郭 峰， 謝建華， 樂 源

(西南交通大學力學與工程學院，四川成都 610031)

由于混沌現象的廣泛存在，最近幾十年，在非線性控制領域內，混沌控制的研究受到越來越多的關注.人們通過對各種混沌現象產生機理的研究，在不斷發(fā)現新的混沌奇異性的同時，也逐漸認識到混沌運動對系統(tǒng)的危害，甚至會給系統(tǒng)帶來災難性的后果.而混沌在某些環(huán)境下是有用的，因此，在某些實際系統(tǒng)中，控制混沌或者混沌的反控制是非常重要和有現實意義的.

混動控制的研究始于20世紀80年代末，早期的研究思路是用現有的動力學控制策略破壞混沌運動發(fā)生的條件.文獻[1]提出控制混沌的OGY方法.文獻[2-9]根據各種不同情況提出了不同的改進措施，進一步發(fā)展了OGY方法.混沌吸引子中的高周期態(tài)控制以及高維動力學系統(tǒng)的混沌控制是OGY方法發(fā)展的一個重要方向.文獻[10]采用線性系統(tǒng)控制中的極點配置技術，對OGY方法進行了改進.

文獻[11]對兩維的Lauwerier映射進行了研究，當參數滿足0＜b＜0.5、a==4時，系統(tǒng)出現混沌現象.文獻[12]對Lauwerier吸引子的結構及其動力學行為進行了分析.文獻[13]研究了Lauwerier映射混沌吸引子的遍歷性，但目前尚未見Lauwerier映射的混沌控制問題研究，對該系統(tǒng)的混沌控制有助于解決對高周期態(tài)和高維系統(tǒng)的控制問題.

本文采用極點配置法，對Lauwerier映射出現的混沌運動進行控制，在保持原系統(tǒng)不改變的情況下，將不穩(wěn)定的周期-1軌道和周期-2軌道控制在穩(wěn)定的周期軌道上，對不同調節(jié)器極點對混沌控制時間的影響進行了分析.

1 極點配置方法

考慮如下映射:

式中:

F是充分光滑的函數;

a是可控的實參數，在某時間段內要求

δ為控制區(qū)域.

若Z*()為映射式(1)的不穩(wěn)定周期-1軌道，則該映射可近似線性化為

式中:

A=?F/?Z和B=?F/?a在Z=Z*()和a=處求值.

假設依賴時間的控制參數a是關于變量zi的線性函數，即

式中:

KT為反饋增益矩陣.

將式(3)代入式(2)得到

由式(4)知，若矩陣A－BKT是漸進穩(wěn)定(即其特征值的模均小于1)的，則不動點Z*(ˉ)將變?yōu)榉€(wěn)定的.

關鍵問題是確定滿足上述條件的矩陣KT，文獻[14]給出了求解極點配置的方法，極點配置問題存在唯一解的充要條件是矩陣Cn×n是秩為n的可控矩陣.

式中:

βi(i=1，2，…，n)為矩陣 A 的特征多項式

的系數;

α1，α2，…，αn是 A －BKT的特征多項式

的系數.

極點配置問題的解由

2 平面Lauwerier映射的混沌控制

考慮定義在區(qū)域 Q=[0，1]×[0，1]上的兩維Lauwerier映射

式(9)把垂直線段x=ξ(0≤y≤1)映射為拋物線.

圖1中，把水平線段y=η(0≤x≤1)映射為水平線段y=4η(1－ η)(η≤x≤η +b(1 －2η))，因而式(9)把Q映射到其內部，形成一個類似Smale馬蹄形狀的像L(Q).

圖1 正方形Q及其像L(Q)Fig.1 Square Q and L(Q)

對式(10b)進行迭代，再取極限得到

再由式(10a)的變換，將式(11)代入式(10a)，可以得到式(9)的不變曲線J的表達式為

由吸引子的定義和文獻[12]的分析，可知對Q內任一點x，當n→∞時Fn(x)→J－，不變曲線J的閉包構成了式(9)的吸引子.

和周期-2軌道:

當式(9)中a=3時出現周期倍化分岔，在a=3.6時出現混沌運動，圖2為式(9)的混沌相圖，圓點是其周期-1軌道，加號表示周期-2軌道.

圖2 Lauwerier映射的混沌相圖Fig.2 Chaotic phase diagram of Lauwerier mapping

2.1 控制在周期-1軌道

可控矩陣是秩為2的矩陣βi(i=1，2)為矩陣A的特征多項式系數，

求得A的特征多項式的根為λs=－1/8，λu=－2，α1和α2是A－BKT的特征多項式的系數，若假設A－BKT的特征根μ1和μ2為調節(jié)器極點，即

得到根與系數的關系為

當 μ1=1時，α1= －1－α2;當 μ1= －1時，α1=1+α2;當 μ1μ2=1時，α2=1.因此，α1和 α2的取值范圍如圖3中的灰色區(qū)域所示.

在圖3中三角形區(qū)域內，對α1和α2取不同的值使得控制時間不同.由第1節(jié)可知KT的取法不是唯一的，只要在三角形區(qū)域中取α1和α2值，然后求得矩陣KT，都能滿足矩陣A－BKT是漸進穩(wěn)定的，所以取 μ1=0，μ2=λs，即(α1，α2)=(－ λs，0)時得

式中:u為階躍函數，

圖3 調節(jié)器極點的選取區(qū)域Fig.3 Selection of regulator pole area

圖4表示取不同的α1和α2時將混沌控制在周期-1 軌道，控制區(qū)域 δ=0.02.當

α1=1/8， α2=0

時，系統(tǒng)經過230多次的迭代實現控制的目的.當α1=1/6， α2= －1/4

時，經過3 300次的迭代完成混沌控制.

2.2 控制在周期-2軌道

最直接的方法就是將式(9)進行迭代，則周期軌道上的點都是不動點，然后由上述方法進行控制.當=4時，得到周期-2軌道為

(x1，y1)=(0.409 0，0.904 5)，

式中:f和g為通過式(9)的二次迭代所得的函數.

圖4 將混沌運動控制在周期-1軌道上Fig.4 Control chaos to period-1 orbit

計算可控矩陣

β1i(i=1，2)為矩陣A1的特征多項式的系數，β11=1.850 0，β12=0.579 9，特征根為 λ1s=－0.399 9，λ1u= －1.450 1，α11和 α12是 A1－B1KT1的特征多項式的系數，取于是得反饋增益矩陣

β2i(i=1，2)為矩陣A2的特征多項式系數，

β21=3.926 5， β22=－0.109 0，特征根為 λ2s=0.027 6，λ2u= － 3.954 1.取(α21，α22)=(－ λ2s，0)，得到

得到反饋增益矩陣 KT2=(－0.394 7，6.164 0).

控制率可由下式給出

如圖5 所示，取 δ=0.02、α11= － λ1s、α12=0、α21=－λ2s和α22=0經過430次的迭代將混沌運動控制在周期-2軌道上.

圖5 將混沌控運動制在周期-2軌道上Fig.5 Control chaos to period-2 orbit

3 結束語

運用改進的OGY方法，在不改變原系統(tǒng)的基礎上，實現了對Lauwerier映射的混沌進行控制.利用線性控制理論中的極點配置方法，選擇控制參數的擾動量，分別將不穩(wěn)定的周期-1軌道和周期-2軌道控制在穩(wěn)定的周期-1軌道和周期-2軌道上，結果顯示，選取不同的極點值時，控制時間會不同.參考文獻:

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