M-矩陣Hadamard積最小特征值的下界

楊曉英，劉新

（四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育部，四川 廣元 628017）

M-矩陣Hadamard積最小特征值的下界

楊曉英，劉新

（四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育部，四川 廣元 628017）

對于非奇異M-矩陣A與B，首先給出A的逆矩陣元素的范圍，進而利用Brauer定理，得到B?A－1最小特征值下界的新估計式。理論分析和數(shù)值算例說明新估計式改進了現(xiàn)有的結(jié)果。

M-矩陣；Hadamard積；逆矩陣；下界

M-矩陣是重要的矩陣類，有著廣泛應(yīng)用，物理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中的許多問題都和M-矩陣有著密切的聯(lián)系。這其中關(guān)于非奇異M-矩陣B和非奇異M-矩陣A的逆矩陣Hadamard積最小特征值的下界已經(jīng)成為研究的熱點，并獲得了一系列估計式［1－8］，本文將繼續(xù)這一問題的研究，給出B?A－1最小特征值新的下界估計式。

設(shè)N＝｛1，2，…，n｝；Rm×n（Cm×n）表示m×n階實（復(fù)）矩陣；Zn表示所有非對角元素都為非正實數(shù)的n×n階矩陣。

設(shè)矩陣A＝（aij）∈Rn×n，則A可以表示為A＝λI－P，其中P≥0，當(dāng)λ＞ρ（P）（ρ（P）為非負矩陣P的譜半徑）時，稱A為非奇異M-矩陣。并記Mn為所有n×n階非奇異M-矩陣的集合。

設(shè)A∈Mn，記τ（A）＝min｛｜λ｜：λ∈σ（A）｝，其中σ（A）表示矩陣A的譜，τ（A）稱為矩陣A的最小特征值。詳見文獻［9］。

定義1［9］設(shè)A∈Cn×n，當(dāng)n≥2時，若存在n×n階置換矩陣P，使得

其中A11是r×r階子矩陣，A22是（n－r）×（n－r）階子矩陣（1≤r＜n），則稱矩陣A為可約矩陣。若置換矩陣P不存在，則稱矩陣A為不可約矩陣。

定義2［9］設(shè)A＝（aij），B＝（bij）∈Cm×n，用A?B表示A和B對應(yīng)元素相乘而成的m×n階矩陣，即A?B＝（aijbij）∈Cm×n，則A?B稱為A和B的Hadamard積。

2008年，Huang［3］給出一個更為精確的估計式

其中ρ（JA），ρ（JB）分別表示矩陣A與B的迭代矩陣譜半徑。

2013年，Zhou等［5］得到如下新結(jié)果：

本文將繼續(xù)這一問題的研究，利用Brauer定理給出B?A－1最小特征值的一些新的下界估計式，新估計式改進了文獻［5］和其他文獻中相應(yīng)的結(jié)果。

1 符號與引理

為方便起見，首先給出如下符號。對于i，j，l∈N，記

引理1［10］設(shè)A＝（aij）∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，A－1＝（βij），則

引理2［11］設(shè)A＝（aij）∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣，A－1＝（βij），則

引理3［2］設(shè)A，B∈Rn×n，若D∈Rn×n與E∈Rn×n是對角矩陣，則

引理4［12］設(shè)A＝（aij）n×n是任意復(fù)矩陣，則A的所有特征值都位于下列區(qū)域之中

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)A＝（aij）∈Mn是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，A－1＝（βij），則

證明：由A∈Mn以及符號定義，可知0≤δji＜di＜1，0≤si≤1，j≠i，i，j∈N。令

由于A是嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣，則存在ε＞0，使得

令Si（ε）＝diag（δ1i（ε）si（ε），…，δi－1，i（ε）si（ε），1，δi＋1，i（ε）si（ε），…，δni（ε）si（ε）），i∈N，則不難證明ASi（ε）也是嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣，則由引理1可知

定理2設(shè)A＝（aij）∈Mn是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，A－1＝（βij），B＝（bij）∈Mn，則

那么，存在實數(shù)ηji（0≤ηji≤1），使得

令U＝diag（u1，u2，…，un）＞0，有σ（B?A－1）＝σ（U－1（B?A－1）U）＝σ（U（BT?（A－1）T）U－1），因為τ（B?A－1）是B?A－1的一個特征值，則τ（B?A－1）∈σ（U（BT?（A－1）T）U－1。令τ（B?A－1）＝λ，由引理4知，存在數(shù)對（i，j），i≠j（1≤i，j≤n），使得

若B?A－1不可約。令G＝（gij）是n×n階置換矩陣，且g12＝g23＝…＝gn－1，n＝gn1＝1，其余gij＝0。則對于任意正實數(shù)ε，當(dāng)ε充分小時，使得A－εG，B－εG的所有順序主子式為正，從而A－εG和B－εG都是不可約非奇異M-矩陣，若用A－εG，B－εG代替A，B，并令ε→0，則結(jié)論仍然成立。證畢。

定理3設(shè)A＝（aij）∈Mn是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，A－1＝（βij），B＝（bij）∈Mn，則

證明：不失一般性，假設(shè)

由（2.1）式與（2.3）式，得

由符號定義，可知δkisi≤ri，i≠j，（1≤i，j≤n），進而ui≤mi，i∈N，所以

故結(jié)論成立。證畢。

定理3說明，定理2改進了文獻［5］中定理4.8的結(jié)果。

3 數(shù)值算例

例1設(shè)

易知，矩陣A與B都是非奇異M-矩陣。那么

由文獻［2］中定理5.7.31得τ（B?A－1）≥0.07，由文獻［3］中定理9得τ（B?A－1）≥0.052，由文獻［5］中定理4.8得τ（B?A－1）≥0.075。應(yīng)用本文的定理2，可得τ（B?A－1）≥0.141 1。事實上，τ（B?A－1）＝0.214 8。

通過算例分析，可知定理2的結(jié)果有效地改進文獻［5］中的定理4.8和其他現(xiàn)有的結(jié)果。

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［12］BRAUER A.Limits for the characteristic roots of amatrix.II［J］.Duke Math J，1947，14（1）：21－26.

Lower bound ofm inimal eigenvalue for Hadam ard product of M-matrices

YANG Xiao-ying，LIU Xin
（Department of Basic Education，Sichuan Information Technology College，Guangyuan 628017，China）

We initially present the range of the elements of inverse matrix of A for two nonsingular M-matrices A and B．We further obtain a new estimation formula of the lower bound of the minimal eigenvalue ofB?A－1with the theorem of Brauer．Theoretical analysis and numerical examples demonstrate that it improves the existing results．

M-matrix；Hadamard product；inverse matrix；lower bound

O151.21

A

1002-4026（2014）04-0104-05

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.04.018

2013-07-10

四川省教育廳自然科學(xué)研究基金（13ZB0393；14ZB0442）；四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基金（2012C04）

楊曉英（1984－），女，講師，碩士，研究方向為矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用。