歐陽慧珉，張廣明，梅 磊，鄧 歆

（南京工業(yè)大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，南京 211816）

基于S型曲線軌道的旋轉(zhuǎn)起重機(jī)殘留擺角抑制

歐陽慧珉，張廣明，梅 磊，鄧 歆

（南京工業(yè)大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，南京 211816）

旋轉(zhuǎn)起重機(jī)被廣泛地用于各種場合來運輸沉重物體或有害材料，例如建筑工地，工廠，核設(shè)施以及港灣等。由于旋臂的旋轉(zhuǎn)運動會使荷載產(chǎn)生一個二維擺角，因此針對此問題提出一種軌道生成的方式來同時實現(xiàn)旋臂的位置控制和荷載的殘留消擺控制。首先，導(dǎo)出一個包含離心力項的起重機(jī)部分線性模型。其次，基于該模型通過數(shù)值計算生成預(yù)先考慮了殘留擺角的S型曲線軌道。其中各個參數(shù)只需通過求解代數(shù)方程即可得到，降低了控制器設(shè)計的難度。同時該軌道可以應(yīng)用于常用的工業(yè)控制器中從而降低了系統(tǒng)構(gòu)建成本。最后，比較仿真和實驗結(jié)果驗證所提方法的有效性。通過使用此法可以實現(xiàn)在無測量擺角的傳感器系統(tǒng)情況下準(zhǔn)確地操作起重機(jī)，從而大大地簡化其結(jié)構(gòu)和降低其安裝成本。

旋轉(zhuǎn)起重機(jī)運動控制殘留擺角抑制S型曲線軌道跟蹤控制

起重機(jī)系統(tǒng)與工業(yè)機(jī)器人相比，前者使用較少的執(zhí)行機(jī)構(gòu)和具有較簡易的結(jié)構(gòu)，因此被廣泛地應(yīng)用于建筑工地，港灣等場合。特別地，旋轉(zhuǎn)起重機(jī)不像橋式起重機(jī)那樣需要行走軌道等大型設(shè)備，所以它們可以應(yīng)用于像卡車的載物臺這樣的狹小空間?？墒?，旋臂的旋轉(zhuǎn)運動會使荷載產(chǎn)生一個二維擺角；因此，操作人員必須具備很高的熟練度來控制起重機(jī)使得荷載迅速而準(zhǔn)確地到達(dá)指定位置。操作上的失誤會造成事故，人員傷亡以及破壞周圍的環(huán)境。

為了減輕操作人員的負(fù)擔(dān)和提高他們工作的安全性，許多研究人員已經(jīng)為起重機(jī)系統(tǒng)開發(fā)了各種各樣的控制器。沈瀅等［1－2］提出了一種基于坐標(biāo)變換的旋轉(zhuǎn)起重機(jī)直線搬送最優(yōu)控制方法。歐陽慧珉等［3］提出了一種基于線性矩陣不等式（LMI）的魯棒控制器。除此之外還包括了滑模變結(jié)構(gòu)控制4］，輸入整形控制［5－6］，增益調(diào)度控制［7］，基于李亞普諾夫穩(wěn)定性定理的非線性控制［8］以及模糊控制［9］。

然而，在現(xiàn)存的研究中大多同時利用旋臂的起伏運動和旋轉(zhuǎn)運動來實現(xiàn)消擺控制。如果可以提出一種只利用旋臂的旋轉(zhuǎn)運動即無需其起伏運動而實現(xiàn)消擺控制方法的話，就可以實現(xiàn)無需控制旋臂起伏運動的執(zhí)行機(jī)構(gòu)的起重機(jī)，從而大大地簡化了起重機(jī)的結(jié)構(gòu)和降低了制造成本。因為旋臂的起伏運動只是用來克服重力的。

但是，當(dāng)只利用旋臂的旋轉(zhuǎn)運動來消除這個二維擺角時，起重機(jī)在目標(biāo)位置附近的線性化系統(tǒng)則變成不可控制系統(tǒng)。為了解決這個問題，已經(jīng)有研究者提出了一些方法［10－13］。這些方法主要可分為兩種類型：一種是開環(huán)控制，即無需擺角信息的軌道生成法［10－11］。另一種是閉環(huán)控制，即利用由傳感器系統(tǒng)測量到的擺角信息實現(xiàn)消擺控制［12－13］。前者雖然無需額外的傳感器系統(tǒng)，但是大多生成較為復(fù)雜的軌道從而很難應(yīng)用于常用的工業(yè)控制器中。另一方面，后者雖然可以實現(xiàn)對起重機(jī)系統(tǒng)的魯棒控制，但是需要測量擺角的傳感器系統(tǒng)從而增加系統(tǒng)安裝難度和成本。

本文將提出一種S型曲線軌道生成法去實現(xiàn)對荷載二維擺角的抑制控制。該軌道可應(yīng)用于常用的工業(yè)控制器中。為實現(xiàn)上述目的，首先，導(dǎo)出一個包含離心力項的起重機(jī)部分線性模型。其次，基于該模型通過數(shù)值計算生成預(yù)先考慮了殘留擺角的S型曲線軌道。最后，比較仿真和實驗結(jié)果驗證所提方法的有效性。

1 旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型

在如圖1所示的旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型中，θ1，θ2分別表示旋臂起伏運動平面的擺角和旋轉(zhuǎn)運動平面的切線方向的擺角；θ3，θ4分別表示旋臂的起伏角和旋轉(zhuǎn)角；L，l分別表示旋臂長度和懸繩長度；x，y，z表示荷載的三維空間位置。

圖1 旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型Fig．1 Schematic model of rotary crane

假設(shè)旋轉(zhuǎn)起重機(jī)模型具有以下特性：

（1）荷載可以看作是一個質(zhì)點，且懸繩的扭力可以忽略不計。

（2）僅考慮荷載－懸繩振動系統(tǒng)中的1次振型。

（3）由于擺角θi很小，因此sinθi?θi和cosθi?1（i ＝1，2）成立。

根據(jù)拉格朗日運動方程懸繩和荷載組成的振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程

由于旋臂旋轉(zhuǎn)運動產(chǎn)生的離心力主要影響著二維擺角，為了導(dǎo)出控制器，對式（1）和式（2）在旋臂到達(dá)目標(biāo)位置附近進(jìn)行線性化但不包括離心力項和重力項并假設(shè)θ很小，使得?0，θθ?0?0?

1ij?0（i，j＝1，2）成立。在這種情況下，得到其部分線性模型

由式（3）和式（4），得到以下簡易模型：

2 軌道生成與結(jié)果

2.1 軌道生成

本小節(jié)基于式（5）和式（6）所示模型為旋臂的旋轉(zhuǎn)運動生成預(yù)先考慮了殘留擺角的S型曲線速度軌道。該軌道如圖2所示，其中參數(shù)t，t，t，分別表示

123加速區(qū)間，勻速區(qū)間，減速區(qū)間以及最高速度。

圖2 S型曲線速度軌道Fig．2 S-shaped curve velocity trajectory

S型曲線速度軌道

首先，將式（7）代入式（5）中，得到起伏方向擺角θ1在區(qū)間t∈［0，t1）上的值θ11為

同理，旋轉(zhuǎn)方向擺角θ2在區(qū)間t∈［t1，t1＋t2）上的值θ22為

2.2 軌道生成條件及結(jié)果

由于式（15）～式（18）是非線性方程組，因此其數(shù)值解取決于它們的初始值。采用列文伯格算法求解并設(shè)定最高速度的初始值為0．3 rad／s。加速區(qū)間t1與減速區(qū)間t3相同，并使其初始值在0．05 s～1．5 s之間變化。旋轉(zhuǎn)角θ4的目標(biāo)值θ4f分別設(shè)定為30°，45°和 60°。勻速區(qū)間t的初始值則可由t，t的初始值和

213θ4f求出，結(jié)果如表1所示。因為假設(shè)荷載固有角頻率ωn不變，所以對于不同的θ4f得到了相同的t1，t2，t3。

表1 軌道生成條件及結(jié)果Tab.1 Trajectory generation conditions and results

3 仿真與實驗

3.1 目標(biāo)軌道

將式（7）所示S曲線速度軌道進(jìn)行積分可得到其位置軌道

式中θ4f，Tf分別表示目標(biāo)角度和最終時間，并設(shè)定Tf＝10 s。

3.2 跟蹤控制器設(shè)計

旋臂的旋轉(zhuǎn)運動可由下式表示：

式中J，d，K，u分別表示旋臂轉(zhuǎn)動慣量，包含非線性力的系統(tǒng)外部干擾，系統(tǒng)參數(shù)以及指令電壓。式（20）假設(shè)旋臂轉(zhuǎn)動慣量J是常量，但是其變化部分可看作系統(tǒng)外部干擾并包含于d。

為了補(bǔ)償系統(tǒng)外部干擾的影響，將以下所示干擾觀測器（DOB）應(yīng)用于式（20）：

式中s，v，ω分別表示微分算子，由反饋控制器算出新的控制輸入以及低通濾波器（LPF）的截止角頻率。該控制系統(tǒng)的方框圖如圖3所示。

圖3 含有干擾觀測器控制系統(tǒng)Fig．3 Control system with disturbance observer

起重機(jī)系統(tǒng)動力學(xué)特性在低頻區(qū)域可表示為下式：

另外，假設(shè)目標(biāo)軌道r的一階與二階導(dǎo)數(shù)r，r存在并可用于控制器設(shè)計。本文采用如下所示的比例微分控制器作為跟蹤控制器：

式中Kv，Kp為控制器增益。

將式（23）代入式（22）可得：

當(dāng)Kv＞0，Kp＞0時，該系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。本文應(yīng)用試湊法設(shè)定Kv＝50 1／s，Kp＝30 1／s2。

3.3 仿真驗證

由于在3．1節(jié)中所得出的S型曲線軌道是基于式（5）和式（6）所示模型（以下稱作簡易模型），因此除了要驗證對于簡易模型的有效性之外，還要驗證其對于式（1），式（2）和式（20）所示模型（以下稱作原模型）的有效性。仿真參數(shù)如表2所示，其中J，K由電機(jī)特性測試實驗所得；L，m為設(shè)計參數(shù)；l為測量所得。

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Parameters of simulations

首先，基于簡易模型的仿真結(jié)果如圖4－圖6所示。圖4（c）和圖4（d）所示兩個方向的擺角都得到很好的抑制，同時圖4（a）所示旋轉(zhuǎn)角也與目標(biāo)軌道一致，并且對于所有的目標(biāo)角度θ4f都得到幾乎相同的結(jié)果。

圖4 基于簡易模型的S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝30°）Fig．4 S-shaped curve trajectory results based on simple model（θ4f＝30°）

圖5 基于簡易模型的S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝45°）Fig．5 S-shaped curve trajectory results based on simple model（θ4f＝45°）

圖6 基于簡易模型的S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝60°）Fig．6 S-shaped curve trajectory results based on simple model（θ4f＝60°）

圖7 基于原模型的S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝30°）Fig．7 S-shaped curve trajectory results based on original model（θ4f＝30°）

圖8 基于原模型的S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝45°）Fig．8 S－shaped curve trajectory results based on original model（θ4f＝45°）

其次，驗證所提出軌道對原模型的有效性。式（20）所示外部干擾d不僅包括非線性力還包括了如下所示摩擦項：

式中C，fn分別表示粘性摩擦系數(shù)，靜摩擦或庫倫摩擦。fn的屬性為

式中fs，fc分別表示靜摩擦和庫倫摩擦，其值為C＝1．39 Nm／（rad／s），fs＝3．71 Nm，fc＝3．58 Nm。

采用圖3所示的含有干擾觀測器的控制系統(tǒng)對摩擦項進(jìn)行補(bǔ)償并作仿真分析，其結(jié)果如圖7～圖9所示。

另外，本文所提出的S型曲線軌道分別應(yīng)用于簡易模型，原模型（不含干擾觀測器）以及原模型（含干擾觀測器）時的旋轉(zhuǎn)角平均穩(wěn)態(tài)誤差，最大起伏殘留擺角和最大旋轉(zhuǎn)殘留擺角如表3～表5所示。

由圖4～圖9以及表3～表5可知，盡管由于式（1）和式（2）中非線性項以及旋臂驅(qū)動系統(tǒng)的摩擦項式（25）的影響，存在于圖7～圖9中的無論是旋轉(zhuǎn)角穩(wěn)態(tài)誤差還是殘留擺角振幅都要大于圖4～圖6中相對應(yīng)的性能，并且和也會隨著旋轉(zhuǎn)角速度的增大而增大。但是，通過使用含有干擾觀測器的控制系統(tǒng)不僅減少了旋轉(zhuǎn)角的穩(wěn)態(tài)誤差，也加強(qiáng)了擺角的抑制效果，并將其控制在很小的范圍內(nèi)了。

表3 仿真結(jié)果比較（θ4f＝30°）Tab.3 Comparison of simulation results（θ4f＝30°）

表4 仿真結(jié)果比較（θ4f＝45°）Tab.4 Comparison of simulation results（θ4f＝45°）

圖9 基于原模型的S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝60°）Fig．9 S-shaped curve trajectory results based on original model（θ4f＝60°）

表5 仿真結(jié)果比較（θ4f＝60°）Tab.5 Comparison of simulation results（θ4f＝60°）

3.4 實驗設(shè)備

如圖10所示的系統(tǒng)由驅(qū)動旋臂起伏和旋轉(zhuǎn)運動的直流電動機(jī)，旋臂，懸繩，荷載等部分構(gòu)成。旋轉(zhuǎn)角可由編碼器測得，其角度測量分辨率為1．8×10－3。在本文中，僅使用驅(qū)動旋臂旋轉(zhuǎn)運動的電機(jī)，即電機(jī)2。

測量擺角的傳感器系統(tǒng)如圖11所示。測量起伏方向擺角θ1的電位計1固定在旋臂上。測量旋轉(zhuǎn)方向擺角θ2的電位計2固定在部件1上，并圍繞電位計1的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。部件2和長桿共同圍繞電位計2的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。部件3相對于長桿，部件4相對于部件3分別旋轉(zhuǎn)。部件4可沿著懸繩滑動。其角度測量分辨率為6．4×10－2。在本文中，該系統(tǒng)僅用來觀測擺角。

圖10 實驗系統(tǒng)Fig．10 Experimental system

圖11 測量擺角的傳感器系統(tǒng)Fig．11 Sensor system for measuring load sway

另外，實驗設(shè)備各組件型號等參數(shù)如表6所示。

表6 實驗設(shè)備組件Tab.6 Elements of experimental apparatus

3.5 比較實驗

本小節(jié)通過比較實驗進(jìn)一步驗證本文中所提出的S型曲線軌道的有效性。實驗參數(shù)與仿真參數(shù)相同。

用于比較的擺線軌道如下所示：

式中θ0，θ4f，ts，Tf分別表示初始角度，目標(biāo)角度，到達(dá)時間，終了時間，并設(shè)定為θ0＝0°，θ4f＝45°，ts＝5 s，Tf＝10 s。其結(jié)果如圖12所示。在圖12（a），（b）和（d）中實驗結(jié)果與仿真結(jié)果幾乎一致。然而在圖12（c）中，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果之間存在的差異是由于懸繩與旋臂頂端之間的摩擦所造成的，該摩擦因素使得起伏方向的擺角θ1發(fā)生了衰減。

S型曲線軌道的結(jié)果如圖13所示。雖然與圖12一樣起伏方向擺角θ1也發(fā)生了衰減，但是很明顯S型曲線軌道更好地抑制了旋轉(zhuǎn)方向擺角θ2，同時比擺線軌道要快0．6 s到達(dá)目標(biāo)位置。

當(dāng)目標(biāo)角度θ4f分別為30°和60°時的結(jié)果如圖14和圖15所示，并得到與θ4f＝45°時幾乎相同的結(jié)果。

表7 實驗結(jié)果比較（θ4f＝45°）Tab.7 Comparison of experimental results（θ4f＝45°）

圖12 擺線軌道結(jié)果（θ4f＝45°）Fig．12 Cycloid curve trajectory results（θ4f＝45°）

圖13 S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝45°）Fig．13 S-shaped curve trajectory results（θ4f＝45°）

圖14 S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝30°）Fig．14 S-shaped curve trajectory results（θ4f＝30°）

圖15 S型曲線軌道結(jié)果（θ4f＝60°）Fig．15 S-shaped curve trajectory results（θ4f＝60°）

圖16 閉環(huán)控制方式結(jié)果（θ4f＝45°）Fig．16 Closed-loop control results（θ4f＝45°）

3.6 閉環(huán)控制方法

為了進(jìn)一步驗證S型曲線軌道的有效性，本小節(jié)將基于李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的非線性反饋控制器用于與本文相同的起重機(jī)系統(tǒng)實現(xiàn)擺角的消擺控制［14］。在文獻(xiàn)［14］中，為了對旋臂驅(qū)動系統(tǒng)摩擦項的補(bǔ)償從而可以獲得良好的旋轉(zhuǎn)角跟蹤特性，采用了與3．2節(jié)相同的干擾觀測器。其次，基于起重機(jī)簡易模型設(shè)計了一種非線性變結(jié)構(gòu)控制器，該方法不僅反饋了旋轉(zhuǎn)角及其角速度而且還利用了兩個方向的擺角及其角速度信息。其仿真和實驗結(jié)果如圖16所示。

另外，擺線軌道，S型曲線軌道以及閉環(huán)控制法分別應(yīng)用于起重機(jī)系統(tǒng)時的旋轉(zhuǎn)角平均穩(wěn)態(tài)誤差，最大起伏殘留擺角，最大旋轉(zhuǎn)殘留擺角以及到達(dá)時間如表7所示。

由圖12，圖13，圖16以及表7可知，因為使用了擺角的信息，所以閉環(huán)控制法獲得了較短的運送時間，但是荷載搬送中的擺角要大于前種方法。因此也證明了即使不使用擺角信息且僅用S型曲線軌道同樣可以獲得很好的旋臂定位精度和擺角抑制效果。

4 結(jié) 論

本文的目的是在不使用測量擺角的傳感器的前提下只使用旋臂旋轉(zhuǎn)運動實現(xiàn)起重機(jī)消擺控制。為此，首先導(dǎo)出了一個包含離心力項的起重機(jī)部分線性模型。其次，基于該模型通過數(shù)值計算生成了預(yù)先考慮了殘留擺角的S型曲線軌道。其中各個參數(shù)只需通過求解代數(shù)方程即可得到，降低了控制器設(shè)計的難度。最后，比較仿真和實驗結(jié)果驗證了該方法的有效性。該軌道可以應(yīng)用于常用的工業(yè)控制器中從而降低了系統(tǒng)構(gòu)建成本，同時也為簡化起重機(jī)結(jié)構(gòu)和增加其安全性提供了一種可能。該控制方法可適用于其他類似的起重機(jī)模型，具有一定的普遍性。

然而，在實際的起重機(jī)操作過程中懸繩長度的變化會影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及控制性能，接下來將該方法擴(kuò)展到繩長變化的情況。

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Residual load sway suppression for rotary cranes based on an S-shaped curve trajectory

OUYANG Hui-min，ZHANG Guang-ming，MEI Lei，DENG Xin
（College of Automation and Electrical Engineering，Nanjing Tech University，Nanjing 211816，China）

Rotary cranes are widely used to transport heavy loads and hazardous materials in various environments，such as，shipyards，factories，nuclear installations，and construction sites．Because horizontal motion of booms in rotary cranes typically generates an undesirable two-dimensional load sway，a trajectory generation method was proposed to realize boom positioning control and residual load sway suppression．Firstly，a partial linearized dynamic model of a rotary crane including a centrifugal force term responsible for the two-dimensional load sway was derived．Next，an S-shaped curve trajectory suppressing residual load sway was generated with the numerical calculation method．The parameters of the trajectory were obtained only by solving algebraic equations．This trajectory was applied to conventional industrial controllers for reducing their system construction cost．Finally，comparing the results of simulations and tests demonstrated the effectiveness of the proposed method．Thus，the crane could be precisely operated without sensor systems for measuring load sway，the structure of the crane was simplified and its installing cost was reduced．

rotary crane；motion control；residual load sway suppression；S-shaped curve trajectory；tracking control

TH21

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．030

國家自然科學(xué)基金（51277092）；江蘇省基礎(chǔ)研究計劃（自然科學(xué)基金）資助項目（BK20130938）；江蘇省高校自然科學(xué)研究項目資助（14KJB510013）

2014－06－09 修改稿收到日期：2014－07－23

歐陽慧珉男，博士，講師，1982年6月