廣義Chebyshev濾波器傳輸零點提取和優(yōu)化

白冰

摘 要：傳輸零點確定是交叉耦合濾波器綜合設(shè)計的第一步工作。通過考察廣義Chebyshev函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，提出了一種可以通過濾波器指標(biāo)要求，確定廣義Chebyshev濾波器階數(shù)以及傳輸零點位置的辦法，并根據(jù)Goldstein法對零點查找算法進行優(yōu)化，彌補傳統(tǒng)方法確定零點的任意性，同時避免了解析解法不利于編程實現(xiàn)的缺點，最終滿足任意指標(biāo)條件下均能得到快速最優(yōu)結(jié)果的要求。

關(guān)鍵詞：廣義Chebyshev函數(shù)；交叉耦合濾波器；傳輸零點提取；優(yōu)化

引言

商業(yè)無線通信可用的頻譜資源有限，隨著通信技術(shù)的發(fā)展，頻譜日益擁擠，因此對濾波器的頻帶選擇特性有了更加嚴(yán)格的限制。同時由于濾波器應(yīng)用范圍的推廣，對濾波器大小、損耗、通帶平坦度以及阻帶衰減度都有了越來越高的要求，傳統(tǒng)的Butterworth濾波器和Chebyshev濾波器難以滿足各方面的綜合需求，目前廣泛采用的辦法是引入有限傳輸零點構(gòu)成廣義Chebyshev濾波器，可以在不增加諧振腔個數(shù)的前提下提供更好的頻帶選擇性。有限傳輸零點技術(shù)在20世紀(jì)30年代已經(jīng)有人提出[1]，在20世紀(jì)70年代的一項重要的新技術(shù)就是Atia和Williams提出的交叉耦合濾波器理論[2][3][4]，但是該理論僅能生成對稱響應(yīng)。隨后R. J. Cameron在此方法基礎(chǔ)上，引入FIR（frequency-invariant reactive）元件后，可以得到非對稱的濾波器響應(yīng)[5][6]。R. Levy提出直接在傳統(tǒng)Chebyshev濾波器上引入一對傳輸零點的方法[7]。

上述方法的基礎(chǔ)是已知濾波器階數(shù)和有限傳輸零點的位置，但是少有文章提及如何確定濾波器階數(shù)和有限傳輸零點，更多的是直接引用他人文章中的傳輸零點位置數(shù)據(jù)。文獻[8]提出的方法可以求得零點，但是只能確定最多兩個零點。文獻[9]中先得到傳輸極值點和傳輸零點的關(guān)系表達式，再利用傳輸極值點衰減值和通帶外最小衰減的關(guān)系得到一組非線性方程組，解該方程組可求出傳輸零點。盡管這種方法得到了傳輸零點和濾波器指標(biāo)要求之間的解析關(guān)系式，但是由于方程組比較復(fù)雜，很難快速得到傳輸零點位置的解析表達式，只能編程通過數(shù)值方法求解。而非線性方程組的數(shù)值求解算法對初值的敏感度較高，需要預(yù)知傳輸零點的大概位置才能高效得到正確的解，所以無法編程實現(xiàn)。因此該方法在階數(shù)較低、零點個數(shù)較少的情況下可以通過解析表達式快速求解，在高階復(fù)雜情況下則不再適用。

文章同樣利用了傳輸零點和傳輸極值點的位置關(guān)系以及傳輸極值點衰減和通帶外最小衰減的關(guān)系，直接查找傳輸零點的位置，同時利用優(yōu)化算法對查找過程進行優(yōu)化，大幅度減少查找時間，實現(xiàn)了在任意情況下都能快速提取廣義Chebyshev濾波器階數(shù)和傳輸零點的目的。文章最后給出3個計算結(jié)果，顯示了該方法的可行性。

1 廣義Chebyshev濾波器的傳輸特性

Chebyshev濾波器衰減曲線比較

從圖中可以看到，隨著傳輸零點位置向阻帶移動，阻帶的整體衰減不斷增大，但是阻帶最小衰減所對應(yīng)的最小頻率也在不斷增大，衰減曲線呈現(xiàn)向阻帶移動的現(xiàn)象，如果該頻率等于阻帶截止頻率時，阻帶衰減還未滿足指標(biāo)要求，則需要引入新的零點或增加階數(shù)。

2.2 雙側(cè)傳輸零點特性

Chebyshev濾波器衰減曲線比較

從圖中可以看到，負(fù)頻率的傳輸零點位置移動對下邊帶（負(fù)頻率）衰減的影響與單側(cè)傳輸零點的情況相同。同時，隨著負(fù)頻率傳輸零點向阻帶移動，上邊帶（正頻率）的衰減僅有縱向衰減值的增大，沒有頻率的位移。因此在上下邊帶都有要求的情況下可以將其拆分成兩個問題求解。

3 廣義Chebyshev濾波器階數(shù)和傳輸零點的確定過程

確定濾波器階數(shù)和傳輸零點的第一步是對算法進行初始化，根據(jù)最小路徑原則，對只有單側(cè)指標(biāo)要求的情況，濾波器階數(shù)N=3，零點個數(shù)k=1，對雙側(cè)指標(biāo)要求的情況，濾波器階數(shù)N=4，零點個數(shù)k=2 。

3.1 單邊帶情況求解

這里以上邊帶情況舉例說明，下邊帶類比即可。

在初始化濾波器階數(shù)和傳輸零點個數(shù)之后，將傳輸零點的位置預(yù)設(shè)為略大于阻帶截止頻率？棕S，先計算此時衰減極值點的值（記為A（？棕e））是否滿足衰減指標(biāo)要求，如果不滿足，則向阻帶移動，直到阻帶滿足指標(biāo)要求，再判斷阻帶截止頻率處的衰減（記為A（？棕s））是否滿足要求，如果不滿足，先增加一個傳輸零點，判斷是否滿足最小路徑原則，如果不滿足則增加濾波器階數(shù)，傳輸零點個數(shù)初始化為一個，重復(fù)上述過程。

當(dāng)有兩個或以上傳輸零點時，必然對應(yīng)有同樣個數(shù)的衰減極值點，其中最外側(cè)的衰減極值點位于最外側(cè)傳輸零點和無窮遠之間。移動傳輸零點依據(jù)的原則是，從外側(cè)到內(nèi)依次使得所有衰減極值點的值滿足指標(biāo)要求，再判斷阻帶截止頻率處的衰減是否滿足要求3.2 雙邊帶情況求解

根據(jù)上節(jié)的分析，雙邊帶情況下可以將問題拆分為上下邊帶情況分別求解。需要注意的是，當(dāng)某一側(cè)增加傳輸零點導(dǎo)致階數(shù)不滿足最小路徑原則時，增加濾波器階數(shù)后兩側(cè)的零點個數(shù)都應(yīng)該重置為一個，然后再分別重新計算。

4 應(yīng)用舉例

下面通過三個不同應(yīng)用情況的例子說明文章方法的有效性，給出的都是低通原型計算結(jié)果。

5 結(jié)束語

文章利用廣義Chebyshev函數(shù)的特性設(shè)計了求解濾波器階數(shù)和傳輸零點的算法，實現(xiàn)了對任意指標(biāo)要求都能快速準(zhǔn)確求解的功能。通過給出的三個例子顯示了該方法的有效性。

參考文獻

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