張 楠

（西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715）

中美義務(wù)教育數(shù)學課程標準“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的比較研究

張 楠

（西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715）

統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識已成為未來公民的必備常識，引起各國數(shù)學基礎(chǔ)教育的普遍關(guān)注．對中美兩國最新義務(wù)教育數(shù)學課程標準“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域進行比較研究得到，兩國課標的共性表現(xiàn)在：注重統(tǒng)計觀念的早期培養(yǎng)；注重讓學生經(jīng)歷統(tǒng)計過程；注重信息技術(shù)與課程的整合．差異表現(xiàn)在：課程內(nèi)容的展開主線不同；課程內(nèi)容的學段安排不同；課程內(nèi)容的廣度不同；對“測量”的理解不同．

統(tǒng)計與概率；課程標準；比較研究

1 研究背景

20世紀60年代以來，世界上許多國家都進行了基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革，“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容一直是人們關(guān)注的一個焦點，其基礎(chǔ)知識已成為未來公民的必備常識．

20世紀50年代起，美國就一直強調(diào)統(tǒng)計與概率的教學．全美數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）1959年提出的《中、小學數(shù)學教育改革總精神報告》就把概率入門與統(tǒng)計應(yīng)用納入到12年級的選修課[1]．20世紀80年代，全美數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）《美國學校數(shù)學課程與評價標準》不僅將統(tǒng)計與概率內(nèi)容納入到義務(wù)教育課程標準，甚至將其延伸至幼兒園，提倡統(tǒng)計與概率的早期教育[2]．2010年6月美國首次頒布全國統(tǒng)一的數(shù)學課程標準《共同核心數(shù)學課程標準》（Common Core State Standards for Mathematics，以下簡稱CCSSM）[3]，目前除得克薩斯（Texas）、阿拉斯加（Alaska）、維吉尼亞（Virginia）、內(nèi)布拉斯加（Nebraska）和明尼蘇達（Minnesota）外的45州都采用了該標準[4]．該標準中規(guī)定了K-12年級的統(tǒng)計與概率內(nèi)容，旨在循序漸進地滲透統(tǒng)計觀念和隨機觀念．

在中國，“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容在基礎(chǔ)教育數(shù)學課程中幾進幾出．首先在高中出現(xiàn)，而后受到蘇聯(lián)教育思想的影響一度取消．1978年起，歷次數(shù)學教學大綱都要求在初中學習統(tǒng)計初步[5]．2001年，中國基礎(chǔ)教育進入新一輪課程改革階段，國家教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》，將“統(tǒng)計與概率”作為義務(wù)教育階段數(shù)學課程的4個學習領(lǐng)域之一，并對其內(nèi)容進行了詳細說明．2011年，最新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（修訂稿）》（以下簡稱《課標（2011）》）對“統(tǒng)計與概率”進行了較大調(diào)整，僅從內(nèi)容標準要求的條目數(shù)來看（見表1），3個學段共減少13條，降低了該領(lǐng)域的難度，并在3個學段學習內(nèi)容的層次性上做了一定完善，注重數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系．

選用中國教育部2011年最新修訂《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（修訂稿）》與美國2010年頒布的《共同核心數(shù)學課程標準》作為比較文本，就兩國課標“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容進行比較研究，以期借鑒和吸收國外經(jīng)驗，為中國課程改革提供有益參考．

表1 “統(tǒng)計與概率”課標要求條目數(shù)比較

2 中美義務(wù)教育數(shù)學課程標準“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的共性

2.1 注重統(tǒng)計觀念的早期培養(yǎng)

中美兩國均注重統(tǒng)計觀念的早期培養(yǎng)．美國從幼兒園階段，中國從小學一年級就要求學生學習有關(guān)數(shù)據(jù)分類的基本內(nèi)容．美國CCSSM在幼兒園階段要求學生能夠“對物體分類，數(shù)出每類物體的個數(shù)”．中國《標準（2011）》也在第一學段提出“能根據(jù)給定的標準或自己選定的標準，對事物或數(shù)據(jù)進行分類，感受分類與分類標準的關(guān)系”等要求．皮亞杰的認知理論認為，兒童在前運演階段的第一水平（2~4歲）就可以“識別就有相同外延的兩類東西，但還不明白小類的關(guān)系”，在前運演階段的第二水平（5~6歲）已經(jīng)可以“穩(wěn)定地區(qū)分個體和類”[6]．在幼兒園和義務(wù)教育初期滲透統(tǒng)計思想符合兒童的認知發(fā)展規(guī)律，有利于為學生日后數(shù)據(jù)分析觀念的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ)．

2.2 注重讓學生經(jīng)歷統(tǒng)計過程

讓學生“養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)來分析問題的習慣”，“發(fā)展統(tǒng)計觀念”是中小學統(tǒng)計教育的主要價值[7~8]．英國的Peter Holmes（1980）提出統(tǒng)計觀念表現(xiàn)在5個方面：（1）數(shù)據(jù)的收集；（2）數(shù)據(jù)的記錄與表示；（3）數(shù)據(jù)的提煉；（4）數(shù)據(jù)與概率的關(guān)系；（5）對數(shù)據(jù)進行解釋并作出推斷[9]．中國《標準（2011）》在總體目標中明確讓學生“經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程”，美國CCSSM也體現(xiàn)了對經(jīng)歷統(tǒng)計過程的重視，旨在幫助學生形成完整的統(tǒng)計觀念．

2.3 注重信息技術(shù)與課程的整合

信息技術(shù)的快速發(fā)展為統(tǒng)計與概率的學習搭建了平臺，為學生的探究活動提供了有力幫助．中國《標準（2011）》認為“現(xiàn)代信息技術(shù)……其真正價值在于實現(xiàn)原有的教學手段難以達到，甚至達不到的效果．例如，從數(shù)據(jù)庫中獲取數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計圖表；利用計算機的隨機模擬結(jié)果，引導學生更好地理解隨機事件……”．美國CCSSM認為：“擅長數(shù)學的學生，無論在哪個年級都應(yīng)該能夠辨別外部的數(shù)學資源，如網(wǎng)頁中的數(shù)據(jù)，并利用它們提出或者解決問題．他們可以使用技術(shù)工具探索并加深他們對概念的理解．”美國CCSSM在統(tǒng)計概率的要求中還針對信息技術(shù)的使用提供了具體的教學案例．兩國課標都充分肯定信息技術(shù)在統(tǒng)計與概率學習中的價值和作用，并倡導教師在教學中合理、有效地使用信息技術(shù)．

3 中美義務(wù)教育數(shù)學課程標準“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的差異

3.1 兩國統(tǒng)計領(lǐng)域課程內(nèi)容的展開主線

中美兩國義務(wù)教育數(shù)學課標在概率方面的展開主線基本一致，主要以對事件發(fā)生不確定性的感受與刻畫展開．但兩國統(tǒng)計領(lǐng)域的展開主線不盡相同（見圖1，其中：第一、二學段指中國1-6年級，美國K-5年級；第三學段指中國7-9年級，美國6-8年級）．

圖1 中美課標“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容展開主線比較

由圖1可知，美國CCSSM的統(tǒng)計內(nèi)容以“知識結(jié)構(gòu)”為主線，按照“分類——數(shù)據(jù)收集與表示——數(shù)據(jù)分布與表示——樣本推測總體——雙變量的相關(guān)性”依次展開．這種展開方式體現(xiàn)出統(tǒng)計知識間的邏輯關(guān)系，具有較強的系統(tǒng)性，易于學生理清知識脈絡(luò)．

相比之下，中國的統(tǒng)計內(nèi)容以“知識結(jié)構(gòu)”作為第二主線，而以“統(tǒng)計實施過程”作為第一主線．《課標（2011）》將發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念作為義務(wù)教育階段統(tǒng)計學習的核心，重點不在于讓學生學習過多的統(tǒng)計概念，而在于讓學生親身經(jīng)歷統(tǒng)計的實施過程．中國課標對各學段的統(tǒng)計要求均以“數(shù)據(jù)的收集——整理——描述——分析——推斷——交流”這一主線展開，循環(huán)上升．史寧中認為：中小學統(tǒng)計學課程、教學設(shè)計的核心目標之一是培養(yǎng)學生“通過數(shù)據(jù)來分析問題”，“相應(yīng)的課程設(shè)計、教學設(shè)計的總體框架體現(xiàn)從收集數(shù)據(jù)到分析推斷的全過程，并以這個過程為主線，抓住要點，循序漸進”[7]．以統(tǒng)計實施過程為主線安排課程內(nèi)容，有利于使教師、學生構(gòu)建起一個完整的統(tǒng)計過程圖景．

3.2 兩國課程內(nèi)容的學段安排

“統(tǒng)計和概率”是中國義務(wù)教育數(shù)學課程的四大內(nèi)容領(lǐng)域之一，中國課標從第一學段起就開始使用“統(tǒng)計與概率”命名該領(lǐng)域的學習內(nèi)容，并在第一學段要求“數(shù)據(jù)分類、收集”等內(nèi)容，從第二學段起要求“數(shù)據(jù)的分布及表示（平均數(shù)）”和“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”．但美國CCSSM在第一、二學段用“測量和數(shù)據(jù)”來命名該領(lǐng)域的學習內(nèi)容，使用兩個學段來學習“數(shù)據(jù)的分類、收集和表示”，直到第三學段才在課標中出現(xiàn)“統(tǒng)計和概率”的概念，開始學習“數(shù)據(jù)的分布和表示”以及“隨機現(xiàn)象的可能性”．美國在統(tǒng)計概率領(lǐng)域的課程安排較中國整體滯后，CCSSM編寫組解釋這樣的安排是為了讓學生在K-5年級把握住數(shù)據(jù)的分類和測量兩大主題，為6年級的統(tǒng)計和概率學習打下堅實基礎(chǔ)，并將他們的所學應(yīng)用到算術(shù)中去[10]．但是這樣的安排也受到部分美國數(shù)學教育界的質(zhì)疑，全美數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）認為“統(tǒng)計學習應(yīng)從3—4年級開始，而不是CCSSM所建議的六年級才開始學習統(tǒng)計”[11]．

3.3 課程內(nèi)容的廣度

雖然美國CCSSM對“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的學段安排整體晚于中國，但美國該領(lǐng)域的課程內(nèi)容總體上多于中國，多出的內(nèi)容主要集中在第三學段（見表2）．統(tǒng)計方面，美國CCSSM較中國多要求了“箱線圖”、“四分位數(shù)”、“平均絕對偏差”、“雙變量的相關(guān)關(guān)系（群組（cluster），極端值，正、負相關(guān)，線性相關(guān)，非線性相關(guān)）”、“線性相關(guān)的直線表示”、“交叉列聯(lián)表”等，在初中階段就實現(xiàn)了一維數(shù)據(jù)分析到二維數(shù)據(jù)分析的過渡，而中國雙變量的相關(guān)性是高中階段的內(nèi)容．概率方面：兩國要求的知識點差異不大，但美國課標的表述中使用了明確的概率統(tǒng)計術(shù)語，敘述更為具體、明確．例如，美國課標在第三學段出現(xiàn)了“復(fù)合事件（compound events）”、“樣本空間（sample spaces）”等術(shù)語．在刻畫用頻率估計概率時，要求“建立概率模型來計算事件的概率，并和你觀察的頻率比較，若觀察的頻率與計算的概率差異較大，解釋誤差來源”，注重學生的理解．

表2 中美第三學段課程標準“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容比較

3.4 對“測量”的理解

中國課標將“測量”內(nèi)容歸入“圖形與幾何”領(lǐng)域，在第一學段和第二學段給出具體要求．第一學段給出“結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程……”等6個內(nèi)容；第二學段給出“能用量角器測指定角的度數(shù)”等8條要求，旨在讓學生在小學階段理解“量”的實際意義，知道統(tǒng)一測量單位的必要性，讓學生在實踐活動中掌握有關(guān)測量知識和方法，了解測量的必要性．

而美國課標在1~5年級，將“測量與數(shù)據(jù)”作為一個獨立的領(lǐng)域．測量是收集數(shù)據(jù)的重要方法，是整個統(tǒng)計實施過程的基礎(chǔ)．將“測量”與“數(shù)據(jù)”結(jié)合，旨在讓學生在實踐中體驗“測量——獲得數(shù)據(jù)——表示數(shù)據(jù)”這一完整的過程，從而感受測量的應(yīng)用價值，更好地促進統(tǒng)計觀念的形成．

比較而言，中國課標將“測量”歸入“圖形與幾何”，更加注重測量過程的體驗和測量方法的掌握，欠缺測量的應(yīng)用．在學生掌握了相關(guān)測量知識和方法后，難免會產(chǎn)生“為什么要測量？”、“測量的結(jié)果有什么用？”等疑問．教師往往關(guān)注到“測量”在“圖形與幾何”領(lǐng)域和“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域之間所起的連接作用，但對“測量”和“統(tǒng)計與概率”之間的聯(lián)系關(guān)注不夠．教師在具體的教學實踐中，應(yīng)加強這方面的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識．

4 反思與建議

通過比較可以看出，中美兩國最新課標在統(tǒng)計與概率的處理上存在一定差異，整體看來這種差異表現(xiàn)在美國CCSSM更加注重統(tǒng)計、概率知識的系統(tǒng)性，而中國更加注重統(tǒng)計過程的經(jīng)歷．差異的產(chǎn)生與兩國課標制定的指導思想有著密切聯(lián)系．

美國數(shù)學教育在經(jīng)歷了“新數(shù)運動（New Mathematics Movement）”、“回到基礎(chǔ)（Back to Basic）”、“問題解決（Problem Solving）”、“課程焦點（Curriculum Focal Points）”等一系列改革后，《共同核心數(shù)學課程標準》著重強調(diào)“突出重點（focused）”、“注重連貫（coherent）”兩個核心思想．為了體現(xiàn)“突出重點”，美國課標各年級的內(nèi)容標準分3級給出：數(shù)學內(nèi)容聚焦的重要領(lǐng)域；數(shù)學內(nèi)容概覽（overview）；具體的數(shù)學內(nèi)容標準．三級標準由概括到詳細，從聚焦的核心內(nèi)容到具體的課程內(nèi)容要求依次展開，重點突出，知識的層次結(jié)構(gòu)分明．為了體現(xiàn)“注重連貫”，美國CCSSM拉通學段，將K-12年級的“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容進行整體設(shè)計，這一處理方法不僅利于改善學段之間的銜接問題，也有利于知識結(jié)構(gòu)的合理呈現(xiàn)．

中國此次義務(wù)教育數(shù)學課程標準的修訂，在“雙基”的基礎(chǔ)上增加了“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗”，明確了“四基”的課程目標，更加強調(diào)數(shù)學學習的實踐性和過程性．這一思想落實在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，則表現(xiàn)為強調(diào)讓學生：“經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程”，更加注重統(tǒng)計實施過程的經(jīng)歷與體驗，突出學生的主體地位．

中國《標準（2011）》吸收了很多先進的教育理念，順應(yīng)國際數(shù)學教育發(fā)展趨勢，但還需要注意以下問題：

4.1 加強知識間的聯(lián)系

統(tǒng)計與概率的學習過程會涉及整數(shù)、分數(shù)、比值、測量、計算、推理、問題解決等多方面知識，它為學生提供了將“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”4大領(lǐng)域內(nèi)容聯(lián)系起來的機會，可以成為學生綜合運用測量、比、分數(shù)、百分數(shù)等知識的平臺．美國課標體現(xiàn)出對知識間聯(lián)系的關(guān)注，例如美國CCSSM在四年級明確要求“用軸線圖（line plot）表示以分數(shù)為單位的測量結(jié)果，利用圖中信息解決涉及分數(shù)加減的問題”，在測量、數(shù)據(jù)收集與表示、分數(shù)之間建立起聯(lián)系；又如美國課標八年級要求“使用線性方程，解決涉及雙變量的情境中的問題，并解釋斜率和截距”．在統(tǒng)計與直線之間建立起聯(lián)系．加強知識間的關(guān)聯(lián)性，有利于學生加深相關(guān)知識的理解，培養(yǎng)學生綜合運用知識解決問題的能力．

此外，數(shù)學課程設(shè)置時還應(yīng)考慮數(shù)學與其他學科的聯(lián)系．如，生物課標將“生物的生殖、發(fā)育與遺傳”作為初中生物學習的十大主題之一，其中會涉及到生物性狀遺傳的可能性問題，與概率有著密切的聯(lián)系．在數(shù)學與生物課程設(shè)置時，就要考慮兩部分內(nèi)容安排的先后順序，讓數(shù)學的概率知識成為日后生物學習的基礎(chǔ)，同時也讓學生在生物學習中體會到數(shù)學的應(yīng)用價值．

4.2 增加信息技術(shù)與課程整合的具體案例

信息技術(shù)給統(tǒng)計與概率提供了新的教學平臺．統(tǒng)計方面，傳統(tǒng)教學中，教師往往直接給學生提供材料、數(shù)據(jù)，直接引導學生如何整理、呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，忽視數(shù)據(jù)收集的過程．信息技術(shù)支持下，學生可以根據(jù)具體問題，通過Internet收集數(shù)據(jù)，在這一過程中思考“為了解決這個問題，我要收集哪些數(shù)據(jù)？”，“如何在Internet上檢索到所需數(shù)據(jù)？”等問題，親身經(jīng)歷統(tǒng)計實施的全過程，形成完整的統(tǒng)計觀念．概率方面，一些應(yīng)用軟件如Excel、GeoGebra以及圖形計算器等都可以模擬隨機事件的發(fā)生情況．美國CCSSM在七年級明確給出了使用信息技術(shù)的案例“使用隨機數(shù)器作為模擬工具，估計如果40%的捐獻者都是A型血，那么4個人中至少有1個是A型血的概率是多少？”中國課標有待增加信息技術(shù)使用的案例，指導教師在實際教學中利用技術(shù)的優(yōu)勢，幫助學生形成完整的統(tǒng)計觀念和隨機觀念．

[1] 馬忠林．比較數(shù)學教育學[M]．沈陽：遼寧教育出版社，1990．

[2] 劉長明．中美初中學段“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域內(nèi)容標準的比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2004，13（1）：67-70．

[3] National Governors Association and The Council of Chief State School Officers. Common Core State Standards for Mathematics [EB/OL]. http://www.corestandards.org/assets/CCSSL-Math%20Standards.pdf. 2010-06-02

[4] National Governors Association and The Council of Chief State School Officers. In the states [EB/OL]. http://www. corestandards.org/in-the-states. 2012-12-30

[5] 郭民．中美兩國義務(wù)教育階段數(shù)學課程中統(tǒng)計與概率內(nèi)容的比較研究[J]．外國中小學教育，2008，（5）：37-39．

[6] 皮亞杰．發(fā)生認識論原理[M]．王憲鈿譯．北京：商務(wù)印書館，2009．

[7] 史寧中，孔凡哲，秦德生，等．中小學統(tǒng)計及其課程教學設(shè)計——數(shù)學教育研究熱點問題系列訪談之二[J]．課程·教材·教法，2005，（6）：45-50．

[8] 張丹，呂建生，張春莉．統(tǒng)計觀念的發(fā)展和培養(yǎng)[J]．數(shù)學教育學報，2002，11（2）：61-63．

[9] 劉福林，宋乃慶．小學生統(tǒng)計觀念構(gòu)成要素探析[J]．小學數(shù)學教師，2004，（7）：56-61．

[10] The Common Core Standards Writing Team. K-3, Categorical Data; Grades 2-5, Measurement Data [EB/OL]. Progressions for the Common Core State Standards in Mathematics (draft). 2011-06-20

[11] National Council of Teachers of Mathematics. NCTM public comments on the Common Core Standards for Mathematics [EB/OL]. www.nctm.org/about/content.aspx?id=25186. 2010-04-02

Comparison of Mathematics Curriculum Standard in the Field of Statistics and Possibility for Compulsory Education between China and America

ZHANG Nan
(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

The knowledge of statistics and possibility is generally regarded as the commonsensible knowledge for the citizen in the future, which has been paid close attention to by mathematics educational researchers all over the world. In present research, the author comprised mathematics curriculum standard in the field of statistics and possibility for compulsory education between China and America. Some qualities in common are emphasizing on the early training of statistics idea, emphasizing on experiencing the process of statistics, and emphasizing on integrating information and technology with curriculum. Some dissimilarities are the whole-length main thread of curriculum content, the arrangement of curriculum content, the coverage of curriculum content, and the understanding for measurement.

statistics and possibility; curriculum standard; comparison

G40-059.3

：A

：1004–9894（2014）01–0088–04

[責任編校：周學智]

2013–10–18

2011年度教育部哲學社會科學研究后期資助項目——中國基礎(chǔ)教育改革與發(fā)展研究（11JHQ001）

張楠（1984—），女，天津人，博士生，主要從事數(shù)學教育研究．