湯林松

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“人的內(nèi)心有一種根深蒂固的需要，人們總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者。”可見(jiàn)，學(xué)生都有著發(fā)現(xiàn)、探究知識(shí)并獲得成功的強(qiáng)烈愿望。因此，一次高效的課堂探究活動(dòng)，在激發(fā)學(xué)生的思維、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力方面，具有不可估量的作用。那么，如何讓學(xué)生在課堂的有限時(shí)間內(nèi)完成對(duì)問(wèn)題的深入探究？如何讓不同層面的學(xué)生都積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)？這就要求教師能夠精心地設(shè)計(jì)問(wèn)題，充分考慮提出問(wèn)題的時(shí)機(jī)，讓各小組的學(xué)生之間能有合作和分享，在學(xué)生交流、互動(dòng)的過(guò)程中教師能進(jìn)行必要的點(diǎn)撥，把握好探究的方向和節(jié)奏，對(duì)于課堂生成教師能做到機(jī)智應(yīng)對(duì)。筆者在2012年12月份參加了第八屆“名師之路”大型教研活動(dòng)暨南通市高中高效課堂推進(jìn)會(huì)，對(duì)上課教師的課堂探究活動(dòng)進(jìn)行了認(rèn)真的觀察、分析，收獲良多，在此，摘選幾個(gè)優(yōu)秀案例，供同行們參考。

一、精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，培養(yǎng)學(xué)生的探究欲望

【案例片段】蘇教版必修5的正弦定理——對(duì)公式和定理的建構(gòu)

如圖1，Rt△ABC中的邊角關(guān)系：（用邊a，b，c，角A，B，C，外接圓半徑R表示）

sin A= ；sin B= ；sin C = .

a= ；b= ；c= .

如圖2、3，任意△ABC中的邊角關(guān)系也可以如此表示嗎？如何證明？（圖2、3中線段BD和CD是在探究過(guò)程中逐步加上去的）

教師先用投影儀給出第一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生解答，因?yàn)槭窃谑煜さ闹苯侨切沃星蠼?，學(xué)生們很快就得出結(jié)論：■=■=■=2R。接著，教師給出第二個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生們分組合作探究，筆者觀察了身旁一個(gè)小組的互動(dòng)情況。

學(xué)生顯得很好奇，探究欲望很強(qiáng)烈，躍躍欲試。

生1： 這個(gè)結(jié)論應(yīng)該是成立的，在等邊三角形中顯然成立。

生2：是啊，可怎么證明呢？

師：看能不能把任意三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決。

學(xué)生抬頭看圖1 。（沉思）

生3： 圖1中有直徑的，這里也作一條直徑試試。

生4： 對(duì)??！ 這樣就可以有直角三角形了。（興奮）

學(xué)生開(kāi)始各自動(dòng)手作圖、研究、討論，得出這個(gè)問(wèn)題的證明方法，互相交流并完善，然后由小組代表交給教師，教師再用實(shí)物投影儀展示其中寫(xiě)得較好的幾組作品并做適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，最后用投影儀給出這個(gè)問(wèn)題的證明過(guò)程如下：

證明：不妨設(shè)∠A為最大角。

（1）若∠A為直角（圖1），我們已經(jīng)證得結(jié)論成立。

（2）若∠A為銳角（圖2），作△ABC的外接圓圓O，作直徑BD交圓O于D，連結(jié)CD。因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，所以∠BCD=90°，因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等，所以∠D=∠A，所以■=■=BD（直徑）=2R。同理可得■=2R，所以 ■=■=■=2R

（3）若∠A為鈍角（圖3），作ABC的外接圓圓O，作直徑BD交圓O于D，連結(jié)CD。因?yàn)椤螪=180°-∠A，所以■=■=■=2R，同理可得■=2R，所以■=■=■=2R。

由（1）（2）（3）知，結(jié)論成立。

狄更斯說(shuō)過(guò)：“ 教學(xué)的藝術(shù)全在于如何恰當(dāng)?shù)靥岢鰡?wèn)題和巧妙地引導(dǎo)學(xué)生作答?！痹谠摪咐校處煕](méi)有照搬教材上的設(shè)計(jì)引入正弦定理，也沒(méi)有按照教材上的兩種證法給出證明，而是在習(xí)題的基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，體現(xiàn)了教師獨(dú)具匠心的一面。首先，在直角三角形這個(gè)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”上建構(gòu)新知，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維，自然地喚起學(xué)生的探究欲望。其次，教師通過(guò)三角形的外接圓，引領(lǐng)學(xué)生把任意三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，這不僅提高了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且讓學(xué)生從一開(kāi)始就充分認(rèn)識(shí)到正弦定理中的比值是三角形外接圓的直徑，這樣有助于學(xué)生更全面、更深刻地理解定理和公式。教材上的兩種證法因?yàn)闆](méi)有引入外接圓，故沒(méi)有明確比值為直徑，雖然在后面的習(xí)題中有所補(bǔ)充，但總有些“相見(jiàn)恨晚”的感覺(jué)。尤其是證法2利用了向量的數(shù)量積公式，方法雖好但門(mén)檻較高，筆者認(rèn)為這種方法更適合課堂講授或者課外探究。

二、設(shè)計(jì)課堂有效對(duì)話，引領(lǐng)學(xué)生深入探究

【案例片段】蘇教版選修2-1的空間角的計(jì)算——對(duì)用向量法求二面角的進(jìn)一步探究

如圖4， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的大小。

學(xué)生通過(guò)計(jì)算分別得到了平面A1BD的法向量n1和平面C1BD的法向量n2的坐標(biāo)，由于選取法向量方向的不同，在求cos時(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)不同的結(jié)果■和-■，而二面角A1-BD-C1的余弦值是唯一的，應(yīng)如何取舍呢？

師： 根據(jù)圖形可知，二面角A1-BD-C1的余弦值為■。（書(shū)本上的做法）

同學(xué)們開(kāi)始議論起來(lái)，表示有異議。

生1：為什么不是-■呢？圖形上不好確定該二面角的平面角是鈍角還是銳角。

師： 說(shuō)得好，你很有想法，那有什么好的方法可以解決這個(gè)問(wèn)題呢？

學(xué)生沉思。

生2 ：先確定兩個(gè)法向量的方向。

師： 好的， 大家畫(huà)一下二面角半平面法向量的所有情況，先獨(dú)立思考，再分組研究，尋找規(guī)律。

全體學(xué)生開(kāi)始動(dòng)手畫(huà)圖，獨(dú)立思考后把自己的想法和小組的同伴交流、分享。

生3：當(dāng)兩個(gè)法向量的方向同時(shí)指向半平面或同時(shí)離開(kāi)半平面時(shí)，平面角和法向量的夾角互補(bǔ)；當(dāng)其中一個(gè)法向量指向半平面，另一個(gè)法向量離開(kāi)半平面時(shí)，平面角和法向量的夾角相等。

師：分析得好，能否用更簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述這個(gè)規(guī)律呢？

生4： 同進(jìn)同離則補(bǔ)，一進(jìn)一離則等。

生5：我有更簡(jiǎn)潔的：同則補(bǔ)，異則等。（學(xué)生熱列鼓掌）

德國(guó)教育家第斯多惠說(shuō)過(guò)：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞?！痹谠摪咐?，教師沒(méi)有把結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是通過(guò)精心設(shè)計(jì)的師生對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，激起學(xué)生生動(dòng)、活潑的思考，激勵(lì)學(xué)生通過(guò)自己的能力探究和解決問(wèn)題，學(xué)生最終突破難點(diǎn)，獲得了成功。

三、引入科學(xué)評(píng)價(jià)，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復(fù)習(xí)課——對(duì)高考真題的數(shù)學(xué)課堂功能的挖掘

若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當(dāng)且僅當(dāng)2（x-1）=■即x=3時(shí)取等號(hào).

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數(shù)，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設(shè)2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個(gè)正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時(shí)成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請(qǐng)同學(xué)們探究一下這三種方法的思想來(lái)源。

各小組同學(xué)展開(kāi)熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數(shù)、不等式、方程的角度來(lái)解決問(wèn)題 。

生2：解決不等式問(wèn)題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)問(wèn)題需要方程、不等式的幫助。

師：說(shuō)得很不錯(cuò)，函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

師：同學(xué)們?cè)趧偛藕献鹘涣鞯倪^(guò)程中，表現(xiàn)都很好，下面我想請(qǐng)同組的生3和生4兩位同學(xué)互相點(diǎn)評(píng)一下對(duì)方。

生3：你在別人發(fā)言時(shí)能認(rèn)真傾聽(tīng)；在交流時(shí)，把自己的想法和知道的信息都說(shuō)出來(lái)，而且在合作交流的過(guò)程中你都在積極思考問(wèn)題，值得我們學(xué)習(xí)。

生4： 你對(duì)問(wèn)題有獨(dú)到的見(jiàn)解，大家體會(huì)到了你豐厚的知識(shí)、扎實(shí)的基本功。我欣賞的不僅是你優(yōu)異的成績(jī)，還有你執(zhí)著的精神。

美國(guó)著名心理學(xué)家威廉·詹姆士曾說(shuō)過(guò)：“人類(lèi)本質(zhì)中最殷切的需求是渴望被肯定?！痹诒景咐?，學(xué)生通過(guò)合作探究，自然地“悟”到了數(shù)學(xué)思想，完成了對(duì)學(xué)習(xí)方法的升華。同時(shí)，教師引入了學(xué)生間的相互評(píng)價(jià)，使學(xué)生在得到同伴肯定的同時(shí)，全面、正確地認(rèn)識(shí)了自己，增強(qiáng)了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗(yàn)，并促使他們?cè)谝院蟮暮献魈骄恐杏懈玫谋憩F(xiàn)。

三、引入科學(xué)評(píng)價(jià)，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復(fù)習(xí)課——對(duì)高考真題的數(shù)學(xué)課堂功能的挖掘

若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當(dāng)且僅當(dāng)2（x-1）=■即x=3時(shí)取等號(hào).

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數(shù)，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設(shè)2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個(gè)正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時(shí)成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請(qǐng)同學(xué)們探究一下這三種方法的思想來(lái)源。

各小組同學(xué)展開(kāi)熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數(shù)、不等式、方程的角度來(lái)解決問(wèn)題 。

生2：解決不等式問(wèn)題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)問(wèn)題需要方程、不等式的幫助。

師：說(shuō)得很不錯(cuò)，函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

師：同學(xué)們?cè)趧偛藕献鹘涣鞯倪^(guò)程中，表現(xiàn)都很好，下面我想請(qǐng)同組的生3和生4兩位同學(xué)互相點(diǎn)評(píng)一下對(duì)方。

生3：你在別人發(fā)言時(shí)能認(rèn)真傾聽(tīng)；在交流時(shí)，把自己的想法和知道的信息都說(shuō)出來(lái)，而且在合作交流的過(guò)程中你都在積極思考問(wèn)題，值得我們學(xué)習(xí)。

生4： 你對(duì)問(wèn)題有獨(dú)到的見(jiàn)解，大家體會(huì)到了你豐厚的知識(shí)、扎實(shí)的基本功。我欣賞的不僅是你優(yōu)異的成績(jī)，還有你執(zhí)著的精神。

美國(guó)著名心理學(xué)家威廉·詹姆士曾說(shuō)過(guò)：“人類(lèi)本質(zhì)中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，學(xué)生通過(guò)合作探究，自然地“悟”到了數(shù)學(xué)思想，完成了對(duì)學(xué)習(xí)方法的升華。同時(shí)，教師引入了學(xué)生間的相互評(píng)價(jià)，使學(xué)生在得到同伴肯定的同時(shí)，全面、正確地認(rèn)識(shí)了自己，增強(qiáng)了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗(yàn)，并促使他們?cè)谝院蟮暮献魈骄恐杏懈玫谋憩F(xiàn)。

三、引入科學(xué)評(píng)價(jià)，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復(fù)習(xí)課——對(duì)高考真題的數(shù)學(xué)課堂功能的挖掘

若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當(dāng)且僅當(dāng)2（x-1）=■即x=3時(shí)取等號(hào).

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數(shù)，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設(shè)2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個(gè)正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時(shí)成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請(qǐng)同學(xué)們探究一下這三種方法的思想來(lái)源。

各小組同學(xué)展開(kāi)熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數(shù)、不等式、方程的角度來(lái)解決問(wèn)題 。

生2：解決不等式問(wèn)題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)問(wèn)題需要方程、不等式的幫助。

師：說(shuō)得很不錯(cuò)，函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

師：同學(xué)們?cè)趧偛藕献鹘涣鞯倪^(guò)程中，表現(xiàn)都很好，下面我想請(qǐng)同組的生3和生4兩位同學(xué)互相點(diǎn)評(píng)一下對(duì)方。

生3：你在別人發(fā)言時(shí)能認(rèn)真傾聽(tīng)；在交流時(shí)，把自己的想法和知道的信息都說(shuō)出來(lái)，而且在合作交流的過(guò)程中你都在積極思考問(wèn)題，值得我們學(xué)習(xí)。

生4： 你對(duì)問(wèn)題有獨(dú)到的見(jiàn)解，大家體會(huì)到了你豐厚的知識(shí)、扎實(shí)的基本功。我欣賞的不僅是你優(yōu)異的成績(jī)，還有你執(zhí)著的精神。

美國(guó)著名心理學(xué)家威廉·詹姆士曾說(shuō)過(guò)：“人類(lèi)本質(zhì)中最殷切的需求是渴望被肯定?！痹诒景咐校瑢W(xué)生通過(guò)合作探究，自然地“悟”到了數(shù)學(xué)思想，完成了對(duì)學(xué)習(xí)方法的升華。同時(shí)，教師引入了學(xué)生間的相互評(píng)價(jià)，使學(xué)生在得到同伴肯定的同時(shí)，全面、正確地認(rèn)識(shí)了自己，增強(qiáng)了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗(yàn)，并促使他們?cè)谝院蟮暮献魈骄恐杏懈玫谋憩F(xiàn)。