(shù)學模型，嘗試用數(shù)學知識和方法去解決問題.

此題可綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、解析幾何等基礎知識，同時也可以考查方程思想、分類討論思想等重要數(shù)學思想方法.

教師要不斷加強自身的學習和提高，不斷提升自己的學科或領域知識、能力水平，學習加工學科或領域發(fā)展史上推動學科或領域發(fā)展的問題，深入理解探究教學的本質，掌握一些教學方法和技巧，還要掌握豐富的教育學與心理學知識.