李斯林

摘 要：教學(xué)是圍繞學(xué)生展開活動的，教學(xué)要服務(wù)于學(xué)生的一切需求，因此教師要學(xué)會從學(xué)生的視角看問題，備課也不例外. 本文從“四個理解”出發(fā)：理解課標(biāo)，準(zhǔn)確定位課時學(xué)習(xí)目標(biāo)；理解概念，準(zhǔn)確把握內(nèi)涵與外延；理解文本，準(zhǔn)確建構(gòu)知識發(fā)生發(fā)展的思維框架；理解主體，在元認(rèn)知基點上引領(lǐng)學(xué)生主動探究，談如何備課.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；備課；四個理解；實效

備課，是每一位教師課前必做的工作，是教師上好課的前提和保障.為了課堂教學(xué)更具針對性，筆者從“四個理解”的角度對備課進(jìn)行了嘗試，取得一定的成效. 下面以冪函數(shù)的備課為例，談如何基于“四個理解”，提高備課實效性.

[?] 理解課標(biāo)，準(zhǔn)確定位課時學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)是教師課堂教學(xué)設(shè)計的主要依據(jù)，是學(xué)生學(xué)習(xí)活動時要達(dá)到的預(yù)期目標(biāo). 學(xué)習(xí)目標(biāo)的制訂要依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容，同時還要考慮學(xué)生的基礎(chǔ)，摸清學(xué)情，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并具有可操作性.

冪函數(shù)在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（簡稱課標(biāo)）中是這樣描述的：“通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x、y=x2、y=x3、y=、y=x的圖象，了解它們的變化情況.” 從中我們可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，需要通過對實例的感受，逐步歸納出形式化的定義. 問題情境，可以選擇生活中的實例，也可以選擇數(shù)學(xué)內(nèi)部的例子，讓學(xué)生先從具體開始，歸納出一些共同的特征，再加以科學(xué)的抽象，逐步歸納出冪函數(shù)的定義，最后結(jié)合五個具體冪函數(shù)，通過動手操作，感受圖象，觀察、總結(jié)出冪函數(shù)的變化情況和一些性質(zhì).

由此冪函數(shù)的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以確定為：

（1）通過實例直接感知，了解冪函數(shù)的概念；會畫五個具體冪函數(shù)的圖象，了解它們的變化規(guī)律和性質(zhì).

（2）了解冪函數(shù)圖象的變化規(guī)律和性質(zhì)；會用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解決簡單的實際問題.

（3）進(jìn)一步體會蘊涵在探索過程中的數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比和歸納的思想方法；同時學(xué)會合作意識，提升小組共同探究能力.

[?] 理解概念，準(zhǔn)確把握內(nèi)涵與外延

1. 冪函數(shù)的形式化定義

必修1教材（蘇教版）對冪函數(shù)的概念描述為：“一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).” 這個定義包括三個方面：函數(shù)的解析式、自變量是x、α是常數(shù). 其中表達(dá)式左邊是因變量，右邊是系數(shù)為1的指數(shù)冪形式，底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù). 在教學(xué)時，我們可以列舉一些與冪函數(shù)形式上相似的函數(shù)，讓學(xué)生自主辨認(rèn)、闡述理由，同時要求學(xué)生嘗試寫出幾個“類冪函數(shù)”，讓其他學(xué)生進(jìn)行辨認(rèn). 這樣學(xué)生通過活動理解冪函數(shù)的本質(zhì)，能做到熟練辨認(rèn)冪函數(shù).

2. 指數(shù)的取值范圍

課標(biāo)要求研究五種類型的冪函數(shù)，它們的指數(shù)分別是1、2、3、-1、. 然而教科書的練習(xí)題、習(xí)題中卻出現(xiàn)了其他的指數(shù)類型，我們不難發(fā)現(xiàn)這些指數(shù)都是有理數(shù)，它們的圖象和性質(zhì)可以類比于這五種類型給出. 據(jù)此表明高中階段研究的冪指數(shù)α為實數(shù)，且冪函數(shù)只研究α為有理數(shù)的比較簡單的情形，同時要求學(xué)生學(xué)會通過類比的方法得到所有的冪指數(shù)為有理數(shù)的冪函數(shù)圖象.

3. 冪函數(shù)的定義域

常見的函數(shù)往往對解析式中涉及的字母做出了嚴(yán)格的規(guī)定，比如指數(shù)函數(shù)y=ax，a>0且a≠1，它的定義域為R. 冪函數(shù)的定義中提及函數(shù)的自變量和指數(shù)，并未涉及冪函數(shù)的定義域. 事實上，冪函數(shù)要比其他函數(shù)復(fù)雜一些，根據(jù)上面的分析，冪指數(shù)為有理數(shù)，不妨設(shè)α=（p，q是互質(zhì)的整數(shù)），當(dāng)p，q取不同的整數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域會發(fā)生相應(yīng)的變化，也就是說冪函數(shù)的定義域與指數(shù)有很大的關(guān)聯(lián). 如冪函數(shù)y=x2的定義域為R，冪函數(shù)y=x的定義域為[0，+∞），冪函數(shù)y=x-1的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）. 我們要教會學(xué)生相應(yīng)的處理辦法，根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的有關(guān)知識去求出冪函數(shù)的定義域. 由此可以分析，冪函數(shù)定義域的復(fù)雜程度源自于指數(shù)，課標(biāo)規(guī)定的五種冪指數(shù)類型的冪函數(shù)具有代表性，能很好地反映定義域的各種情況.

[?] 理解文本，準(zhǔn)確建構(gòu)知識發(fā)生發(fā)展的思維框架

1. 文本內(nèi)容的組織形式

教材按照四個環(huán)節(jié)組織了冪函數(shù)的內(nèi)容.

第一環(huán)節(jié)：通過某種商品的價格和需求的關(guān)系表，得到函數(shù)y=114.82x-0.38，它與y=x-0.38是相關(guān)聯(lián)的，進(jìn)而提出y=x-0.38是否是指數(shù)函數(shù)的疑問，引出了冪函數(shù)的概念；第二環(huán)節(jié)給出冪函數(shù)的形式化定義；第三環(huán)節(jié)通過相應(yīng)的例題，鞏固和加深對冪函數(shù)的理解；第四環(huán)節(jié)作出三個冪函數(shù)的圖象，找出冪函數(shù)的共同性質(zhì). 其中一、二環(huán)節(jié)之間用問題“y=x-0.38是指數(shù)函數(shù)嗎”相連，三、四環(huán)節(jié)之間則加上了一道思考題：“函數(shù)y=x3、y=x、y=x-2的單調(diào)性如何”.

這里的編寫意圖主要是讓學(xué)生從實例中感受數(shù)學(xué)，并通過提出問題，思考、碰撞，改變原有的觀念，接納新的知識. 教師在這一環(huán)節(jié)還可加入一些數(shù)學(xué)中的實例，如：正方體的體積是邊長的函數(shù)關(guān)系式，正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、頂點在原點的二次函數(shù). 接下來課本通過對幾個常見的冪函數(shù)圖象進(jìn)行觀察、分析、歸納，讓學(xué)生總結(jié)出規(guī)律. 教師在讓學(xué)生做“規(guī)定”動作的同時，要求理解五個具體的冪函數(shù)，由此及彼，歸納出不同類型的冪函數(shù)圖象和性質(zhì). 教材編寫的順序是讓學(xué)生在不斷地體驗數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的過程中，加深對函數(shù)概念的理解和把握，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)研究的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時也激發(fā)了學(xué)生不斷學(xué)習(xí)的興趣.

2. 文本蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于有所感“悟”，在于發(fā)現(xiàn)隱藏在顯性的數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想方法，教師要教學(xué)生學(xué)會反思、感悟，對蘊涵其中的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉，加以理解、為己所用. 冪函數(shù)這一節(jié)從文本的字里行間、環(huán)節(jié)之間的留白、思考題的設(shè)置，都充分體現(xiàn)了編者在不斷地引領(lǐng)學(xué)生探索蘊涵在知識背后的數(shù)學(xué)思想方法.

（1）類比思想

冪函數(shù)的教學(xué)安排在指數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了研究函數(shù)性質(zhì)的一般步驟和方法. 這是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的第三種函數(shù)模型，學(xué)生可以根據(jù)前面的活動經(jīng)驗對新函數(shù)加以研究. 因此教師可以設(shè)計活動讓學(xué)生先回憶指、對數(shù)函數(shù)的研究方法和步驟，再讓學(xué)生嘗試用類比的方式對冪函數(shù)加以研究.

（2）數(shù)形結(jié)合思想

函數(shù)的大多數(shù)性質(zhì)一般都是在觀察圖象時直接獲得，冪函數(shù)也不例外. 教師引導(dǎo)學(xué)生先在坐標(biāo)系中作出一個冪函數(shù)的圖象，小組內(nèi)的不同學(xué)生可以選擇不同的冪函數(shù)進(jìn)行研究，觀察該圖 象的形狀和位置，判斷函數(shù)的變化規(guī)律.接下來小組內(nèi)合作交流，將不同類型的冪函數(shù)放入到同一直角坐標(biāo)系中，總結(jié)出五種情形的冪函數(shù)圖象的共同特征. 最后教師可以用幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件直接作圖，和學(xué)生們一起驗證觀察總結(jié)出的結(jié)論. 這樣學(xué)生親歷冪函數(shù)的作圖過程，體會到圖象的變化規(guī)律，直接感知冪函數(shù)圖象，從形到數(shù)、又由數(shù)到形，逐步加深了對冪函數(shù)的理解和認(rèn)識.

（3）歸納思想

在教學(xué)時，通過五種不同類型的冪函數(shù)圖象，研究一般的有理數(shù)指數(shù)的冪函數(shù). 教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察歸納出五個具體的冪函數(shù)的共性. 比如在第一象限，所有的冪函數(shù)圖象均過定點（1，1）；指數(shù)大于0的冪函數(shù)都是增函數(shù)，且過點（0，0）；y=x-1與其余四個共過定點（1，1），單調(diào)性也不相同. 并由此總結(jié)歸納出所有的不同類型的冪函數(shù)圖象性質(zhì).

（4）分類討論思想

冪函數(shù)指數(shù)的不同取值給其帶來了許多變化，也導(dǎo)致其圖象的多樣化，但變化之中總蘊涵著不變的規(guī)律. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，對不同的指數(shù)合理分類，尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，比如按照指數(shù)α與1、0的大小關(guān)系來分，共分為五類，先研究第一象限內(nèi)全部的冪函數(shù)共有的性質(zhì)，再根據(jù)奇偶性、對稱性研究函數(shù)的整體性質(zhì).

[?] 理解主體，在元認(rèn)知基點上引領(lǐng)學(xué)生主動探究

1. 確定認(rèn)知基點

先前學(xué)習(xí)的知識和活動經(jīng)驗會對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，因此教師在教學(xué)活動之前必須摸準(zhǔn)學(xué)生的基礎(chǔ). 學(xué)生在冪函數(shù)學(xué)習(xí)之前，不是白紙一張. 他們學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，會熟練運用指數(shù)的運算法則. 他們對函數(shù)的研究方法、一般步驟也有一定的認(rèn)識.比如他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的兩種不同定義，又系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù). 這些知識和他們在活動中積累的經(jīng)驗都可以看做是冪函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

2. 基于主體需要

人的一切活動始于需要，學(xué)習(xí)需要直接推動著學(xué)生積極參與學(xué)習(xí). 教師通過設(shè)置活動情境，激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生分析冪函數(shù)與其他函數(shù)的異同點. 學(xué)生在活動中進(jìn)行思維碰撞，從發(fā)現(xiàn)問題到解決問題，滿足了學(xué)生發(fā)展的需要，極大地激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.另外冪函數(shù)從外在的簡潔形式、曲線之美，到本身知識所蘊涵的內(nèi)在魅力，吸引了學(xué)生求知的眼球，學(xué)生在探究過程中又會不斷產(chǎn)生新的需要. 上述需要讓學(xué)生產(chǎn)生了要學(xué)習(xí)冪函數(shù)的緊迫感，促使他們對冪函數(shù)知識進(jìn)行全面系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 引領(lǐng)認(rèn)知體驗

教師設(shè)計活動的初衷不是任務(wù)驅(qū)動，而是引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知體驗. 學(xué)生主動參與教師精心設(shè)計的活動，經(jīng)歷了觀察、操作、交流、辨析、否定、論證等過程，對冪函數(shù)做出了自己的解釋. 教師在學(xué)生活動時，適時地給予鼓勵，在關(guān)鍵節(jié)點給予點撥，使其思維趨于理性化.課堂活動的組織改變了學(xué)生以往被動的學(xué)習(xí)方式，把學(xué)生從聽講中完全解放出來，成為課堂的主體，讓學(xué)生發(fā)揮自己的想象，充分參與活動，體驗知識的產(chǎn)生過程，及時總結(jié)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)知識.

綜上所述，教學(xué)是圍繞學(xué)生展開活動的，教學(xué)要服務(wù)于學(xué)生的一切需求. 因此教師要學(xué)會從學(xué)生的視角看問題，備課也不例外. 教師在備課時要通過加強四個理解，準(zhǔn)確把握教學(xué)，切實提高備課實效性. 這樣，教師指導(dǎo)方向會更準(zhǔn)確，學(xué)生活動會更有效，學(xué)習(xí)針對性會更強，學(xué)生對教學(xué)會更滿意.