金旭統(tǒng) 黃國(guó)龍

[浙江省寧波鎮(zhèn)海中學(xué)高二(1) 浙江 寧波 315200] (浙江省寧波鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江 寧波 315200)

1 物理高考原題

【題目】(2013年高考浙江理綜卷第25題)為了降低潛艇噪音，提高其前進(jìn)速度，可用電磁推進(jìn)器替代螺旋槳.潛艇下方有左、右兩組推進(jìn)器，每組由6個(gè)相同的用絕緣材料制成的直線通道推進(jìn)器構(gòu)成，其原理示意圖如圖1所示.在直線通道內(nèi)充滿電阻率ρ1=0.2 Ω·m的海水，通道中a×b×c=0.3 m×0.4 m×0.3 m的空間內(nèi)，存在由超導(dǎo)線圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B=6.4 T，方向垂直通道側(cè)面向外.磁場(chǎng)區(qū)域上、下方各有a×b=0.3 m×0.4 m的金屬板M,N，當(dāng)其與推進(jìn)器專(zhuān)用直流電源相連后，在兩板之間的海水中產(chǎn)生了從N到M,大小恒為I=1.0×103A的電流，設(shè)電流只存在于磁場(chǎng)區(qū)域.不計(jì)電源內(nèi)阻及導(dǎo)線電阻，海水密度ρ2=1.0×103kg/m3.

(1)、(2)略.

(3)當(dāng)潛艇以恒定速度v0=30 m/s前進(jìn)時(shí)，海水在出口處相對(duì)于推進(jìn)器的速度vr=34 m/s，思考專(zhuān)用直流電源所提供的電功率如何分配，求出相應(yīng)功率的大小.

圖1

2 常見(jiàn)的錯(cuò)誤解答

為了突出重點(diǎn)，簡(jiǎn)化討論，本文中只討論一個(gè)通道推進(jìn)器所消耗的電功率.

筆者發(fā)現(xiàn)較多學(xué)生和教師解答這個(gè)問(wèn)題時(shí)存在如下常見(jiàn)錯(cuò)誤解答.

錯(cuò)解1：在地面參照系中，安培力推動(dòng)潛艇功率為P電1，滿足

P電1=BIcv0

(1)

從管道右側(cè)出來(lái)的海水相對(duì)地面的速度為vd=vr-v0=4 m/s，Δt時(shí)間內(nèi)有質(zhì)量為m的水相對(duì)地面由靜止加速到速度為vd.令右端出水口面積為S3，安培力做功使水加速消耗電功率為P電2，滿足

(2)

(3)

m=ρS3vrΔt

(4)

電阻上消耗的熱功率為

Pr=I2R

(5)

(6)

由式(1)～(6)，結(jié)合S3=0.12 m2，解得Pr=5×105W，P電1=5.76×104W，P電2=3.264×104W，消耗的總電功率為

P電=P1r+P電1+P電2=5.902 4×105W

(7)

m=ρS3vrΔt

(8)

由式(7)、(8)，結(jié)合S3=0.12 m2解得

消耗總電功率為

P電=Pr+P電2′=1.022 24×106W

3 錯(cuò)解原因分析

二種錯(cuò)解的共同錯(cuò)因是沒(méi)有考慮到使水加速的因素除了安培力做功外，潛艇通道左右端的水對(duì)進(jìn)入通道的水也要做功.這一點(diǎn)我們可以從以下特殊事例得到證實(shí).

假若沒(méi)有安培力，潛艇通道向左運(yùn)動(dòng)，根據(jù)連續(xù)性原理(v1S1=v3S3)可知流出右端管道口S3水流速度v3比流入左端通道口S1水流速度v1要大，主要是由于通道兩端水對(duì)進(jìn)入管道的水要做功，從而導(dǎo)致這部分水動(dòng)能增加.在本問(wèn)題中，由于安培力對(duì)水做功和通道左右的水對(duì)流入通道的水共同做功使這部分水動(dòng)能增加.不能認(rèn)為安培力做功所消耗的電能等于流進(jìn)通道部分水的動(dòng)能增量.下面通過(guò)在地面和潛艇參照系中分析、計(jì)算安培力做功所消耗的電能.

3.1 潛艇參照系中分析

圖2

如圖2所示，在潛艇參照系中，水相對(duì)潛艇在3個(gè)橫截面上的速度分別為v1r=30 m/s,v2r=v3r=34 m/s，壓強(qiáng)分別為p1r,p2r,p3r.

根據(jù)伯努利方程和連續(xù)性原理得p1r，p2r的關(guān)系為

(9)

v1rS1=v2rS2=v3rS3

(10)

由式(9)、(10)，結(jié)合S2=S3=0.12 m2，解得

v2r=34 m/sp1r=p2r+1.28×105Pa

根據(jù)直道內(nèi)水流勻速運(yùn)動(dòng)得

p2rS2+BIc=p3rS3

(11)

由式(11)解得

p2r=p3r-1.6×104Pa

p1r=p3r+1.12×105Pa

(12)

(13)

Δm=ρS3v3rΔt

(14)

由式(12)～(14)得

消耗的總電功率為

3.2 地面參照系中分析

圖3

如圖3所示，在地面參照系中，令在潛艇通道中三個(gè)橫截面處水流的速度分別為v1,v2,v3，壓強(qiáng)分別為p1,p2,p3，潛水艇相對(duì)地面速度為v0=v1r=30 m/s.根據(jù)相對(duì)性原理可知3個(gè)截面處的壓強(qiáng)p1,p2,p3關(guān)系不變，即

p1=p2+1.28×105Pa

p2=p3-1.6×104Pa

p1=p3+1.12×105Pa

通道兩端水對(duì)流進(jìn)通道中水所做功為

W外=p1S1v1Δt-p3S3vdΔt

(15)

由于v1=0，因而式(15)變?yōu)?/p>

W外=-p3S3vdΔt

(16)

其中vd=4 m/s.通過(guò)通道中水的動(dòng)能增量為

(17)

其中vr=v3r=34 m/s.令安培力做功消耗電功率為P安，水對(duì)潛艇阻力為f，方向與潛艇速度v0方向相反(向右).對(duì)潛艇和流進(jìn)通道中水的整體運(yùn)用功能關(guān)系，列出

P安Δt+W外-fv0Δt=ΔEk

(18)

對(duì)潛艇和流進(jìn)通道中的水整體運(yùn)用動(dòng)量定理，列出

p1S1Δt-p3S3Δt+fΔt=Δmvd

(19)

由式(16)～(19)解得

ρS3vrvdv0-p1S1v0

(20)

由式(20)結(jié)合v0S1=vrS3,v0+vd=vr解得

ρS3vrvdv0

(21)

由式(21)和相關(guān)數(shù)據(jù)解得P安=6.528×104W，消耗的總電功率P電=5.652 8×105W，結(jié)果與潛艇參照系所得結(jié)果相同，符合相對(duì)性原理.

4 創(chuàng)新解答和對(duì)高考標(biāo)準(zhǔn)答案中解法的質(zhì)疑

4.1 創(chuàng)新解法

創(chuàng)新解法1：地面參照系功率法

在地面參照系中，根據(jù)連續(xù)性原理v2S2=v3S3，水在長(zhǎng)方體管通道內(nèi)應(yīng)做速度為vd=4 m/s勻速運(yùn)動(dòng).安培力做功消耗電功率即為安培力對(duì)流進(jìn)通道中的水所做功功率和反作用力對(duì)潛艇做功功率之和，滿足

P安=BIcv0+BIcvd

(22)

由式(22)，結(jié)合v0=30 m/s,vd=4 m/s解得

P安=6.528×104W

消耗的總電功率為

P電=5.6528×105W

創(chuàng)新解法2：潛艇參照系功率法

潛艇參照系中，根據(jù)連續(xù)性原理，水在長(zhǎng)方體管道內(nèi)應(yīng)做速度為vr=34 m/s的勻速運(yùn)動(dòng)，安培力對(duì)流進(jìn)管道內(nèi)水所做功消耗的電功率滿足

P安=BIcvr

(23)

由式(23)解得P安=6.528×104W，消耗的總電功率為P電=5.6528×105W，結(jié)果與地面參照系解答結(jié)果相同，符合相對(duì)性原理.

4.2 對(duì)高考標(biāo)準(zhǔn)答案解法的質(zhì)疑

標(biāo)準(zhǔn)答案中，求解電阻上消耗熱功率和安培力推動(dòng)潛艇做功消耗的電功率的方法是正確的，但求解安培力推動(dòng)水做功消耗的電功率P電2的方法存在問(wèn)題.標(biāo)準(zhǔn)答案中具體求解如下

(24)

(25)

m=ρS3vdΔt

(26)

解得

P電2=3.84×103W

P電=Pr+P電1+P電2=5.614 4×105W

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)答案中上述解法，可以理解為長(zhǎng)方體通道中水受到合外力為安培力(要求p2=p3)，長(zhǎng)方體通道中水在安培力作用下向右由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng).按照這個(gè)模型，運(yùn)用功率法可以求得安培力對(duì)長(zhǎng)方體通道中水做功的功率為

(27)

由式(27)得P電2=3.84×103W，這個(gè)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)答案相同.然而，按照這個(gè)模型，長(zhǎng)方體通道中水流速度與橫截面積之積(vS)隨著速度變大而變大，與連續(xù)性原理矛盾.因而，筆者認(rèn)為，根據(jù)連續(xù)性原理，水流運(yùn)動(dòng)比較合理的模型應(yīng)是，在斜通道中，水流速度隨著橫截面積變小而變大；在長(zhǎng)方體通道中，由于橫截面積不變，水流速度也不變，水做勻速運(yùn)動(dòng).此情形下，安培力對(duì)長(zhǎng)方體通道中水做功消耗電功率滿足

P電2Δt=BIcvdΔt

(28)

由式(28)解得P電2=7.68×103W，消耗的總電功率為P電=Pr+P電1+P電2=5.652 8×105W.