包文光

一、構(gòu)造法

一個(gè)問題S如果在題目給定的系統(tǒng)里不易求解，倘若能找到一種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，把它轉(zhuǎn)化為另一個(gè)系統(tǒng)中的相應(yīng)問題S′，借助于對(duì)應(yīng)關(guān)系f或新的數(shù)學(xué)模型S′的性質(zhì)，獲得原來問題的解答.構(gòu)造模型是一種創(chuàng)造性思維，但離不開對(duì)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí).

1.求代數(shù)式的值

例1 tan15°+cot15°的值是（ ）.

A.2 B.2+3 C.4 D.433

圖 1分析 tan15°=a>0，則cot15°=1a.問題即求a+1a的值.構(gòu)造等腰三角形ABC，D是BC的中點(diǎn)，∠BAC=30°.如圖1.

解 設(shè)BD=DC=a，AD=1，則由三角形面積等效得：12·2a·1=12·a2+1·a2+1·sin30°，得：12（a2+1）=2aa2+1a=a+1a=4.

所以tan15°+cot15°=4.選C.

簡(jiǎn)評(píng) 本題通過構(gòu)造等腰三角形，將所求問題轉(zhuǎn)化為三角形面積的簡(jiǎn)單計(jì)算，省去了繁雜的三角變換，大大簡(jiǎn)化解題過程.實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

2.求最值（取值范圍）

例2 如果方程x2-4|x|+6=a有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

圖 2分析 原方程可化為（|x|-2）2=a-2，作y=（|x|-2）2與y=a-2的圖像，如圖2，由圖知a-2=0或a-2>4，即a=2或a>6時(shí)方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.

簡(jiǎn)評(píng) 本題通過恒等變形，構(gòu)造兩個(gè)不同函數(shù)，將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像模型中兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，使問題直觀簡(jiǎn)潔化.

3.證明（解）不等式

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=2|x+1|-|x-1|，求使f（x）≥22的x的取值范圍.

圖 3分析 由于y=2x是增函數(shù)，f（x）≥22等價(jià)于|x+1|-|x-1|≥32，我們構(gòu)建一條數(shù)軸，如圖3.不等式所賦予的幾何意義是數(shù)軸上的一點(diǎn)x到x=-1的距離與到x=1的距離大于等于32.

解 由圖易知：|x+1|-|x-1|=32的點(diǎn)為x=34，所以|x+1|-|x-1|≥32的解集為：34，+∞，即f（x）≥22的解集為34，+∞.

簡(jiǎn)評(píng) 本題通過構(gòu)造一條實(shí)數(shù)軸將絕對(duì)值不等式問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離差值問題，求解方便快捷.

二、圖像法

1.有關(guān)方程根及其分布（曲線的交點(diǎn)）

例4 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=|lg|x-1||x≠1

0x=1，則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（ ）.

A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0D.b≥0且c=0

圖 4分析 我們先考察f（x）的圖像如圖4.

f（x）>0x≠1

f（x）=0x=1且f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱.關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根f1（x）>0，f2（x）>0，則x的方程f2（x）+bf（x）+c=0必有8個(gè)不等實(shí)數(shù)根，與所給條件矛盾.所以方程f2（x）+bf（x）+c=0只可能是一個(gè)零根和一個(gè)正根，所以c=0.另一方面，顯然有-b2×1>0，所以b<0.即得b<0且c=0.選C.

簡(jiǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵：一是能夠比較正確地畫出分段函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖像，二是正確理解方程f2（x）+bf（x）+c=0的根的分布性質(zhì).

2.利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)

圖 6例5 如圖6，定圓半徑為a，圓心為（b，c），則直線ax+by+c=0與直線x-y+1=0的交點(diǎn)在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析 要確定一個(gè)點(diǎn)在第幾象限的基本方法是確定該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的符號(hào).由圖可得：a>c>0

b<0

|b|>a.

解 直線ax+by+c=0與直線x-y+1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為：-b+ca+b，1-b+ca+b，由已知條件得：-b+ca+b<-1，所以1-b+ca+b<0，所以兩直線的交點(diǎn)在第三象限.選C.

簡(jiǎn)評(píng) 要確定一個(gè)點(diǎn)在第幾象限的基本方法是確定該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的符號(hào).本題的關(guān)鍵是通過觀察圖像確定一些量的正負(fù)、大小關(guān)系.