朱長(zhǎng)江

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

偏微分方程課程研究型教學(xué)的一個(gè)實(shí)例剖析

朱長(zhǎng)江

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

教育部倡導(dǎo)研究型教學(xué)已近十年，全國(guó)各高等院校都選擇了若干課程開展研究型教學(xué)，取得了良好的教學(xué)效果．作者在講授《偏微分方程》課程時(shí)，對(duì)如何開展研究型教學(xué)進(jìn)行了嘗試，并就《偏微分方程》課程教學(xué)中的一個(gè)實(shí)例，談點(diǎn)關(guān)于研究型教學(xué)的認(rèn)識(shí)，供廣大研究者參考．

研究型教學(xué)；偏微分方程；實(shí)例剖析

為了進(jìn)一步加強(qiáng)素質(zhì)教育，2005年教育部發(fā)文《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見》倡導(dǎo)在本科教學(xué)課堂實(shí)施研究型教學(xué)[1]．文中明確提出：“積極推動(dòng)研究性教學(xué)，提高大學(xué)生的創(chuàng)新能力．”所謂研究型教學(xué)，就是指在教學(xué)活動(dòng)中，以學(xué)生為中心，真正把學(xué)生主體能動(dòng)性的發(fā)揮放在教學(xué)活動(dòng)的首位，使學(xué)生學(xué)會(huì)模擬科學(xué)研究的方法和過程，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題．在課堂教學(xué)方面，要從傳統(tǒng)的以教師為中心的知識(shí)傳授型向知識(shí)傳授與探索相結(jié)合轉(zhuǎn)變，多采用開放式、研討式、探究式和自學(xué)輔導(dǎo)式等方法，師生互動(dòng)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造性．為了落實(shí)教高【2005】1號(hào)文件精神，全國(guó)各高等院校都選擇了若干課程開展研究型教學(xué)，取得了良好的教學(xué)效果，在培養(yǎng)創(chuàng)新型高素質(zhì)人才方面發(fā)揮了重要作用．作者所講授的《偏微分方程》課程作為國(guó)家級(jí)、省級(jí)和校級(jí)精品課程，被選為研究型教學(xué)示范課程．下面介紹在《偏微分方程》課堂開展研究型教學(xué)的一個(gè)教學(xué)實(shí)例，談點(diǎn)關(guān)于研究型教學(xué)的認(rèn)識(shí)，和大家交流．

1 實(shí) 例

在《偏微分方程》的教學(xué)中，有一節(jié)是講授如何求解一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題

其中 ，],0[lC∈φ0)()0(==lφφ ．

首先，按照傳統(tǒng)教材的講法，采用“分離變量法”來求解問題(1)．其解可由如下Fourier級(jí)數(shù)表示：

2 問題提出

大家知道，半直線上熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題可像利用波的反射原理求解半直線上的波動(dòng)方程一樣，通過熱的反射原理來求解．那么一個(gè)自然的問題就是：有限區(qū)間上熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題(1)能否也能像利用波的反射原理來求解波動(dòng)方程的初邊值問題一樣，通過熱的反射原理來求解？

2.1 分組討論

將全班學(xué)生分成4個(gè)小組，每組民主推薦一名組長(zhǎng)，由組長(zhǎng)負(fù)責(zé)組織討論．教師在各小組之間巡視，必要時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)，注意老師的指導(dǎo)不能代替學(xué)生的獨(dú)立研究和討論．

2.2 小組總結(jié)

經(jīng)過小組討論后，由小組組長(zhǎng)寫出討論結(jié)論．結(jié)果3個(gè)小組得到了非常完整正確的解答，只有一個(gè)小組解答不夠完整．其中一組學(xué)生討論答案簡(jiǎn)介如下：

利用熱的反射原理，可以得到問題(1)的解的表達(dá)式如下：

其中

證明：先將函數(shù)φ(x)奇延拓到[-l,l]上，然后以2l為周期延拓到整個(gè)實(shí)軸上，設(shè)延拓后的函數(shù)為Φ(x)，即

考慮如下輔助Cauchy問題

由于φ(x)在[0,l]上連續(xù)，因此φ(x)在R1上連續(xù)，由Cauchy問題的Poisson公式知，Cauchy (6)的解為

由于Φ(x)是奇函數(shù)，G(x,t)關(guān)于x是偶函數(shù)，故有

同時(shí)，由于Φ(l-x)是關(guān)于點(diǎn)l的奇函數(shù)，即

故有

由此可見由(7)—(8)所確定的函數(shù)u(x,t)當(dāng)0≤x≤l，t≥0時(shí)就是問題(1)的解，它可以寫為

其中k(x,y,t)由(4)表示．

3 問題延伸

經(jīng)過學(xué)生的討論總結(jié)后，教師又提出了兩個(gè)問題：

問題一：由利用“熱的反射原理”獲得的解(3)—(4)和用“分離變量法”獲得的解(2)在形式上不盡相同，它們是同一個(gè)解嗎？如果是，如何證明？

問題二：用“分離變量法”和“熱的反射原理”給出了初邊值問題(1)的求解公式，能否用相同的方法求解如下Neumann初邊值問題

其中φ∈C[0,l]，φx(0)=φx(l )=0？

以上兩個(gè)問題作為課外討論題，同學(xué)們通過4天（離下一次偏微分方程課的時(shí)間）的討論與研究，也得到了正確的答案．學(xué)生討論答案簡(jiǎn)介如下．

3.1 問題一答案

初邊值問題(1)由分離變量法求出的解(2)與由熱的反射原理求出的解(3)—(4)是相同的，是Poisson公式的兩種不同表現(xiàn)形式．

證明如下：

首先，由數(shù)學(xué)分析知識(shí)易證如下等式成立

再由(5)知)(xΦ 有如下形式的Fourier級(jí)數(shù)：

所以

由(11)知

將(13)代人(12)得

由(9)可知，上式右邊的項(xiàng)可寫成

其中k(x,y,t)由(4)表示．

(10)3.2 問題二答案

結(jié)論一：利用熱的反射原理給出問題(10)的解為

其中

結(jié)論二：利用分離變量法（見文獻(xiàn)[3]—[8]）給出問題(10)的解為

結(jié)論三：初邊值問題(10)由(15)—(16)給出的解與由(17)給出的解是相同的，它們是Poisson公式的兩種不同表現(xiàn)形式．

4 教學(xué)效果

這次研究型教學(xué)實(shí)例表明：一方面，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性得到了很大的提高，激發(fā)了他們迫切的學(xué)習(xí)愿望、強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和高昂的學(xué)習(xí)熱情．學(xué)生普遍認(rèn)為，這次課堂的研究型學(xué)習(xí)，始終是從重點(diǎn)和難點(diǎn)問題出發(fā)，經(jīng)過學(xué)生分組研討，得出結(jié)論，最后到解決問題終結(jié)，這種讓學(xué)生在教學(xué)環(huán)節(jié)中體驗(yàn)科學(xué)研究的全過程的全新教學(xué)方式，使學(xué)生自身的分析問題能力、綜合歸納能力、科學(xué)創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力得到了鍛煉和發(fā)展．既理解和掌握了所學(xué)新知識(shí)，又對(duì)前面已學(xué)習(xí)的關(guān)于“波的反射原理”有了更深刻的理解，是快樂學(xué)習(xí)的一個(gè)最佳嘗試．

[1] 中華人們共和國(guó)教育部．關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見[Z]．教高〔2005〕1號(hào)．

[2] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations [Z]. Providence, RI: American Mathematical Society, 1998.

[3] Walter A. Strauss, Partial Differential Equations-An Introduction [M]. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1992.

[4] 陳恕行，秦鐵虎．?dāng)?shù)學(xué)物理方程——方法導(dǎo)引[M]．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1991．

[5] 陳祖墀．偏微分方程[M]．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002．

[6] 朱長(zhǎng)江，鄧引斌．偏微分方程教程[M]．北京：科學(xué)出版社，2005．

[7] 姜禮尚，陳亞浙，劉西垣，等．?dāng)?shù)學(xué)物理方程講義（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1996．

[8] 谷超豪，李大潛，陳恕行，等．?dāng)?shù)學(xué)物理方程（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2002．

[9] 朱長(zhǎng)江，蔣咪娜，阮立志．“偏微分方程”研究型教學(xué)的理論與實(shí)踐[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（2）：53-55．

An Illustrative Example of the Research-Based Teaching in Partial Differential Equations Course

ZHU Chang-jiang
(School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

The Ministry of Education of China initiated the research-based teaching for almost 10 years. Several courses were attempted to teach by applying the research-based teaching model in a large number universities and colleges. It turned out that this teaching model is very popular. I also made a little attempt on how to carry out research-based teaching when I taught course of partial differential equations. In this paper, I will demonstrate the research-based teaching method by a concrete example in partial differential equations teaching. In addition, my some opinions on research-based teaching model are also presented as a reference.

research-based teaching; partial differential equations; example analysis

G420

：A

：1004–9894（2014）01–0063–03

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2013–10–26

教育部財(cái)政部2010年度國(guó)家級(jí)精品課程“偏微分方程”建設(shè)項(xiàng)目（教高函【2010】14號(hào)）；教育部財(cái)政部2010年度國(guó)家級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)主干課程”建設(shè)項(xiàng)目（教高函【2010】12號(hào)）；2012年湖北省本科高?！皩I(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合改革試點(diǎn)；國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目——流體力學(xué)方程的數(shù)學(xué)理論（11331005）；教育部“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃”項(xiàng)目——非線性偏微分方程及相關(guān)問題的研究（IRT13066）

朱長(zhǎng)江（1961—），男，湖北監(jiān)利人，教授，博士，主要從事非線性偏微分方程的研究．