李曉飛，鄭海鷹

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

表決系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的近似置信限比較

李曉飛，鄭海鷹?

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

利用E-Bayes和多層Bayes方法對(duì)定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)下表決系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)，得到了部件失效率、系統(tǒng)可靠性和系統(tǒng)平均壽命的E-Bayes近似置信限和多層Bayes近似置信限，并利用蒙特卡羅方法進(jìn)行模擬比較，結(jié)果表明，多層Bayes方法比E-Bayes方法更具優(yōu)勢(shì)．

表決系統(tǒng)；可靠性指標(biāo)；多層Bayes估計(jì)；E-Bayes估計(jì)；近似置信限

在系統(tǒng)工程領(lǐng)域，系統(tǒng)的可靠性是指系統(tǒng)在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)其規(guī)定功能的能力．表決系統(tǒng)的可靠性研究是系統(tǒng)可靠性分析的重要組成部分，在系統(tǒng)工程領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用價(jià)值．關(guān)于表決系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的近似置信限問(wèn)題，近年來(lái)已有許多研究[1-4]，例如，文獻(xiàn)[2]給出了并聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的多層Bayes近似置信限，同時(shí)給出了定數(shù)雙截尾樣本下表決系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes近似置信限，文獻(xiàn)[4]給出了失效率的綜合E-Bayes估計(jì)置信限，但關(guān)于置信限之間優(yōu)劣比較的研究報(bào)道較少．本文利用E-Bayes方法和多層Bayes方法研究了部件壽命服從泊松型元件組成的表決系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)的近似置信限，并利用蒙特卡羅方法進(jìn)行模擬比較，結(jié)果顯示，多層Bayes估計(jì)比E-Bayes估計(jì)更具優(yōu)勢(shì)．

1 模型與基本假定

表決系統(tǒng)是一個(gè)由n個(gè)部件組成，當(dāng)且僅當(dāng)其中至少有k個(gè)部件正常工作時(shí)系統(tǒng)才能保持正常工作狀態(tài)的系統(tǒng)．假設(shè)表決系統(tǒng)滿足下列條件：

1）設(shè) K/ N（ G ）表決系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的同類部件組成，此n個(gè)部件為隨機(jī)選?。畬?duì)抽取的n個(gè)樣本進(jìn)行試驗(yàn)，當(dāng)有部件失效后，不再補(bǔ)充，直到時(shí)刻T時(shí)停止試驗(yàn)，這種試驗(yàn)稱為無(wú)替換定時(shí)截尾試驗(yàn)[1]．預(yù)先確定試驗(yàn)截止時(shí)間為T．

2）每個(gè)部件的壽命服從參數(shù)為λ的泊松分布，即：

3）部件失效率λ的先驗(yàn)分布為：

2 可靠性指標(biāo)的近似置信限

2.1 失效率λ的近似置信限

2.2 失效率λ的E-Bayes估計(jì)近似置信限

2.3 失效率λ的多層Bayes近似置信限

證明：現(xiàn)對(duì)壽命服從泊松分布的部件進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn)，截尾時(shí)間為T，i=1,2,…,n，得到部件失效率的估計(jì)為λ，在此試驗(yàn)數(shù)據(jù)下的似然函數(shù)為：

3 系統(tǒng)可靠性和平均壽命的近似置信限

3.1 系統(tǒng)的可靠度與平均壽命的Bayes近似置信限

證明：部件壽命服從泊松分布的表決系統(tǒng)的可靠度與平均壽命分別為：

3.2 系統(tǒng)可靠度與平均壽命的E-Bayes近似置信限

3.3 系統(tǒng)可靠度與平均壽命的多層貝葉斯近似置信限

定理5 表決系統(tǒng)可靠度和平均壽命置信度為1-α的多層Bayes近似置信下限為：

4 隨機(jī)模擬與置信限精度優(yōu)劣的比較

4.1 隨機(jī)模擬

利用蒙特卡羅隨機(jī)模擬方法[7]對(duì)近似置信限進(jìn)行模擬．

1）考慮 3/5（ G ）系統(tǒng)，隨機(jī)產(chǎn)生服從λ=0.2的泊松分布的值a1, a2及服從（0, 1）上的均勻分布的值b1, b2，以a1, b1為真值，以a2, b2為隨機(jī)產(chǎn)生的模擬值．

2）將a1, b1及a2, b2分別代入（4）式得到失效率λ的置信下限 λ?L，再將a1, b1和a2, b2代入（7）式和（8）式得到系統(tǒng)可靠度和平均壽命的置信下限．

3）將a1, b1代入（1）式得到失效率λ的值，將失效率λ、失效數(shù)目Xi=r以及既定時(shí)間t0分別代入（5）式和（6）式，得到失效率λ的E-Bayes近似置信限與多層Bayes近似置信下限．

4）將 λ?EB代入（9）式和（10）式得到系統(tǒng)可靠度和平均壽命的E-Bayes近似置信限，將 λ?MB代入（11）式和（12）式得到系統(tǒng)可靠度和平均壽命的多層Bayes近似置信下限．

模擬結(jié)果見1．可以看出，樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，E-Bayes近似置信限與多層Bayes近似置信限有顯著性的差異，可靠性指標(biāo)的多層Bayes置信限與真值更接近，且多層Bayes置信限比E-Bayes置信限更加精確．樣本數(shù)據(jù)較大時(shí)，E-Bayes近似置信限與多層Bayes近似置信限沒有顯著性的差異．

表1 隨機(jī)模擬結(jié)果 (a1= 5, a2= 6, b1= 0.5, b2= 0.7, t0= 5)

4.2 置信限精度的優(yōu)劣比較

1）給定a, b的值 a*, b*，利用隨機(jī)模擬產(chǎn)生一組λ值，選取其中一個(gè)記為 λ*，將得到的值分別代入（5）式和（6）式得到 R（ t*）與 MTTF（ t*）．

3）重復(fù)步驟1）、2）N次，分別得到N組數(shù)據(jù)，分別考慮E-Bayes近似置信限與多層Bayes近似置信限覆蓋 λ*、 R（ t*）、 MTTF（ t*）的比例C0．

模擬結(jié)果見2．從表2可以看出，多層Bayes近似置信限比E-Bayes近似置信限具有更好的精度，特別是在小樣本數(shù)據(jù)情況下，多層 Bayes估計(jì)具有顯著性優(yōu)勢(shì)，樣本數(shù)據(jù)較大時(shí)，多層Bayes近似置信限與E-Bayes近似置信限的精度沒有顯著性差異．

表2 置信限精度的模擬結(jié)果 (a1= 5, b1= 0.5)

[1] 嚴(yán)惠云, 師義民. 并聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的多層Bayes近似置信限[J]. 西南民族大學(xué), 2007, 24(1): 39-41.

[2] 師義民, 寇開昌, 周巧娟. 定數(shù)雙截尾樣本下 K/N(G) 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2007, 37(1): 84-88.

[3] 武東, 湯銀才. 指數(shù)分布逐次定數(shù)截尾試驗(yàn)的多層貝葉斯估計(jì)[J]. 上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 28(2): 114-116.

[4] 劉永峰, 鄭海鷹. 無(wú)失效數(shù)據(jù)失效率的綜合E-Bayes估計(jì)[J]. 溫州大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2011, (10): 7-13.

[5] SHI Y M, SHI X L, XU Y. Approximate confidence limits of the reliability performances for a cold standyseries system [J]. Journal of Applied Mathematics and Computing, 2005, 28(2): 439-445.

[6] 峁詩(shī)松. 貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M]. 北京: 中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社, 1999: 13-20.

[7] 趙宇, 楊軍, 馬小兵. 可靠性數(shù)據(jù)分析教程[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2003: 122-131.

The Approximate Confidence Limit of the K/N(G) System’s Reliability Performance

LI Xiaofei , ZHENG Haiying
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou,China 325035)

An estimation is made of the K/N(G) system’s reliability performances based on E-Bayes and multiple Bayes method, achieving the approximate confidence limits of the failure rate, reliability function and average life. Then, the results are compared with Monte-Carlo simulation. The multiple Bayes method shows a distinct advantage over E-Bayes method.

K/N(G) system; Realiability Performances; Multiple Bayes Method; E-Bayes; Approximate Confidence Limit

O213

A

1674-3563(2014)01-0017-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-03-08

李曉飛(1988- )，男，山東茌平人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)．? 通訊作者，wzzhying@163.com