杜文舉,俞建寧,張建剛,張 莉,安新磊

(1．蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070；2．蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部，甘肅蘭州 730050)

一個(gè)新四維混沌系統(tǒng)的Hopf分岔分析

杜文舉1,俞建寧1,張建剛1,張 莉2,安新磊1

(1．蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070；2．蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部，甘肅蘭州 730050)

通過非線性動(dòng)力學(xué)理論，分析了一個(gè)四維混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及其基本動(dòng)力學(xué)特性，并通過中心流形理論和范式理論，給出了決定系統(tǒng)周期解穩(wěn)定性和方向的表達(dá)式．最后，通過數(shù)值仿真證明了理論分析的正確性．

四維混沌系統(tǒng)；Hopf分岔；Poincaré截面；Lyapunov指數(shù)；范式理論

對(duì)于含參數(shù)的系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)變動(dòng)并經(jīng)過某些臨界值時(shí)，系統(tǒng)的拓樸結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生本質(zhì)的變化，稱這種變化為分岔．Hopf分岔是一類比較簡(jiǎn)單但很重要的動(dòng)態(tài)分岔，它不僅在動(dòng)態(tài)分岔研究和極限環(huán)研究中有重要的理論價(jià)值，而且因?yàn)樗芮新?lián)系著自激振動(dòng)產(chǎn)生的問題，所以在實(shí)際問題中也有著很廣泛的應(yīng)用[1-2]．文獻(xiàn)[3]對(duì)一個(gè)新的類Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了研究，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，從理論方面研究了該系統(tǒng)的Hopf分岔及余維二退化Hopf分岔，給出了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔和余維二退化Hopf分岔的參數(shù)條件；文獻(xiàn)[4]詳細(xì)討論了一個(gè)類Lorenz系統(tǒng)的穩(wěn)定性，運(yùn)用第一Lyapunov系數(shù)法分析了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的Hopf分岔情況；文獻(xiàn)[5]提出了一個(gè)新的三維自治類Lorenz系統(tǒng)，從理論上分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并通過數(shù)值計(jì)算分析了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，給出了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的條件；文獻(xiàn)[6]討論了一個(gè)混沌系統(tǒng)的Hopf分岔情況，并通過計(jì)算系統(tǒng)的第一Lyapunov系數(shù)判斷了其分岔的方向，對(duì)相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)行為也作了簡(jiǎn)要的分析；文獻(xiàn)[7]對(duì)經(jīng)典的Lü系統(tǒng)進(jìn)行變形，引入一個(gè)非線性狀態(tài)反饋控制器，構(gòu)造了一個(gè)新的四維非線性系統(tǒng)，并對(duì)系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了簡(jiǎn)要研究，系統(tǒng)隨新引入的參數(shù)變化呈現(xiàn)周期、擬周期、混沌及超混沌的動(dòng)力學(xué)行為，但文獻(xiàn)[7]并未對(duì)系統(tǒng)的Hopf分岔情況進(jìn)行研究，本文將通過中心流形理論和范式理論，對(duì)該系統(tǒng)的Hopf分岔行為進(jìn)行較為詳細(xì)的研究．

1 新的四維混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[7]提出的新的四維自治混沌系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為：

圖1 系統(tǒng) (1) 在不同空間的吸引子

圖2 系統(tǒng) (1) 的幾種譜圖

3 周期解的方向及其穩(wěn)定性

4 數(shù)值仿真

圖3 系統(tǒng) (1) 的相圖和時(shí)間響應(yīng)圖 (a = 2, b = 3, c = -1)

5 結(jié) 語

本文主要研究了一個(gè)新的非線性系統(tǒng)的Hopf分岔特性．通過選取適當(dāng)?shù)姆植韰?shù)，證明了當(dāng)分岔參數(shù)經(jīng)過臨界值時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，并詳細(xì)分析了Hopf分岔周期解的方向和穩(wěn)定性．系統(tǒng)簡(jiǎn)單，但其動(dòng)力學(xué)特性十分豐富，雖然本文對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)研究，但系統(tǒng)混沌吸引子的形成機(jī)理還需要進(jìn)一步分析，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也應(yīng)該徹底研究，因此，對(duì)該系統(tǒng)的進(jìn)一步研究仍然是重要的．

[1] Ott E. Chaos in Dynamical Systems [M]. second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2002: 108-145.

[2] Lü J H, Chen G R. A new chaotic attractor coined [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(3): 659-661.

[3] 李群宏, 徐德貴. 一個(gè)類Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2011, 25(2): 112-116.

[4] Dias F S, Mello L F, Zhang J G. Nonlinear analysis in a Lorenz-like system [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11: 3491-3500.

[5] 李險(xiǎn)峰, 張建剛, 褚衍東, 等. 一個(gè)新類 Lorenz混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及電路仿真[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2007, 5(4): 324-329.

[6] 彭國(guó)俊. 一個(gè)混沌系統(tǒng)的霍普夫分叉分析[J]. 柳州師專學(xué)報(bào), 2007, 22(1): 124-126.

[7] 高智中. 一個(gè)新的非線性系統(tǒng)及其超混沌控制[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2012, 39(3): 303-307.

[8] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1981: 14-52.

The Hopf Bifurcation Analysis of a Novel Four-dimensional Chaotic System

DU Wenju1, YU Jianning1, ZHANG Jiangang1, ZHANG Li2, AN Xinlei1
(1. School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070; 2. Department of Basic Courses, Lanzhou Institute of Technology, Lanzhou, China 730050)

The stability of the equilibrium points and basic dynamic properties of the nonlinear system are analyzed via nonlinear dynamics theory, and the formulae for determining the stability and direction of bifurcating periodic solutions are derived via central manifold theorem and normal form theory. Finally, a numerical example is provided for justifying the validity of the theoretical analysis.

Four-dimensional Chaotic System; Hopf Bifurcation; Poincaré Sections; Lyapunov Exponents; Normal Form Theory

O415.5

A

1674-3563(2014)01-0031-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-04-07

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11161027，61364001)；教育部科技研究重點(diǎn)項(xiàng)目(212180)

杜文舉(1987- )，男，甘肅西和人，碩士研究生，研究方向：非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及控制