楊 勇

(陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 預(yù)備知識與新廣義凸函數(shù)的定義

凸函數(shù)在最優(yōu)化理論中起著重要作用，近年來已得到各種形式的推廣，并由此得到眾多的廣義凸函數(shù)類.其中有兩大類廣義凸函數(shù)值得關(guān)注.其一就是由Hanson和Mond[1]首次引入的Ⅰ類和Ⅱ類廣義凸性函數(shù)，這些廣義凸函數(shù)也被應(yīng)用于非線性規(guī)劃、半無限規(guī)劃等各類規(guī)劃問題.隨后，這兩類函數(shù)又多次被進一步的推廣和應(yīng)用[2-5].另一大類就是由孫永忠和康開龍[6]引入的廣義凸函數(shù)；Liang Z A等[7]將其推廣為(F,α,ρ,d)-凸函數(shù).隨后，這些函數(shù)也得到了各種形式的推廣和應(yīng)用[8-12].

受這些文獻的啟發(fā),本文首次引入Fε-I類、擬Fε-I類和偽Fε-I類等廣義凸性概念，并在這些廣義凸性假設(shè)下，研究下列半無限規(guī)劃問題:

其中U?Rm是一個無限參數(shù)集，記

Ω={λi|λi≥0,i∈Δ,僅有有限個λi≠0}，

Δ={i|g(x,ui)≤0,x∈X0,ui∈U},

X={x|g(x,ui)≤0,x∈X0,ui∈U?Rm},

U*={ui|x∈X0,g(x,ui)≤0,ui∈U,i∈Δ}

為U的任意可數(shù)子集.

為了方便起見，在下文中我們設(shè)函數(shù)g:X0×U→R,f:X0→R是局部Lipschitz的，對于局部Lipschitz函數(shù)f,它在x0處沿方向d的廣義方向?qū)?shù)和廣義梯度如下：

?f(x0)={ξ∈Rn:〈ξ,d〉≤f(x0,d),?d∈Rn}

在下文中，我們還要用到次線性函數(shù)的概念，函數(shù)F:X0×X0×Rn→R是次線性的，即對?x1,x2∈X0函數(shù)F滿足下列條件：

F(x1,x1,α1+α2)≤F(x1,x1,α1)+F(x1,x1,α2),?α1,α2∈Rn

F(x1,x1,rα)=rF(x1,x1,α),?α∈Rn,r∈R+

定義1設(shè)函數(shù)F：C×C×Rn→R為次線性的，稱(f,g)在u∈X0處是Fε-I類凸的，若對?x∈X0,?ε,εi>0有：

f(x)-f(u)≥F(x,u,ξ)+ε?ξ∈?f(u)

(1)

-g(u,ui)≥f(x,u,η)+εi?η∈?g(u,ui)

(2)

若(f,g)在X0中的任意一點都是Fε-I類凸的，則稱(f,g)在集X0上是Fε-I類凸的.若當(dāng)x≠u時，不等式(1)是嚴格不等式，則稱(f,g)在u∈X0處或者在X0上是半嚴格Fε-I類凸的.

定義2設(shè)函數(shù)F：C×C×Rn→R為次線性的，稱(f,g)在u∈X0處是擬Fε-I類凸的，若對?x∈X0,?ε>0,εi>0及一些λi∈Ω有：

f(x)-f(u)≤0?F(x,u,ξ)+ε≤0

?ξ∈?f(u)

(3)

?η∈?g(u,ui)

(4)

若(f,g)在X0中的任意一點都是擬Fε-I類凸的，則稱(f,g)在X0上是擬Fε-I類凸的.若當(dāng)x≠u時，(3)式中的第二個不等式是嚴格的，則稱(f,g)在u∈X0處或者在X0上是嚴格擬Fε-I類凸的.

定義3設(shè)函數(shù)F：C×C×Rn→R為次線性的，稱(f,g)在u∈X0處是偽Fε-I類凸的，若對?x∈X0,?ε>0,εi>0及一些λi∈Ω有：

F(x,u,ξ)+ε≥0?f(x)-f(u)≥0

?ξ∈?f(u)

(5)

?η∈?g(u,ui)

(6)

若(f,g)在X0中的任意一點都是偽Fε-I類凸的，則稱(f,g)在X0上是偽Fε-I類凸的.若當(dāng)x≠u時，(6)式中的第二個不等式是嚴格的，則稱(f,g)是嚴格偽Fε-I類凸的.

定義4設(shè)函數(shù)F：C×C×Rn→R為次線性的，稱(f,g)在u∈X0處是偽擬Fε-I類凸的，若對?x∈X0,?ε>0,εi>0及一些λi∈Ω有：

F(x,u,ξ)+ε≥0?f(x)-f(u)≥0

?ξ∈?f(u)

(7)

?η∈?g(u,ui)

(8)

若(f,g)在X0中的任意一點都是偽擬Fε-I類凸的，則稱(f,g)在X0上是偽擬Fε-I類凸的.若當(dāng)x≠u時，(7)式中的第二個不等式是嚴格的，則稱(f,g)在u∈X0處或X0上是嚴格偽擬Fε-I類凸的.

定義5設(shè)函數(shù)F：C×C×Rn→R為次線性的，稱(f,g)在u∈X0處是擬偽Fε-I類凸的，若對?x∈X0,?ε>0,εi>0及一些λi∈Ω有：

f(x)-f(u)≤0?F(x,u,ξ)+ε≤0

?ξ∈?f(u)

(9)

?η∈?g(u,ui)

(10)

若(f,g)在X0中的任意一點都是擬偽Fε-I類凸的，則稱(f,g)在X0上是擬偽Fε-I類凸的.若當(dāng)x≠u時，(10)式中的第二個不等式是嚴格的，則稱(f,g)在u∈X0處或X0上是嚴格擬偽Fε-I類凸的.

1 最優(yōu)性條件

?ξ∈?f(x0)

(11)

又由題設(shè)②中函數(shù)的凸性可知：

?η∈?g(x0,ui)

由函數(shù)F的次線性性質(zhì)可得：

由此可得：

?η∈?g(x0,ui)

(12)

將(11)式與(12)式相加，并由函數(shù)F的次線性性質(zhì)可得：

?ξ∈?f(x0),?η∈?g(x0,ui)

(13)

當(dāng)i∈I(x0)時，g(x0,ui)=0;當(dāng)i∈ΔI(x0)時，由題設(shè)①可知λi=0,從而有：

結(jié)合(13)式可知

?ξ∈?f(x0),?η∈?g(x0,ui)

但根據(jù)題設(shè)可知

?ξ′∈?f(x0),η′∈?g(x0,ui)使得

這是一個矛盾!所以x0為規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解.

?ξ∈?f(x0)

(14)

?η∈?g(x0,ui)

當(dāng)i∈ΔI(x0)時，由題設(shè)①可知λi=0從而有

?η∈?g(x0,ui)

所以有

?η∈?g(x0,ui)

(15)

將(14)式與(15)式相加，并由函數(shù)F的次線性性質(zhì)可得

?ξ∈?f(x0),?η∈?g(x0,ui)

由此可得

?ξ∈?f(x0),?η∈?g(x0,ui)

這與題設(shè)矛盾，所以x0為規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解.

類似可以證明下列定理.

[1] Hanson M A.On sufficiency of the Kuhn-Tucker condition[J].J.Math.Anal.Appl,1981,80:545-550.

[2] Jeyakumar.V,Mond.On generalized convex mathematical programming[J].J.Austral Math.Soc.ser B,1992,34(1):43-53.

[3] Kaul.R.N,Suneja S.K.Optimality criteria and duality in multiple objective optimization involving generalized invexity[J].J.Optim.Theory Appl,1994,80:465-482.

[4] 李 偉,張可村.一類不可微廣義凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件和對偶[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,29(3)：419-422.

[5] 張慶祥，劉鵬輝．一類廣義J類不變凸半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件[J]．延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2002，21(4)：1-4．

[6] 孫永忠,開龍非.滑廣義F-凸多目標(biāo)半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,1996,13(1):117-121.

[7] Liang Z A,Huang H X,Pardalos P M.Optimations and duality for a class of nonlinear fractional programming problems[J].JOTA,2001,110(3):611-619.

[8] 楊 勇,連鐵艷,穆瑞金.凸分式半無限規(guī)劃的最優(yōu)性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,33(6):1-4.

[9] 楊 勇.凸分式半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,30(3)：280-283.

[10] Yong Yang.Optimality solutions for a class of convex fractional semi-infinite programming[C]//Proceedings of 3rd International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization.Los Alamitos:IEEE Computer Society,2010:13-15.

[11] Yong Yang,LiHua Liu,TieYan Lian.Duality in fractional semi-infinite programming withconvexity[C]//Proceedings of 3rd International Conference on Information and Computing.Edgbaston:World Academic Press of WAU,2010:37-39.

[12] 高曉艷.某些非光滑半無限規(guī)劃的最優(yōu)性與對偶性[D].延安：延安大學(xué)，2005．